Kalkulator Invers Matriks

Tentang kalkulator invers matriks

Invers matriks berperan seperti pembagian pada bilangan. Jika $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ , maka $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ : invers matriks menyelesaikan sekaligus semua sistem yang matriks koefisiennya sama. Invers matriks juga dipakai dalam grafika komputer untuk membatalkan transformasi dan dalam sandi Hill untuk membuka pesan; dalam statistika, invers matriks muncul di mana-mana, misalnya dalam rumus regresi linear dengan metode kuadrat terkecil.

Kalkulator lebih dulu memeriksa bahwa determinannya tidak nol, karena hanya dalam keadaan itu invers matriks ada. Untuk matriks $2 \times 2$ , kalkulator memakai aturan cepat «tukar dan ubah tanda». Untuk matriks yang lebih besar, kalkulator menerapkan metode Gauss–Jordan pada matriks yang diperbesar $[A \mid I]$ dan mencantumkan setiap operasi baris. Semua entri berupa pecahan eksak; pada langkah terakhir, $A$ dikalikan dengan hasilnya untuk memastikan bahwa matriks identitas diperoleh.

Apa itu invers matriks?

Invers matriks persegi $A$ adalah matriks $A^{-1}$ yang memenuhi $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ , dengan $I$ matriks identitas. Jika ada, invers itu tunggal, dan matriksnya disebut matriks yang memiliki invers atau matriks nonsingular.

Matriks persegi memiliki invers jika dan hanya jika determinannya tidak nol. Syarat-syarat yang setara adalah: baris-barisnya bebas linear, rank-nya sama dengan ukurannya, dan persamaan $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ hanya memiliki penyelesaian nol. Matriks yang tidak persegi tidak pernah memiliki invers dua sisi.

Cara menggunakan kalkulator invers matriks

Masukkan matriks persegi dengan memisahkan entri menggunakan spasi dan baris menggunakan titik koma, misalnya 4 7; 2 6.
Tekan «Cari invers».
Lihat langkah determinan; jika determinannya nol, matriks itu tidak memiliki invers.
Ikuti operasi baris atau aturan 2×2 hingga invers matriks diperoleh.
Lihat pemeriksaan terakhir: A·A⁻¹ sama dengan matriks identitas.

Rumus

Invers matriks 2×2

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Metode Gauss–Jordan

[A \mid I] \;\longrightarrow\; [I \mid A^{-1}]

Invers hasil kali

(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

Penyelesaian sistem persamaan

A\mathbf{x} = \mathbf{b} \;\Rightarrow\; \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}

Contoh soal dan pembahasan: Matriks 2×2

Contoh soal mencari invers matriks $A = \begin{pmatrix}4 & 7\\2 & 6\end{pmatrix}$ . Determinannya $4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 10$ , yaitu tidak nol; karena itu inversnya ada.

Setelah kedua entri diagonal ditukar, tanda kedua entri lainnya diubah, dan semuanya dibagi 10, diperoleh $\begin{pmatrix}\frac35 & -\frac{7}{10}\\-\frac15 & \frac25\end{pmatrix}$ . Hasil kali matriks ini dengan $A$ adalah matriks identitas; langkah terakhir memastikan hal itu.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}

Cara kami membaca soal Anda

Tentukan invers matriks 2×2.

\begin{bmatrix}4 & 7 \\ 2 & 6\end{bmatrix}^{-1}

Pembahasan langkah demi langkah

Periksa bahwa determinannya tidak nol
$\det A = 10 \neq 0$
Tukar a dan d, ubah tanda b dan c, lalu bagi dengan determinan
$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix}6 & -7 \\ -2 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}$
Pemeriksaan: A·A⁻¹ = I
$A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

Rumus yang digunakan

Invers 2×2
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$
Gauss–Jordan
$[A \mid I] \sim [I \mid A^{-1}]$

Determinannya 10, sehingga A memiliki invers. Setiap entri invers bernilai eksak.

Pemeriksaan

Mengalikan A dengan hasilnya memberikan matriks identitas secara eksak.

Penjelasan lengkap

Metode Gauss–Jordan

Untuk matriks $3 \times 3$ dan yang lebih besar, tuliskan $A$ dan matriks identitas berdampingan, lalu terapkan operasi baris pada seluruh matriks yang diperbesar. Bagi setiap baris pivot agar entri pivotnya bernilai 1, lalu nolkan semua entri lain pada kolom itu. Ketika bagian kiri sudah menjadi matriks identitas, bagian kanan adalah $A^{-1}$ : rangkaian operasi yang sama yang mengubah $A$ menjadi $I$ juga mengubah $I$ menjadi $A^{-1}$ .

Untuk matriks dengan baris $(2, 0, 1)$ , $(1, 1, 0)$ , dan $(0, 1, 3)$ , kalkulator membagi baris pertama dengan 2, menolkan entri-entri kolom pertama lalu kolom kedua, membagi baris ketiga dengan $\frac72$ , dan menolkan entri-entri kolom ketiga. Karena determinannya 7, semua entri inversnya merupakan kelipatan $\frac17$ .

Matriks yang tidak memiliki invers

Jika determinannya nol, eliminasi menghasilkan baris nol di bagian kiri dan tidak pernah mencapai matriks identitas. Kalkulator mendeteksi hal ini sejak awal. Matriks $\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 4\end{pmatrix}$ tidak memiliki invers karena baris keduanya dua kali baris pertama: alih-alih menampilkan jawaban yang tidak bermakna, kalkulator memberitahukan bahwa inversnya tidak ada.

Determinan yang sekadar kecil bukan masalah dalam aritmetika eksak, tetapi merupakan tanda peringatan untuk data nyata: dalam keadaan itu entri-entri inversnya besar, dan galat pengukuran kecil di dalam $A$ menjadi sangat besar.

Bagaimana invers matriks digunakan?

Untuk menyelesaikan sistem $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ , kalikan $A^{-1}$ dengan $\mathbf{b}$ . Cara ini menguntungkan jika beberapa sistem memiliki matriks yang sama. Untuk satu sistem saja, biasanya lebih mudah langsung mereduksi matriks yang diperbesar $[A \mid \mathbf{b}]$ daripada mencari invers lengkapnya lebih dulu.

Aturan singkat untuk matriks $2 \times 2$ bukanlah trik tersendiri: metode Gauss–Jordan yang diterapkan secara umum pada sembarang matriks $2 \times 2$ menghasilkan tepat aturan itu. Munculnya determinan $ad - bc$ pada penyebut setiap entri menjelaskan mengapa invers tidak mungkin ada ketika determinannya nol.

Kesalahan yang sering terjadi

Lupa membagi dengan determinan dalam rumus 2×2.
Menukar letak entri di luar diagonal alih-alih mengubah tandanya.
Menerapkan operasi baris hanya pada bagian kiri matriks yang diperbesar.
Menulis $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ ; urutannya terbalik.
Mencoba mencari invers matriks yang determinannya nol.

Kiat

Cari determinannya lebih dulu; jika nol, Anda bisa berhenti di situ.
Biarkan entri dalam bentuk pecahan agar galat pembulatan tidak merusak pemeriksaan matriks identitas.
Periksa hasilnya dengan mengalikan $A$ dengan jawaban Anda; setiap entri diagonal harus 1 dan setiap entri lain 0.
Carilah determinan pada penyebut entri-entri invers matriks.
Gunakan kalkulator matriks untuk mengalikan invers matriks dengan vektor ruas kanan.

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana cara mencari invers matriks 2×2?

Tukar letak kedua entri diagonal, ubah tanda kedua entri lainnya, lalu bagi setiap entri dengan determinan ad − bc.

Bagaimana cara mencari invers matriks 3×3?

Tulis matriks yang diperbesar [A | I] dan dengan operasi baris ubah bagian kirinya menjadi matriks identitas. Bagian kanannya kemudian adalah invers matriks.

Kapan suatu matriks tidak memiliki invers?

Ketika determinannya nol. Matriks seperti itu disebut matriks singular atau matriks yang tidak memiliki invers; baris-barisnya bergantung linear dan eliminasi tidak dapat mencapai matriks identitas.

Bagaimana cara memeriksa invers matriks?

Kalikan matriks awal dengan inversnya. Jika diperoleh matriks identitas, invers matriksnya benar. Kalkulator melakukan ini secara otomatis.

Apakah matriks yang tidak persegi memiliki invers?

Tidak. Hanya matriks persegi yang dapat memiliki invers dua sisi yang sesungguhnya.

Bisakah saya memasukkan desimal?

Bisa. Desimal diubah menjadi pecahan eksak: 0,5 diolah sebagai 1/2 dan invers matriks dihitung secara eksak.

Apa invers matriks identitas?

Matriks identitas itu sendiri, karena mengalikannya dengan dirinya sendiri tidak mengubah apa pun.

Coba kalkulator invers matriks

Masukkan matriks persegi; dapatkan invers eksaknya beserta setiap operasi baris dan pemeriksaan terakhir.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI

Tentang kalkulator invers matriks

Apa itu invers matriks?

Cara menggunakan kalkulator invers matriks

Rumus

Invers matriks 2×2

Metode Gauss–Jordan

Invers hasil kali

Penyelesaian sistem persamaan

Contoh soal dan pembahasan: Matriks 2×2

Jawaban akhir

Cara kami membaca soal Anda

Pembahasan langkah demi langkah

Rumus yang digunakan

Pemeriksaan

Penjelasan lengkap

Metode Gauss–Jordan

Matriks yang tidak memiliki invers

Bagaimana invers matriks digunakan?

Kesalahan yang sering terjadi

Kiat

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana cara mencari invers matriks 2×2?

Bagaimana cara mencari invers matriks 3×3?

Kapan suatu matriks tidak memiliki invers?

Bagaimana cara memeriksa invers matriks?

Apakah matriks yang tidak persegi memiliki invers?

Bisakah saya memasukkan desimal?

Apa invers matriks identitas?

Coba kalkulator invers matriks

Kalkulator matematika lainnya