Kalkulator Matriks

Tentang kalkulator matriks

Matriks menyusun bilangan dalam baris dan kolom; matriks adalah bahasa aljabar linear, grafika komputer, model ekonomi, statistika, dan pembelajaran mesin. Operasinya sendiri sederhana, tetapi terdiri atas banyak perkalian dan penjumlahan kecil, dan satu kesalahan pada satu entri saja merusak seluruh jawaban.

Kalkulator melakukan sembilan operasi matriks: perkalian, penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, perpangkatan bilangan bulat, transpos, reduksi ke bentuk eselon baris, rank, dan trace. Entrinya boleh berupa bilangan bulat, desimal, atau pecahan, dan semua perhitungan eksak: hasil seperti $\frac32$ diberikan sebagai pecahan, bukan desimal yang dibulatkan. Pada reduksi ke bentuk eselon baris, setiap operasi baris dicantumkan berurutan.

Apa itu matriks?

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang terdiri atas $m$ baris dan $n$ kolom, dan disebut matriks berordo $m \times n$ . Entri pada baris $i$ dan kolom $j$ dinyatakan dengan $a_{ij}$ . Banyak baris matriks persegi sama dengan banyak kolomnya; matriks identitas $I$ memuat angka satu pada diagonal utama dan nol di tempat lainnya.

Matriks menggambarkan transformasi linear dan sistem persamaan linear. Mengalikan matriks dengan vektor berarti menerapkan suatu transformasi, seperti rotasi atau peregangan; mengalikan dua matriks berarti menggabungkan dua transformasi menjadi satu.

Cara menggunakan kalkulator matriks

Pilih operasi dari daftar.
Masukkan matriks A dengan memisahkan entri menggunakan spasi dan baris menggunakan titik koma, misalnya 1 2; 3 4.
Untuk perkalian, penjumlahan, dan pengurangan, masukkan matriks B dengan cara yang sama.
Untuk perkalian skalar atau perpangkatan, masukkan bilangan $k$ .
Tekan «Hitung» dan ikuti langkah-langkahnya hingga hasil akhir.

Rumus

Entri hasil kali matriks

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

Penjumlahan

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Matriks transpos

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

Trace matriks

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i} a_{ii}

Contoh soal dan pembahasan: A × B (2×2)

Contoh soal mengalikan matriks $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$ dengan $B = \begin{pmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{pmatrix}$ . Setiap entri hasil kalinya adalah hasil kali titik satu baris $A$ dengan satu kolom $B$ ; entri kiri atas adalah $1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ .

Setelah perhitungan ini diulang untuk ketiga posisi lainnya, diperoleh $\begin{pmatrix}19 & 22\\43 & 50\end{pmatrix}$ . Dengan urutan terbalik diperoleh $\begin{pmatrix}23 & 34\\31 & 46\end{pmatrix}$ ; matriks yang berbeda ini menunjukkan bahwa perkalian matriks tidak komutatif.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}

Cara kami membaca soal Anda

Hitung A × B secara eksak.

Pembahasan langkah demi langkah

Baca matriks A
$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\ (2×2)$
Baca matriks B
$B = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}\ (2×2)$
Setiap entri adalah hasil kali titik suatu baris A dengan suatu kolom B
Hasilnya 2×2.
$c_{11} = (1)(5) + (2)(7) = 19$
Hasil
$\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}$

Rumus yang digunakan

Hasil kali matriks
$c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$

A berukuran 2×2 dan B berukuran 2×2, sehingga AB berukuran 2×2. Perkalian matriks tidak komutatif: BA umumnya berbeda.

Pemeriksaan

Semua perhitungan eksak (pecahan, tanpa pembulatan).

Penjelasan lengkap

Kapan operasi-operasi ini terdefinisi?

Penjumlahan dan pengurangan memerlukan matriks berordo sama dan dihitung entri demi entri. Hasil kali $AB$ mensyaratkan banyak kolom $A$ sama dengan banyak baris $B$ ; perkalian matriks $m \times n$ dengan matriks $n \times p$ menghasilkan matriks berordo $m \times p$ . Matriks $2 \times 3$ tidak dapat dikalikan dengan matriks $2 \times 2$ ; alih-alih memberikan kode galat, kalkulator menjelaskan ketidakcocokan ordonya.

Perpangkatan hanya terdefinisi untuk matriks persegi, karena $A \cdot A$ memerlukan ordo yang cocok. Jika $\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$ dipangkatkan lima, diperoleh $\begin{pmatrix}8 & 5\\5 & 3\end{pmatrix}$ yang entri-entrinya adalah bilangan Fibonacci.

Bentuk eselon baris dan rank

Bentuk eselon baris tereduksi diperoleh dengan tiga operasi baris elementer: menukar dua baris, mengalikan suatu baris dengan bilangan tak nol, dan menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lain. Tujuannya agar setiap baris tak nol memiliki pivot bernilai 1 dengan nol di atas dan di bawahnya. Bentuk eselon baris tereduksi adalah cara baku untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, mencari basis, dan menyelidiki kebebasan linear.

Rank adalah banyaknya baris tak nol pada bentuk eselon baris tereduksi; ini juga sama dengan banyaknya baris atau kolom yang bebas linear. Matriks $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{pmatrix}$ dapat direduksi menjadi bentuk yang memuat satu baris nol, sehingga rank-nya 2: baris ketiga merupakan kombinasi dua baris pertama.

Transpos dan trace

Transpos adalah pencerminan matriks terhadap diagonal utamanya: baris menjadi kolom. Transpos muncul dalam hasil kali titik, metode kuadrat terkecil, dan definisi matriks simetris, yaitu matriks yang sama dengan transposnya sendiri. Trace adalah jumlah entri diagonal matriks persegi; nilainya sama dengan jumlah nilai eigen, sehingga trace menjadi pemeriksaan cepat dalam perhitungan nilai eigen.

Kesalahan yang sering terjadi

Mengalikan matriks entri demi entri, bukan dengan aturan «baris kali kolom».
Mengira $AB = BA$ ; urutan faktor itu penting.
Mencoba menjumlahkan matriks yang ordonya berbeda.
Salah menentukan ordo hasil kali; perkalian matriks $m \times n$ dengan matriks $n \times p$ menghasilkan $m \times p$ .
Mengalikan suatu baris dengan nol selama operasi baris, sehingga informasi hilang.

Kiat

Sebelum mengalikan, tulis ordo di samping setiap matriks untuk memeriksa apakah hasil kalinya ada.
Gunakan pecahan, bukan desimal yang dibulatkan, agar operasi baris tetap eksak.
Periksa hasil kali dengan menghitung ulang satu entri secara manual.
Gunakan kalkulator determinan untuk memeriksa apakah matriks persegi memiliki invers.
Jika matriks Anda berasal dari sistem persamaan linear, gunakan kalkulator sistem persamaan.

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana cara memasukkan matriks?

Pisahkan entri dalam satu baris dengan spasi atau koma, dan pisahkan baris dengan titik koma. Misalnya, 1 2; 3 4 adalah matriks 2×2 dengan baris (1, 2) dan (3, 4).

Mengapa perkalian matriks tidak komutatif?

AB menggabungkan baris-baris A dengan kolom-kolom B, sedangkan BA menggabungkan baris-baris B dengan kolom-kolom A. Keduanya perhitungan yang berbeda: umumnya hasilnya berbeda, dan kadang salah satu hasil kali ada sedangkan yang lain tidak.

Kapan dua matriks dapat dikalikan?

Jika banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak baris matriks kedua. Banyak baris hasil kalinya sama dengan banyak baris matriks pertama, dan banyak kolomnya sama dengan banyak kolom matriks kedua.

Apa itu bentuk eselon baris tereduksi?

Bentuk yang setiap baris tak nolnya diawali pivot bernilai 1, setiap pivot 1 terletak di sebelah kanan pivot 1 pada baris sebelumnya, dan semua entri lain pada kolom pivot bernilai nol.

Apa yang diukur oleh rank matriks?

Banyaknya baris atau kolom yang bebas linear. Untuk matriks persegi, rank penuh berarti matriks itu memiliki invers dan sistem persamaan linear yang bersesuaian memiliki penyelesaian tunggal.

Bisakah pecahan dipakai dalam matriks?

Bisa. Entri seperti 1/2 diterima dan semua hasil dihitung dengan pecahan eksak.

Apa itu trace matriks?

Jumlah entri pada diagonal utama matriks persegi. Nilainya juga sama dengan jumlah nilai eigen matriks tersebut.

Coba kalkulator matriks

Masukkan matriks, pilih operasi, dan dapatkan hasil eksaknya dengan penjelasan setiap langkah.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI