Mencari Nilai Eigen dan Vektor Eigen Online — Kalkulator Langkah demi Langkah

Tentang kalkulator nilai eigen

Nilai eigen dan vektor eigen menunjukkan arah-arah yang dipertahankan oleh suatu matriks dan berapa kali arah-arah itu diregangkan. Algoritma pemeringkatan halaman web pertama yang melahirkan mesin pencari terbesar, ragam getaran jembatan dan molekul, analisis komponen utama dalam statistika, kestabilan persamaan diferensial, dan tingkat energi dalam mekanika kuantum semuanya bertumpu pada konsep ini. Dalam kuliah aljabar linear, bagian ini biasanya menjadi tempat bertemunya semua yang telah dipelajari sebelumnya: determinan, eliminasi Gauss, dan ruang nol.

Kalkulator mengikuti algoritma dari buku pelajaran. Kalkulator menyusun polinomial karakteristik $\det(\lambda I - A)$ , mencari akar-akarnya secara eksak dengan teorema akar rasional, rumus kuadrat, dan pembagian polinomial, lalu untuk setiap nilai eigen menyelesaikan sistem $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ sehingga komponen vektor eigennya berupa bilangan bulat yang sesederhana mungkin.

Nilai eigen irasional tetap dalam bentuk akar yang eksak, nilai eigen kompleks diberikan dalam pasangan sekawan, dan nilai eigen berulang dicantumkan beserta multiplisitas aljabar dan geometrisnya; dengan begitu Anda langsung melihat apakah matriksnya dapat didiagonalkan. Matriks berukuran 2×2 hingga 4×4 diterima; ini mencakup hampir semua soal kuliah dan ujian.

Apa itu nilai eigen dan vektor eigen?

Vektor tak nol $\mathbf v$ disebut vektor eigen matriks persegi $A$ jika perkalian dengan $A$ hanya mengubah panjangnya, yaitu jika $A\mathbf v = \lambda \mathbf v$ untuk suatu bilangan $\lambda$ . Bilangan ini adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan vektor $\mathbf v$ . Kebanyakan vektor berubah arah ketika dikalikan dengan matriks; vektor eigen istimewa karena tetap berada pada garisnya sendiri yang melalui titik asal.

Jika definisinya ditulis sebagai $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ , cara mencarinya menjadi jelas. Penyelesaian tak nol hanya ada jika $A - \lambda I$ tidak memiliki invers, yaitu jika determinannya nol. Persamaan $\det(A - \lambda I) = 0$ disebut persamaan karakteristik; untuk matriks $n \times n$ , persamaan ini berupa polinomial berderajat $n$ , sehingga dengan menghitung multiplisitasnya terdapat tepat $n$ nilai eigen, dan sebagian di antaranya bisa kompleks.

Setiap nilai eigen memiliki tak hingga banyak vektor eigen, karena setiap kelipatan tak nol dari suatu vektor eigen juga merupakan vektor eigen. Karena itu jawabannya diberikan dengan satu vektor wakil atau, jika ada lebih dari satu arah yang bebas, dengan sebuah basis; buku pelajaran Anda mungkin menuliskan kelipatan lain dari vektor yang sama.

Cara menggunakan kalkulator nilai eigen

Tulis matriks dengan satu baris matriks pada setiap baris teks dan entri dipisahkan spasi; misalnya 4 1 pada baris pertama dan 2 3 pada baris kedua.
Anda juga dapat menulis seluruh matriks dalam satu baris dengan memisahkan baris-barisnya menggunakan titik koma, misalnya 4 1; 2 3.
Entri boleh berupa bilangan bulat, desimal, pecahan, atau bilangan negatif. Matriksnya harus matriks persegi berukuran 2×2 hingga 4×4.
Tekan «Cari nilai eigen» untuk melihat polinomial karakteristik, akar-akarnya, dan pencarian vektor eigen untuk setiap nilai eigen.
Untuk nilai eigen berulang, lihat multiplisitas yang dicantumkan jika Anda perlu mengetahui apakah matriksnya dapat didiagonalkan.

Rumus

Persamaan nilai eigen

A\mathbf v = \lambda \mathbf v,\quad \mathbf v \ne \mathbf 0

Persamaan karakteristik

\det(\lambda I - A) = 0

Rumus cepat untuk 2×2

\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\,\lambda + \det A = 0

Trace dan determinan

\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr} A,\quad \lambda_1 \cdots \lambda_n = \det A

Diagonalisasi matriks

A = PDP^{-1},\quad D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

Contoh soal dan pembahasan: 2×2, rasional

Contoh dihitung secara langsung untuk $A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$ . Karena trace-nya 7 dan determinannya $4\cdot3 - 1\cdot2 = 10$ , polinomial karakteristiknya $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2)$ , dan nilai eigennya 5 dan 2.

Untuk $\lambda = 5$ , baris-baris matriks $A - 5I$ adalah $(-1, 1)$ dan $(2, -2)$ , dan ruang nolnya dibangun oleh vektor $\langle 1, 1 \rangle$ . Untuk $\lambda = 2$ , baris-baris matriks $A - 2I$ adalah $(2, 1)$ dan $(2, 1)$ ; ini menghasilkan $\langle -1, 2 \rangle$ . Pemeriksaannya sederhana: $A\langle 1, 1\rangle = \langle 5, 5\rangle$ , yaitu tepat lima kali vektor semula.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

\lambda = 5,\ 2

Cara kami membaca soal Anda

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks 2×2.

\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}

Pembahasan langkah demi langkah

Susun persamaan karakteristik
$\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$
Untuk matriks 2×2, persamaannya λ² − (trace)λ + det
$\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0$
Polinomial karakteristik
$p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10$
Akar rasional ditemukan dengan teorema akar rasional
$\lambda = 2,\ \lambda = 5$
Vektor eigen untuk λ = 5: selesaikan (A − λI)v = 0
$\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1 \rangle$
Vektor eigen untuk λ = 2: selesaikan (A − λI)v = 0
$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 2 \rangle$

Rumus yang digunakan

Persamaan karakteristik
$\det(\lambda I - A) = 0$
Persamaan vektor eigen
$(A - \lambda I)\,v = 0,\ v \neq 0$

Nilai eigen adalah akar-akar polinomial karakteristik. Vektor eigen: λ = 5: ⟨1, 1⟩; λ = 2: ⟨-1, 2⟩.

Pemeriksaan

Jumlah nilai eigen ≈ 7 sama dengan trace 7.
Hasil kali nilai eigen sama dengan determinan 10.

Penjelasan lengkap

Langkah 1: polinomial karakteristik

Untuk matriks 2×2, polinomialnya dapat langsung ditulis sebagai $\lambda^2 - (\text{trace})\lambda + \det$ . Untuk matriks yang lebih besar, kalkulator mengekspansi $\det(\lambda I - A)$ dengan kofaktor. Matriks simetris 3×3 dengan baris $(2, 0, 0)$ , $(0, 3, 4)$ , dan $(0, 4, 9)$ menghasilkan $\lambda^3 - 14\lambda^2 + 35\lambda - 22$ .

Dua pemeriksaan cepat menangkap sebagian besar kesalahan hitung. Koefisien suku $\lambda^{n-1}$ adalah lawan dari trace, di sini $-(2 + 3 + 9) = -14$ ; sedangkan suku tetapnya sama dengan $(-1)^n \det A$ , di sini $-22$ karena determinannya 22.

Langkah 2: mencari akar-akarnya

Jika koefisiennya bilangan bulat, setiap nilai eigen rasional membagi suku tetapnya; karena itu kalkulator mencoba faktor-faktor dari 22, menemukan akar $\lambda = 1$ , membagi polinomialnya dengan $(\lambda - 1)$ , dan memfaktorkan trinomial kuadrat yang tersisa. Nilai eigennya 11, 2, dan 1; jumlahnya, yaitu 14, memang sama dengan trace.

Jika faktor kuadrat yang tersisa tidak dapat difaktorkan atas bilangan rasional, rumus kuadrat menghasilkan bentuk akar yang eksak. Untuk $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ , akar-akar polinomial $\lambda^2 - 5\lambda - 2$ adalah $\frac52 \pm \frac{\sqrt{33}}{2}$ , kira-kira 5,372 dan $-0.372$ . Jika diskriminannya negatif, akar-akarnya kompleks sekawan; matriks rotasi $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ menghasilkan $\lambda^2 + 1 = 0$ , yaitu $\lambda = \pm i$ ; artinya rotasi 90° tidak mempertahankan satu pun arah real.

Langkah 3: vektor eigen dari ruang nol

Substitusikan setiap nilai eigen ke $A - \lambda I$ dan selesaikan sistem homogennya dengan eliminasi Gauss. Karena matriksnya tidak memiliki invers, sedikitnya satu baris menjadi nol dan tersisa satu variabel bebas. Jika variabel bebas itu diberi nilai yang sesuai lalu dilakukan substitusi balik, diperoleh sebuah vektor eigen; kalkulator menyederhanakannya menjadi bilangan bulat kecil.

Untuk $\lambda = 11$ pada contoh 3×3, baris-baris matriks $A - 11I$ adalah $(-9, 0, 0)$ , $(0, -8, 4)$ , dan $(0, 4, -2)$ . Baris pertama menghasilkan $v_1 = 0$ , sedangkan dua baris lainnya berarti $v_3 = 2v_2$ : diperoleh $\mathbf v = \langle 0, 1, 2 \rangle$ . Nilai eigen matriks simetris seperti ini selalu real dan vektor-vektor eigennya saling tegak lurus; hal ini dapat diperiksa dengan hasil kali titik.

Nilai eigen berulang dan diagonalisasi

Nilai eigen yang muncul $k$ kali di antara akar-akarnya memiliki multiplisitas aljabar $k$ . Banyaknya vektor eigen bebas linear yang bersesuaian dengannya adalah multiplisitas geometrisnya, dan nilainya bisa lebih kecil. Matriks $\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ dan $2I$ memiliki nilai eigen berulang yang sama, yaitu 2, tetapi matriks pertama hanya memiliki satu arah eigen, $\langle 1, 0 \rangle$ , sedangkan matriks kedua memiliki dua arah eigen: $\langle 1, 0 \rangle$ dan $\langle 0, 1 \rangle$ .

Suatu matriks dapat ditulis dalam bentuk $PDP^{-1}$ , dengan nilai eigen pada diagonal $D$ dan vektor eigen pada kolom-kolom $P$ , jika dan hanya jika multiplisitas geometris setiap nilai eigen sama dengan multiplisitas aljabarnya. Diagonalisasi mempermudah perpangkatan karena $A^k = PD^kP^{-1}$ ; dengan cara inilah nilai eigen meramalkan perilaku jangka panjang model populasi dan rantai Markov.

Cara-cara yang berguna

Nilai eigen matriks segitiga adalah entri-entri diagonalnya: matriks dengan baris $(1, 2, 3)$ , $(0, 4, 5)$ , dan $(0, 0, 6)$ memiliki nilai eigen 6, 4, dan 1 tanpa perhitungan apa pun. Suatu matriks memiliki invers jika dan hanya jika 0 bukan nilai eigennya; nilai eigen $A^{-1}$ adalah kebalikan nilai eigen $A$ , dengan vektor eigen yang sama.

Perubahan sederhana pada matriks menggeser nilai eigennya secara dapat diramalkan. Jika matriks identitas yang dikalikan $c$ ditambahkan ke matriks, setiap nilai eigen bertambah $c$ ; jika matriks dikalikan dengan suatu bilangan, setiap nilai eigen dikalikan dengan bilangan itu; jika matriks dipangkatkan $k$ , setiap nilai eigen juga dipangkatkan $k$ ; tidak satu pun dari perubahan ini mengubah vektor eigennya. Matriks dan transposnya memiliki nilai eigen yang sama, tetapi vektor eigennya umumnya berbeda. Sifat-sifat ini membantu memeriksa jawaban dan memperkirakan hasil sebelum menghitungnya.

Kesalahan yang sering terjadi

Menghitung $\det(A) - \lambda$ alih-alih $\det(A - \lambda I)$ ; $\lambda$ harus dikurangkan dari setiap entri diagonal.
Menganggap vektor nol sebagai vektor eigen; menurut definisi, vektor eigen tidak nol.
Salah menghitung polinomialnya lalu mendapatkan ruang nol yang hanya memuat vektor nol.
Mengira nilai eigen setiap matriks real; rotasi dan banyak matriks tak simetris memiliki nilai eigen kompleks.
Menganggap vektor eigen salah karena berbeda dengan yang ada di buku pelajaran sebesar suatu faktor konstan.
Menyatakan matriks dapat didiagonalkan tanpa memeriksa multiplisitas geometris nilai eigen yang berulang.

Kiat

Periksa bahwa jumlah nilai eigen sama dengan trace dan hasil kalinya sama dengan determinan.
Periksa setiap vektor eigen dengan menghitung $A\mathbf v$ dan membandingkannya dengan $\lambda\mathbf v$ .
Baca nilai eigen matriks segitiga langsung dari diagonalnya.
Pada matriks 3×3, ekspansikan determinan sepanjang baris atau kolom yang paling banyak memuat nol.
Gunakan kalkulator determinan untuk memastikan bahwa $A - \lambda I$ tidak memiliki invers untuk setiap nilai eigen.
Jika matriksnya simetris, harapkan nilai eigen real dan vektor eigen yang saling tegak lurus.
Keluarkan lebih dulu faktor persekutuan dari matriks; nilai eigennya hanya dikalikan dengan faktor itu.

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana cara memasukkan matriks ke kalkulator nilai eigen?

Tulis satu baris matriks pada setiap baris teks dengan entri dipisahkan spasi, atau tulis semua baris dalam satu baris teks dengan pemisah titik koma, misalnya 4 1; 2 3. Pecahan, desimal, dan bilangan negatif diterima.

Ukuran matriks apa saja yang didukung?

Matriks persegi berukuran 2×2 hingga 4×4. Nilai eigen hanya didefinisikan untuk matriks persegi; karena itu matriks 3×2, misalnya, ditolak disertai penjelasan.

Apakah kalkulator menemukan nilai eigen kompleks?

Ya. Jika diskriminan polinomial karakteristiknya negatif, nilai eigennya diberikan sebagai pasangan kompleks sekawan; misalnya λ = i dan −i untuk matriks rotasi 90°.

Mengapa vektor eigen saya berbeda dengan yang ada di buku pelajaran?

Setiap kelipatan tak nol dari suatu vektor eigen juga merupakan vektor eigen. ⟨1, 1⟩ dan ⟨3, 3⟩ menunjukkan arah yang sama. Periksa apakah salah satu vektor merupakan kelipatan vektor lainnya.

Apa itu multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometris?

Multiplisitas aljabar menunjukkan berapa kali suatu nilai eigen muncul di antara akar-akar polinomial karakteristik. Multiplisitas geometris adalah banyaknya vektor eigen bebas linear yang bersesuaian dengannya. Kalkulator mencantumkan keduanya untuk nilai eigen berulang.

Apakah kalkulator memberikan nilai eigen eksak atau desimal?

Bila memungkinkan, kalkulator memberikan nilai eksak: bilangan bulat, pecahan, dan bentuk akar seperti 5/2 ± √33/2. Kalkulator beralih ke hampiran desimal yang presisi hanya jika akar polinomial berderajat tiga atau empat tidak dapat dicari secara eksak.

Bagaimana hubungan nilai eigen, determinan, dan trace?

Hasil kali semua nilai eigen sama dengan determinan, dan jumlahnya sama dengan trace. Untuk matriks dengan baris (4, 1) dan (2, 3), determinannya 5 × 2 = 10 dan trace-nya 5 + 2 = 7.

Apa arti nilai eigen nol?

Artinya matriks itu singular: matriks itu tidak memiliki invers dan determinannya nol. Vektor eigen untuk λ = 0 membangun ruang nol matriks tersebut.

Di mana nilai eigen diperlukan di luar kuliah?

Dalam analisis getaran, kestabilan sistem kendali, analisis komponen utama, mekanika kuantum, rantai Markov, dan pemeringkatan pada mesin pencari; di mana saja kita perlu memahami ke mana penerapan berulang suatu transformasi linear akan berujung.

Coba kalkulator nilai eigen

Masukkan matriks persegi; dapatkan nilai eigen dan vektor eigen eksaknya beserta polinomial karakteristik dan setiap langkahnya.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI

Kalkulator Nilai Eigen