Kalkulator Hasil Kali Titik

Tentang kalkulator hasil kali titik

Hasil kali titik adalah cara paling sederhana untuk membandingkan dua vektor. Komponen-komponen yang bersesuaian dikalikan lalu hasilnya dijumlahkan; diperoleh satu bilangan yang menunjukkan seberapa searah kedua vektor itu. Dengan bilangan ini dapat dicari sudut antara kedua vektor, diperiksa apakah keduanya tegak lurus, dan diproyeksikan satu vektor pada vektor lainnya.

Kalkulator menerima vektor dengan banyak komponen berapa pun, asalkan banyak komponen keduanya sama. Kalkulator menampilkan hasil kali komponen, jumlahnya, kedua panjang vektor, sudut dalam derajat, serta proyeksi skalar dan proyeksi vektor dari vektor pertama pada vektor kedua. Jika salah satunya vektor nol, kalkulator menjelaskan mengapa sudutnya tidak dapat ditentukan.

Apa itu hasil kali titik?

Hasil kali titik vektor $\mathbf{u} = \langle u_1, \dots, u_n \rangle$ dan $\mathbf{v} = \langle v_1, \dots, v_n \rangle$ adalah $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$ . Berbeda dengan perkalian silang, hasilnya bukan vektor, melainkan bilangan.

Secara geometris, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta$ , dengan $\theta$ sudut antara kedua vektor. Hasil kali titik bernilai positif jika sudutnya lancip, nol jika kedua vektor tegak lurus, dan negatif jika sudutnya tumpul.

Cara menggunakan kalkulator hasil kali titik

Masukkan komponen vektor pertama, dipisahkan dengan koma, misalnya 1, 2, 3.
Masukkan vektor kedua dengan banyak komponen yang sama.
Tekan «Hitung».
Perhatikan hasil kali titik, panjang kedua vektor, dan sudut di antaranya.
Gunakan langkah proyeksi jika Anda memerlukan komponen suatu vektor pada arah vektor lainnya.

Rumus

Hasil kali titik

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i

Panjang vektor

|\mathbf{u}| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}

Sudut antara dua vektor

\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}

Proyeksi vektor u pada v

\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\,\mathbf{v}

Contoh soal dan pembahasan: ⟨1,2,3⟩ · ⟨4,−5,6⟩

Contoh soal memakai $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ dan $\mathbf{v} = \langle 4, -5, 6 \rangle$ . Hasil kali komponennya 4, $-10$ , dan 18, dan jumlahnya 12.

Panjang kedua vektor adalah $\sqrt{14}$ dan $\sqrt{77}$ , sehingga $\cos\theta = \frac{12}{\sqrt{14}\sqrt{77}}$ dan sudutnya kira-kira $68.56°$ . Hasil kali titik yang positif memastikan bahwa sudutnya lancip.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

u v = 12

Cara kami membaca soal Anda

Hasil kali titik dua vektor berdimensi 3.

\langle 1, 2, 3 \rangle \cdot \langle 4, -5, 6 \rangle

Pembahasan langkah demi langkah

Kalikan komponen-komponen yang bersesuaian
$(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)$
Jumlahkan hasil kalinya
$u v = 4 - 10 + 18 = 12$
Tentukan panjang vektor
$|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387$
Sudut antara kedua vektor
$\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ rad})$
Proyeksi skalar dan proyeksi vektor u pada v
$\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle$

Rumus yang digunakan

Hasil kali titik
$u \cdot v = \sum u_i v_i = |u||v|\cos\theta$

Hasil kali titiknya positif, sehingga sudut antara kedua vektor lancip.

Pemeriksaan

Dihitung secara eksak; hasil kali titik bersifat simetris, sehingga v·u memberikan nilai yang sama.

Penjelasan lengkap

Cara mengukur sudut dan memeriksa ketegaklurusan

Jika $\cos\theta$ diisolasi dari rumus geometris, diperoleh sudut antara dua vektor tak nol mana pun. Karena lancip atau tumpulnya sudut hanya ditentukan oleh tanda kosinus, tanda hasil kali titik saja sudah cukup untuk itu, bahkan sebelum panjang vektor mana pun dihitung.

Dua vektor tegak lurus jika dan hanya jika hasil kali titiknya nol. Untuk $\langle 1, 0 \rangle$ dan $\langle 0, 1 \rangle$ , hasil kali titiknya 0 dan sudutnya $90°$ . Pemeriksaan ini berlaku di setiap dimensi; karena itu, mulai dari empat dimensi, ketika sudut tidak dapat lagi digambar, ketegaklurusan ditentukan dengan hasil kali titik.

Proyeksi ortogonal

Proyeksi skalar $\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ adalah panjang bertanda dari «bayangan» $\mathbf{u}$ pada garis berarah $\mathbf{v}$ . Proyeksi vektor adalah vektor satuan searah $\mathbf{v}$ yang dikalikan dengan panjang tersebut. Jika proyeksi itu dikurangkan dari $\mathbf{u}$ , tersisa komponen yang tegak lurus terhadap $\mathbf{v}$ : proses ortogonalisasi Gram–Schmidt dan metode kuadrat terkecil bertumpu pada gagasan ini.

Dalam fisika, usaha yang dilakukan gaya tetap $\mathbf{F}$ yang memindahkan benda sejauh vektor $\mathbf{d}$ adalah $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}$ : hanya komponen gaya yang searah perpindahan yang melakukan usaha.

Sifat-sifat

Hasil kali titik bersifat simetris, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$ , dan distributif terhadap penjumlahan. Hasil kali titik suatu vektor dengan dirinya sendiri sama dengan kuadrat panjangnya; begitulah tepatnya panjang vektor dihitung. Jika salah satu vektor dikalikan $k$ , hasil kali titiknya juga dikalikan $k$ ; untuk $k$ positif, sudutnya tidak berubah.

Hasil kali titik juga berkaitan dengan aturan kosinus. Menjabarkan $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v})$ menghasilkan $|\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ ; inilah tepatnya aturan kosinus untuk segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor dan selisihnya. Identitas ini menjelaskan mengapa rumus sudut tersebut berlaku.

Kesalahan yang sering terjadi

Mengharapkan vektor sebagai jawaban; hasil kali titik adalah satu bilangan.
Mengalikan komponen yang tidak bersesuaian atau memakai vektor dengan banyak komponen berbeda.
Lupa menarik akar kuadrat saat menghitung panjang vektor.
Membiarkan kalkulator dalam mode radian padahal sudut diperlukan dalam derajat.
Memproyeksikan pada vektor yang salah; $\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}$ dan $\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}$ berbeda.

Kiat

Periksa ketegaklurusan lebih dulu: hasil kali titik nol berarti sudut siku-siku.
Tentukan lebih dulu apakah sudutnya lancip atau tumpul dari tanda hasil kali titik.
Jika vektor-vektornya lebih dulu dinormalkan menjadi panjang 1, hasil kali titiknya langsung sama dengan $\cos\theta$ .
Jika Anda memerlukan vektor yang tegak lurus terhadap keduanya, gunakan kalkulator perkalian silang.
Gunakan kalkulator matriks untuk menghitung banyak hasil kali titik sekaligus sebagai perkalian matriks.
Sebelum mengalikan, tulis kedua vektor berdampingan sebagai kolom agar komponen yang bersesuaian saling berhadapan.

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana cara mencari hasil kali titik?

Kalikan komponen-komponen yang bersesuaian dari kedua vektor, lalu jumlahkan hasil kalinya. Untuk ⟨1, 2, 3⟩ dan ⟨4, −5, 6⟩ diperoleh 4 − 10 + 18 = 12.

Bagaimana cara mencari sudut antara dua vektor?

Bagi hasil kali titik dengan hasil kali kedua panjang vektor, lalu ambil arkkosinusnya. Kalkulator menampilkan sudutnya dalam derajat.

Apa arti hasil kali titik nol?

Jika tidak satu pun dari keduanya vektor nol, artinya kedua vektor saling tegak lurus.

Bisakah hasil kali titik bernilai negatif?

Bisa. Hasil kali titik negatif berarti sudut antara kedua vektor lebih besar dari 90°.

Apakah kalkulator bekerja pada lebih dari tiga dimensi?

Ya. Vektor boleh memiliki komponen sebanyak yang Anda inginkan, asalkan banyak komponen keduanya sama.

Apa beda hasil kali titik dan perkalian silang?

Hasil kali titik menghasilkan bilangan yang mengukur seberapa searah kedua vektor dan berlaku di setiap dimensi. Perkalian silang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang diberikan dan hanya didefinisikan untuk vektor dalam ruang tiga dimensi.

Bagaimana jika salah satu vektor adalah vektor nol?

Hasil kali titiknya 0, tetapi sudutnya tidak terdefinisi karena vektor nol tidak memiliki arah. Kalkulator memberitahukan hal ini alih-alih memberikan sudut.

Coba kalkulator hasil kali titik

Masukkan dua vektor; dapatkan hasil kali titik, sudut di antaranya, dan proyeksinya dengan penjelasan setiap langkah.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI