Trigonometri

Bagaimana Menyelesaikan Setiap Segitiga, Kasus demi Kasus?

Q: Berapa banyak data yang diperlukan untuk menyelesaikan segitiga?

Tiga data, termasuk sekurang-kurangnya satu sisi. Tiga sudut saja hanya menentukan bentuk. Konfigurasi s-s-sd dapat menghasilkan nol, satu, atau dua segitiga; karena itu diperlukan pemeriksaan tambahan.

Q: Dalam segitiga sembarang, aturan mana yang dipakai lebih dahulu?

Jika Anda memiliki satu sisi beserta sudut di depannya, mulailah dengan aturan sinus. Dalam kasus s-sd-s atau s-s-s tidak ada pasangan seperti itu; karena itu mulailah dengan aturan kosinus.

Q: Mengapa dalam soal s-s-s sudut terbesar dicari lebih dahulu?

Hanya sudut terbesar yang mungkin tumpul. Jika dihitung dengan arccosinus, sudut itu ditentukan dengan benar dan kedua sudut lainnya dijamin lancip; dengan begitu tidak ada keraguan yang tersisa.

Q: Apakah segitiga dapat diselesaikan dari ketiga sudutnya?

Tidak secara tunggal. Memperbesar segitiga mempertahankan sudut-sudutnya: perbandingan sisi-sisinya dapat ditemukan, tetapi panjangnya tidak. Untuk menentukan ukurannya diperlukan panjang satu sisi.

Q: Bagaimana mengingat fungsi-fungsi dalam segitiga siku-siku?

Sinus adalah sisi depan dibagi sisi miring, kosinus adalah sisi samping dibagi sisi miring, dan tangen adalah sisi depan dibagi sisi samping. Singkatan “sindemi, cosami, tandesa” (sinus depan-miring, kosinus samping-miring, tangen depan-samping) membantu mengingatnya; kotangen adalah sisi samping dibagi sisi depan, dan berguna juga mengetahui bahwa tangen sama dengan sinus dibagi kosinus.

Penulis MathSolver Pro Editorial Team · Diterbitkan 25 Oktober 2026

Menyelesaikan segitiga berarti menemukan ketiga sisi dan ketiga sudutnya dari data yang diketahui. Alat yang diperlukan bergantung pada tiga unsur mana yang Anda ketahui; karena itu langkah pertama selalu menentukan kasusnya.

Apa artinya menyelesaikan segitiga?

Setiap segitiga memiliki enam unsur: tiga sisi dan tiga sudut. Jika tiga di antaranya diketahui, termasuk sekurang-kurangnya satu sisi, segitiga itu umumnya sudah tertentu dan tiga unsur sisanya dapat dihitung. Mengetahui tiga sudut saja tidak cukup, karena segitiga-segitiga sebangun dengan ukuran berapa pun memiliki sudut yang sama; keadaan ini kadang ditulis sd-sd-sd dan tidak memiliki penyelesaian tunggal.

Data diberi nama menurut urutan munculnya ketika kita mengelilingi segitiga. Sd-s-sd berarti dua sudut dan sisi di antaranya, sedangkan s-sd-s berarti dua sisi dan sudut di antaranya (s untuk sisi, sd untuk sudut). Keenam konfigurasi yang mungkin dan alat yang cocok untuk masing-masing adalah:

Segitiga siku-siku dan dua unsur lain mana pun: sinus, kosinus, tangen, dan teorema Pythagoras.
Sd-sd-s atau sd-s-sd: jumlah sudut, lalu aturan sinus.
S-sd-s: aturan kosinus untuk sisi ketiga, lalu sudut-sudut sisanya.
S-s-s: aturan kosinus untuk sudut-sudutnya.
S-s-sd: aturan sinus dengan pemeriksaan apakah ada nol, satu, atau dua segitiga.
Sd-sd-sd: hanya bentuk, tanpa satu pun ukuran.

Sebelum memilih metode, selalu gambar sketsa dan tandai datanya pada gambar. Sebagian besar kesalahan muncul ketika suatu sisi dipasangkan dengan sudut yang salah.

Segitiga siku-siku: sinus, kosinus, dan tangen

Dalam segitiga siku-siku, tiga fungsi trigonometri menghubungkan sudut lancip $\theta$ dengan sisi-sisinya: sisi depan, sisi samping, dan sisi miring.

\sin\theta = \frac{\text{de}}{\text{mi}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{sa}}{\text{mi}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{de}}{\text{sa}}

Contoh 1: sisi miring 10 dan sudut $35^\circ$

Sisi depan: $10\sin 35^\circ \approx 5.736$ .
Sisi samping: $10\cos 35^\circ \approx 8.192$ .
Sudut lancip lainnya: $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .
Pemeriksaan: $5.736^2 + 8.192^2 \approx 32.90 + 67.10 = 100 = 10^2$ .

Contoh 2: tinggi pohon dari bayangannya

Ketika matahari berada $40^\circ$ di atas cakrawala, sebatang pohon menghasilkan bayangan sepanjang 18 m.
Tinggi pohon adalah sisi di depan sudut itu, sedangkan bayangannya sisi samping; karena itu kita memakai tangen: $h = 18\tan 40^\circ \approx 15.10$ m.

Untuk mencari sudut, gunakan fungsi invers. Dalam segitiga siku-siku dengan sisi 3, 4, dan 5, sudut lancip yang lebih kecil adalah $\tan^{-1}\frac{3}{4} \approx 36.87^\circ$ .

Dua sudut dan satu sisi (sd-sd-s, sd-s-sd)

Tentukan sudut ketiga dengan mengurangkan sudut-sudut yang diketahui dari $180^\circ$ . Dengan begitu Anda memiliki semua sudut dan satu sisi; inilah pasangan lengkap untuk aturan sinus:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

Contoh 3 (sd-s-sd): $A = 50^\circ$ , $B = 65^\circ$ , $c = 12$

$C = 180^\circ - 50^\circ - 65^\circ = 65^\circ$ .
$a = \frac{12\sin 50^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 10.14$ .
$B = C$ : segitiganya sama kaki, dan tanpa perhitungan tambahan $b = c = 12$ .

Jika jumlah dua sudut yang diberikan kurang dari $180^\circ$ , kasus-kasus ini selalu memiliki tepat satu penyelesaian.

Dua sisi dan sudut di antaranya (s-sd-s)

Dengan bantuan aturan kosinus, tentukan sisi di depan sudut yang diketahui. Setelah itu tentukan sudut kedua. Paling aman memilih sudut di depan sisi yang lebih pendek di antara dua sisi semula, karena sudut ini pasti lancip dan arcsinus memberikannya secara tunggal.

Contoh 4: $b = 10$ , $c = 14$ , $A = 110^\circ$

$a^2 = 10^2 + 14^2 - 2(10)(14)\cos 110^\circ \approx 296 + 95.77 = 391.77$ , jadi $a \approx 19.79$ .
Karena $A$ tumpul, $B$ dan $C$ lancip. Dari $\sin B = \frac{10\sin 110^\circ}{19.79}$ diperoleh $B \approx 28.34^\circ$ .
$C = 180^\circ - 110^\circ - 28.34^\circ \approx 41.66^\circ$ .
Pemeriksaan: sisi terpanjang, 19,79, berada di depan sudut terbesar, yaitu $110^\circ$ .

Tiga sisi (s-s-s)

Pertama, periksa apakah sisi-sisinya memenuhi ketaksamaan segitiga: setiap sisi harus lebih pendek daripada jumlah dua sisi lainnya. Lalu gunakan bentuk aturan kosinus yang ditulis untuk kosinus, dan mulailah dari sudut di depan sisi terpanjang:

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Contoh 5: sisi 6, 8, dan 9

Sudut di depan sisi 9: $\cos C = \frac{36 + 64 - 81}{96} = \frac{19}{96}$ , jadi $C \approx 78.58^\circ$ .
Sudut di depan sisi 6: $\cos A = \frac{64 + 81 - 36}{144} = \frac{109}{144}$ , jadi $A \approx 40.80^\circ$ .
Sudut di depan sisi 8: $180^\circ - 78.58^\circ - 40.80^\circ \approx 60.61^\circ$ .
Ketiga sudut lancip; hal ini sudah ditunjukkan oleh $81 < 36 + 64$ .

Dua sisi dan sudut yang tidak diapit (s-s-sd)

Inilah kasus ambigu. Nyatakan sudut yang tidak diketahui dengan aturan sinus, $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$ , lalu periksa hasilnya:

Jika $\sin B > 1$ , tidak ada segitiga.
Jika $\sin B = 1$ , ada satu segitiga siku-siku.
Jika $\sin B < 1$ , periksa $B$ maupun $180^\circ - B$ . Setiap nilai yang membuat sudut ketiga tetap positif menghasilkan segitiga yang sah.

Misalnya, data $A = 30^\circ$ , $a = 6$ , dan $b = 10$ memberikan $\sin B = \frac{5}{6}$ , jadi $B \approx 56.44^\circ$ atau $123.56^\circ$ . Karena kedua nilai masih menyisakan ruang untuk sudut ketiga, ada dua segitiga. Artikel aturan sinus menyelesaikan keduanya secara lengkap, bersama kasus-kasus ketika tidak ada segitiga dan ketika tepat ada satu.

Sudut elevasi dan sudut depresi

Banyak soal terapan berbicara tentang sudut yang diukur dari garis mendatar. Sudut elevasi diukur ke atas menuju benda, sedangkan sudut depresi diukur ke bawah. Karena garis mendatar yang melalui pengamat dan yang melalui benda sejajar, sudut depresi dari A ke B sama dengan sudut elevasi dari B ke A.

Contoh 6: beda ketinggian sebuah jalan

Sebuah jalan lurus naik dengan sudut kemiringan $3^\circ$ sepanjang 200 m jarak mendatar. Berapa kenaikannya?
Beda ketinggian $= 200\tan 3^\circ \approx 10.48$ m.
Karena $\tan 3^\circ \approx 0.0524$ , sebagai kemiringan jalan nilai ini kira-kira 5,2 persen.

Soal yang melibatkan dua garis pandang, misalnya ketika puncak sebuah gedung diamati dari dua titik di tanah, diselesaikan dengan menggabungkan segitiga siku-siku dan segitiga sembarang, dan untuk segitiga sembarang itu sering kali dipakai aturan sinus.

Daftar periksa untuk setiap jawaban

Jumlah ketiga sudut adalah $180^\circ$ .
Sisi terpanjang berada di depan sudut terbesar, dan sisi terpendek di depan sudut terkecil.
Setiap sisi lebih pendek daripada jumlah dua sisi lainnya.
Menghitung ulang suatu sisi dengan aturan yang lain memberikan nilai yang sama, kecuali selisih akibat pembulatan.
Jawaban dibulatkan hanya di akhir, dengan ketelitian yang diminta soal.

Setelah segitiga diselesaikan, luasnya dapat dicari dengan rumus $\frac{1}{2}ab\sin C$ memakai dua sisi mana pun dan sudut yang diapitnya. Kalkulator aturan kosinus menyelesaikan semua kasus segitiga sembarang langkah demi langkah, sedangkan kalkulator jarak dua titik menangani segitiga yang diberikan dengan koordinat.

Pembulatan dan ketelitian

Soal segitiga merangkai beberapa perhitungan, dan kesalahan pembulatan kecil di awal dapat berubah menjadi selisih yang nyata di akhir. Pertahankan ketelitian penuh kalkulator untuk setiap nilai antara, dengan menyimpan hasilnya di memori atau menulis sekurang-kurangnya empat angka penting. Bulatkan hanya jawaban akhir, dengan ketelitian yang diminta soal: untuk sudut dalam derajat biasanya satu atau dua angka di belakang koma, dan untuk panjang, banyaknya angka penting yang wajar.

Karena pembulatan, jumlah tiga sudut hasil perhitungan bisa menjadi $179.9^\circ$ atau $180.1^\circ$ . Ini bukan kesalahan metode. Namun, jika jumlahnya meleset satu derajat penuh atau lebih, ada yang keliru; hampir selalu ada sisi yang dipasangkan dengan sudut yang salah, atau penyelesaian dengan sudut tumpul terlewat. Perhitungan kedua yang saling bebas, misalnya mencari sisi terakhir dengan kedua aturan, adalah cara paling andal untuk memastikan jawabannya.

Pertanyaan yang sering diajukan

Berapa banyak data yang diperlukan untuk menyelesaikan segitiga?

Tiga data, termasuk sekurang-kurangnya satu sisi. Tiga sudut saja hanya menentukan bentuk. Konfigurasi s-s-sd dapat menghasilkan nol, satu, atau dua segitiga; karena itu diperlukan pemeriksaan tambahan.

Dalam segitiga sembarang, aturan mana yang dipakai lebih dahulu?

Jika Anda memiliki satu sisi beserta sudut di depannya, mulailah dengan aturan sinus. Dalam kasus s-sd-s atau s-s-s tidak ada pasangan seperti itu; karena itu mulailah dengan aturan kosinus.

Mengapa dalam soal s-s-s sudut terbesar dicari lebih dahulu?

Hanya sudut terbesar yang mungkin tumpul. Jika dihitung dengan arccosinus, sudut itu ditentukan dengan benar dan kedua sudut lainnya dijamin lancip; dengan begitu tidak ada keraguan yang tersisa.

Apakah segitiga dapat diselesaikan dari ketiga sudutnya?

Tidak secara tunggal. Memperbesar segitiga mempertahankan sudut-sudutnya: perbandingan sisi-sisinya dapat ditemukan, tetapi panjangnya tidak. Untuk menentukan ukurannya diperlukan panjang satu sisi.

Bagaimana mengingat fungsi-fungsi dalam segitiga siku-siku?

Sinus adalah sisi depan dibagi sisi miring, kosinus adalah sisi samping dibagi sisi miring, dan tangen adalah sisi depan dibagi sisi samping. Singkatan “sindemi, cosami, tandesa” (sinus depan-miring, kosinus samping-miring, tangen depan-samping) membantu mengingatnya; kotangen adalah sisi samping dibagi sisi depan, dan berguna juga mengetahui bahwa tangen sama dengan sinus dibagi kosinus.

MathSolver Pro Editorial Team

Penyuntingan dan pemeriksaan matematika

Tim editor kami menulis setiap panduan agar tidak hanya menjelaskan jawabannya, tetapi juga penalaran di balik setiap metode. Setiap contoh soal diperiksa dengan mesin penyelesai situs dan uji otomatis sebelum diterbitkan; jika suatu metode atau format ujian berubah, artikel segera diperbarui.