Trigonometri

Aturan Kosinus dengan Contoh

Q: Apakah aturan kosinus sama dengan teorema Pythagoras?

Aturan kosinus merupakan perluasannya. Pada sudut siku-siku berlaku cos 90^circ = 0: suku tambahannya hilang dan aturan ini menjadi c^2 = a^2 + b^2. Pada sudut lain, suku -2abcos C memberikan koreksi sesuai seberapa jauh sudut itu berbeda dari sudut siku-siku.

Q: Apa yang terjadi pada rumus jika sudutnya tumpul?

Kosinus sudut tumpul negatif: -2abcos C menjadi positif, dan sisi di depannya lebih panjang daripada menurut Pythagoras. Ini sesuai dengan intuisi: makin lebar sudutnya, makin jauh ujung-ujung kedua sisi itu satu sama lain.

Q: Dalam soal s-s-s, sudut mana yang dicari lebih dahulu?

Cari dulu sudut di depan sisi terpanjang. Hanya sudut itu yang mungkin tumpul, dan arccosinus menentukannya dengan benar. Setelah itu, dua sudut lainnya pasti lancip.

Q: Apakah aturan kosinus dapat mengenali segitiga yang mustahil?

Dapat. Jika tiga panjang tidak memenuhi ketaksamaan segitiga, rumus kosinus memberikan nilai kurang dari -1 atau lebih dari 1, yang tidak berpadanan dengan sudut mana pun. Misalnya, sisi 3, 4, dan 8 memberikan -1.625.

Q: Dalam aturan kosinus, sebaiknya memakai derajat atau radian?

Keduanya boleh, asalkan kalkulator diatur ke satuan yang sama dengan sudut yang dimasukkan. Pada sebagian besar soal segitiga, sudut diberikan dalam derajat; karena itu, sebelum menghitung cos C, pastikan kalkulator dalam mode derajat.

Penulis MathSolver Pro Editorial Team · Diterbitkan 25 Oktober 2026

Aturan kosinus memperluas teorema Pythagoras ke setiap segitiga. Dengan aturan ini, sisi ketiga dapat dicari jika diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya, dan sudut mana pun dapat dicari jika ketiga sisinya diketahui.

Rumus

Beri nama segitiga seperti biasa: sudut $A$ , $B$ , $C$ dan sisi-sisi di depannya $a$ , $b$ , $c$ . Aturan kosinus memiliki tiga bentuk, satu untuk setiap sisi, dan semuanya disusun menurut pola yang sama:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A, \qquad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B

Bacalah begini: kuadrat suatu sisi sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya dikurangi suatu suku koreksi. Sudut dalam suku itu berada di depan sisi di ruas kiri dan sekaligus merupakan sudut yang diapit dua sisi di ruas kanan. Jika $C = 90^\circ$ , maka $\cos C = 0$ dan koreksinya hilang: yang tersisa adalah $c^2 = a^2 + b^2$ . Jadi teorema Pythagoras merupakan kasus khusus.

Jika kosinusnya dijadikan subjek, diperoleh bentuk yang berguna untuk menghitung sudut:

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Bukti singkat dengan koordinat

Letakkan titik sudut $C$ di titik asal dan sisi $a$ pada sumbu x positif: titik sudut $B$ berada di $(a, 0)$ . Titik sudut $A$ berjarak $b$ dari titik asal dengan arah sudut $C$ ; karena itu koordinatnya $(b\cos C, b\sin C)$ .

Sisi $c$ adalah jarak antara $A$ dan $B$ . Menurut rumus jarak, $c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2$ . Setelah tanda kurung dibuka, kita memperoleh $b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C$ , dan karena $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$ , bentuk ini menjadi $a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ . Bukti ini berlaku baik sudut $C$ lancip maupun tumpul, karena koordinat dengan sendirinya memperhitungkan tanda.

Identitas yang sama juga muncul dalam bentuk vektor, $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ , dan inilah sebabnya sudut antara dua vektor dapat dicari dengan bantuan hasil kali titik.

Mencari sisi: dua sisi dan sudut yang diapitnya

Jika diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya (s-sd-s), kita tidak dapat memulai dengan aturan sinus, karena tidak ada sisi yang berpasangan dengan sudut di depannya. Aturan kosinus langsung memberikan sisi ketiga.

Contoh 1: $a = 7$ , $b = 9$ , $C = 48^\circ$

Substitusikan: $c^2 = 7^2 + 9^2 - 2(7)(9)\cos 48^\circ = 130 - 126\cos 48^\circ$ .
$\cos 48^\circ \approx 0.6691$ , jadi $c^2 \approx 130 - 84.31 = 45.69$ dan $c \approx 6.76$ .
Cari sudut di depan sisi yang lebih panjang di antara sisi-sisi yang diberikan, $b = 9$ , juga dengan aturan kosinus: $\cos B = \frac{7^2 + 6.76^2 - 9^2}{2(7)(6.76)}$ ; dari sini $B \approx 81.68^\circ$ .
Sudut terakhir: $A = 180^\circ - 48^\circ - 81.68^\circ \approx 50.32^\circ$ .

Contoh 2: dua pendaki

Dua pendaki berangkat dari perkemahan menyusuri jalan setapak lurus yang membentuk sudut $60^\circ$ . Yang satu berjalan 5 km, yang lain 8 km. Berapa jarak di antara mereka?
$d^2 = 5^2 + 8^2 - 2(5)(8)\cos 60^\circ = 25 + 64 - 40 = 49$ .
Karena $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ , jaraknya tepat $d = 7$ km.

Mencari sudut: ketiga sisi diketahui

Jika ketiga sisi diketahui (s-s-s), gunakan bentuk kosinus untuk setiap sudut. Mulailah dari sudut terbesar, yang berada di depan sisi terpanjang. Jika sudut ini tumpul, kosinusnya negatif, dan arccosinus menanganinya dengan benar karena memberikan sudut antara $0^\circ$ dan $180^\circ$ . Setelah sudut terbesar diketahui, dua sudut lainnya pasti lancip, dan aturan sinus pun dapat menyelesaikan sisanya tanpa ambiguitas.

Contoh 3: $a = 5$ , $b = 7$ , $c = 10$

Sudut terbesar $C$ : $\cos C = \frac{25 + 49 - 100}{2(5)(7)} = \frac{-26}{70} \approx -0.3714$ , jadi $C \approx 111.80^\circ$ , sudut tumpul.
Sudut $A$ : $\cos A = \frac{49 + 100 - 25}{2(7)(10)} = \frac{124}{140} \approx 0.8857$ , jadi $A \approx 27.66^\circ$ .
Sudut $B$ : $180^\circ - 111.80^\circ - 27.66^\circ \approx 40.54^\circ$ . Perhitungan langsung, $\cos B = \frac{25 + 100 - 49}{100} = 0.76$ , memberikan nilai yang sama.

Jika tiga panjang tidak dapat membentuk segitiga, hal ini terlihat dari rumusnya: kosinusnya keluar dari selang $[-1, 1]$ . Untuk sisi 3, 4, dan 8, sudut di depan sisi 8 akan menghasilkan $\cos = \frac{9 + 16 - 64}{24} = -1.625$ ; ini mustahil dan sesuai dengan ketaksamaan segitiga $3 + 4 < 8$ .

Lancip, siku-siku, atau tumpul tanpa kalkulator

Tanda $a^2 + b^2 - c^2$ sama dengan tanda $\cos C$ . Jika $c$ adalah sisi terpanjang, diperoleh penggolongan cepat:

$c^2 < a^2 + b^2$ : sudut terbesar lancip, jadi segitiganya lancip.
$c^2 = a^2 + b^2$ : segitiganya siku-siku.
$c^2 > a^2 + b^2$ : segitiganya tumpul.

Untuk sisi 5, 7, dan 10 berlaku $100 > 74$ : segitiganya tumpul; hal ini sudah dipastikan oleh contoh 3. Untuk 6, 8, dan 9 berlaku $81 < 100$ : segitiganya lancip.

Luas dari tiga sisi: rumus Heron

Jika aturan kosinus digabungkan dengan rumus luas $\frac{1}{2}ab\sin C$ , diperoleh rumus Heron yang hanya memakai panjang sisi. Misalkan $s = \frac{a + b + c}{2}$ adalah setengah keliling. Maka:

\text{Luas} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}

Untuk sisi 5, 7, dan 10 diperoleh $s = 11$ , dan luasnya $\sqrt{11 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{264} \approx 16.25$ . Sebagai pemeriksaan, $\frac{1}{2}(5)(7)\sin 111.80^\circ$ juga memberikan hasil yang sama, yaitu 16,25.

Memilih di antara kedua aturan

Gunakan aturan kosinus pada kasus s-sd-s dan s-s-s, yaitu dua kasus yang tidak memiliki pasangan sisi dan sudut di depannya. Jika Anda memiliki satu sisi dan sudut di depannya, gunakan aturan sinus. Pada soal campuran, biasanya aturan kosinus diterapkan lebih dahulu, lalu penyelesaiannya dilengkapi dengan aturan sinus. Panduan menyelesaikan segitiga merangkum semua kasus di satu tempat.

Keunggulan praktis aturan kosinus adalah tidak pernah memberikan jawaban ambigu untuk suatu sudut: setiap kosinus antara $-1$ dan 1 berpadanan dengan tepat satu sudut antara $0^\circ$ dan $180^\circ$ . Sebaliknya, aturan sinus tidak membedakan sudut lancip dari sudut tumpul pelurusnya. Karena itu banyak buku pelajaran menganjurkan agar sudut terbesar dicari dengan kosinus setiap kali sudut tumpul mungkin muncul.

Kesalahan yang sering terjadi

Menghitung $a^2 + b^2 - 2ab$ lebih dahulu, baru mengalikannya dengan $\cos C$ . Hasil kali $2ab\cos C$ harus dihitung sebelum pengurangan.
Memakai sudut yang tidak diapit oleh dua sisi yang diberikan.
Lupa menarik akar kuadrat di akhir ketika mencari sisi.
Mencampuradukkan derajat dan radian di kalkulator.
Membulatkan $c$ terlalu dini, lalu memakai nilai yang sudah dibulatkan itu untuk mencari sudut.

Kalkulator aturan kosinus menyelesaikan kasus s-sd-s, s-s-s, dan kasus lainnya dengan memperlihatkan setiap substitusi. Untuk mengulang nilai eksak kosinus sudut-sudut istimewa, gunakan kalkulator lingkaran satuan.

Di mana aturan kosinus diterapkan?

Setiap situasi dengan dua jarak yang diketahui dan sudut di antaranya merupakan soal yang cocok untuk aturan kosinus. Navigator memakainya untuk menghitung seberapa jauh sebuah kapal dari pelabuhan setelah dua ruas perjalanan dengan haluan yang berbeda. Insinyur menentukan panjang batang penopang atau kabel yang menghubungkan ujung dua balok yang membentuk sudut tertentu. Dalam robotika, seberapa jauh setiap sendi manipulator berlengan dua harus berputar untuk mencapai suatu titik ditentukan dengan mengambil sudut dari aturan kosinus, karena panjang kedua lengan dan jarak ke sasaran diketahui.

Dalam ilmu data, rumus yang sama mengukur seberapa mirip dua daftar bilangan. Jika setiap daftar dipandang sebagai vektor, kosinus sudut di antara keduanya yang dihitung dengan hasil kali titik disebut kemiripan kosinus; ukuran ini dipakai dalam mesin pencari dan sistem rekomendasi. Geometrinya sama seperti pada segitiga; yang berubah hanyalah banyaknya dimensi.

Latihan beserta penyelesaiannya

Sisi 4 dan 6 mengapit sudut $120^\circ$ . Tentukan sisi ketiga. Penyelesaian: karena $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ , hasilnya $\sqrt{16 + 36 + 24} = \sqrt{76} \approx 8.72$ .
Tentukan sudut terbesar segitiga dengan sisi 7, 8, dan 13. Penyelesaian: $\cos C = \frac{49 + 64 - 169}{112} = -\frac{1}{2}$ ; jadi sudutnya tepat $120^\circ$ .
Apakah segitiga dengan sisi 9, 12, dan 15 lancip, siku-siku, atau tumpul? Penyelesaian: $81 + 144 = 225 = 15^2$ ; jadi segitiganya siku-siku.
Tentukan luas segitiga dengan sisi 13, 14, dan 15. Penyelesaian: $s = 21$ , luas $= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$ .

Pertanyaan yang sering diajukan

Apakah aturan kosinus sama dengan teorema Pythagoras?

Aturan kosinus merupakan perluasannya. Pada sudut siku-siku berlaku $\cos 90^\circ = 0$ : suku tambahannya hilang dan aturan ini menjadi $c^2 = a^2 + b^2$ . Pada sudut lain, suku $-2ab\cos C$ memberikan koreksi sesuai seberapa jauh sudut itu berbeda dari sudut siku-siku.

Apa yang terjadi pada rumus jika sudutnya tumpul?

Kosinus sudut tumpul negatif: $-2ab\cos C$ menjadi positif, dan sisi di depannya lebih panjang daripada menurut Pythagoras. Ini sesuai dengan intuisi: makin lebar sudutnya, makin jauh ujung-ujung kedua sisi itu satu sama lain.

Dalam soal s-s-s, sudut mana yang dicari lebih dahulu?

Cari dulu sudut di depan sisi terpanjang. Hanya sudut itu yang mungkin tumpul, dan arccosinus menentukannya dengan benar. Setelah itu, dua sudut lainnya pasti lancip.

Apakah aturan kosinus dapat mengenali segitiga yang mustahil?

Dapat. Jika tiga panjang tidak memenuhi ketaksamaan segitiga, rumus kosinus memberikan nilai kurang dari $-1$ atau lebih dari 1, yang tidak berpadanan dengan sudut mana pun. Misalnya, sisi 3, 4, dan 8 memberikan $-1.625$ .

Dalam aturan kosinus, sebaiknya memakai derajat atau radian?

Keduanya boleh, asalkan kalkulator diatur ke satuan yang sama dengan sudut yang dimasukkan. Pada sebagian besar soal segitiga, sudut diberikan dalam derajat; karena itu, sebelum menghitung $\cos C$ , pastikan kalkulator dalam mode derajat.

MathSolver Pro Editorial Team

Penyuntingan dan pemeriksaan matematika

Tim editor kami menulis setiap panduan agar tidak hanya menjelaskan jawabannya, tetapi juga penalaran di balik setiap metode. Setiap contoh soal diperiksa dengan mesin penyelesai situs dan uji otomatis sebelum diterbitkan; jika suatu metode atau format ujian berubah, artikel segera diperbarui.