Penyelesai Persamaan

Q: Bagaimana persamaan pangkat tiga diselesaikan?

Kalkulator menguji kandidat akar rasional p/q, membagi dengan setiap akar yang ditemukan menggunakan metode Horner, lalu menyelesaikan sisanya. Akar irasional yang tersisa dicari secara numerik.

Q: Berapa banyak penyelesaian yang dapat dimiliki persamaan polinomial?

Persamaan polinomial berderajat n memiliki paling banyak n penyelesaian real dan tepat n penyelesaian kompleks jika multiplisitas dihitung. Persamaan pangkat empat x^4 - 5x^2 + 4 = 0 memiliki empat penyelesaian real: -2, -1, 1, dan 2.

Tentang penyelesai persamaan

Penyelesai persamaan harus lebih dulu memahami jenis soal yang dihadapinya. Persamaan linear memerlukan operasi invers, persamaan kuadrat memerlukan rumus kuadrat, sedangkan persamaan berderajat tiga atau empat dapat diuraikan dengan teorema akar rasional.

Bila memungkinkan, kalkulator mereduksi ekspresi menjadi satu polinomial dan menyelesaikannya secara eksak. Untuk persamaan seperti $2^x = 32$ atau $\sin x = 0.5$ , kalkulator mencari penyelesaian real secara numerik dan mencantumkan yang berada dalam selang tertentu. Jika tidak ada tanda sama dengan, ekspresi disederhanakan atau dihitung.

Apa itu penyelesai persamaan?

Penyelesai persamaan menerima persamaan dengan satu variabel dan memberikan semua nilai yang memenuhinya, beserta metode yang digunakan. Metodenya bergantung pada jenis persamaan. Persamaan linear seperti $5x - 3 = 12$ cukup diselesaikan dengan operasi invers. Persamaan polinomial seperti $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ menuntut pencarian akar satu per satu. Pada $2^x = 32$ , variabelnya berada di pangkat dan diselesaikan dengan cara lain.

Kalkulator pertama-tama menulis persamaan sebagai satu ekspresi yang sama dengan nol dan memeriksa apakah ekspresi itu polinomial. Jika ya, akar-akarnya dicari secara eksak; jika tidak, akar real dicari secara numerik dalam selang tertentu. Jika Anda memasukkan ekspresi tanpa tanda sama dengan, kalkulator membuka tanda kurung dan menyederhanakannya: $(x + 3)^2$ menjadi $x^2 + 6x + 9$ .

Cara menggunakan penyelesai persamaan

Masukkan persamaan seperti x^3 − 6x^2 + 11x − 6 = 0 atau ekspresi seperti (x + 3)^2.
Gunakan ^ untuk pangkat, * untuk perkalian (boleh dihilangkan di antara bilangan dan huruf), dan sqrt( ) untuk akar.
Tekan «Selesaikan». Baris interpretasi menunjukkan metode yang dipilih.

Rumus

Teorema akar rasional

a_n x^n + \cdots + a_0 = 0,\ x = \frac{p}{q} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n

Rumus kuadrat

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Teorema faktor

P(r) = 0 \iff (x - r) \text{ membagi } P(x)

Contoh soal dan pembahasan: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0

Contoh soal menyelesaikan persamaan pangkat tiga $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ . Menurut teorema akar rasional, setiap akar rasional harus membagi 6, sehingga kalkulator menguji kandidat $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Kalkulator menemukan akar $x = 1$ , membagi dengan faktor yang bersesuaian dan memperoleh $x^2 - 5x + 6$ ; lalu menemukan akar $x = 2$ , menyisakan $x - 3$ , dan akhirnya diperoleh $x = 3$ . Menyubstitusikan setiap akar ke persamaan awal menghasilkan 0; langkah pemeriksaan menegaskan hal ini.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

x = 1,\ x = 2,\ x = 3

Cara kami membaca soal Anda

Persamaan polinomial berderajat 3 dalam x.

{x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0

Pembahasan langkah demi langkah

Mulai dari persamaan
${x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0$
Pindahkan semua suku ke satu ruas
$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0$
Uji kandidat dari teorema akar rasional: x = 1 adalah akar
Pembagian sintetis dengan (x - 1) menyisakan polinomial berderajat 2.
$x^{2} - 5x + 6 = 0$
Uji kandidat dari teorema akar rasional: x = 2 adalah akar
Pembagian sintetis dengan (x - 2) menyisakan polinomial berderajat 1.
$x - 3 = 0$
Uji kandidat dari teorema akar rasional: x = 3 adalah akar
Pembagian sintetis dengan (x - 3) menyisakan polinomial berderajat 0.
Kumpulkan penyelesaian real
$x = 1,\quad x = 2,\quad x = 3$

Rumus yang digunakan

Teorema akar rasional
$x = \frac{p}{q},\ p \mid a_0,\ q \mid a_n$

Polinomial berderajat 3 memiliki tepat 3 akar jika dihitung beserta multiplisitasnya (sebagian mungkin kompleks). Akar rasional eksak dicari lebih dulu, lalu sisanya diselesaikan secara eksak atau dihampiri.

Pemeriksaan

x = 1: ruas kiri = 0, ruas kanan = 0 ✓
x = 2: ruas kiri = 0, ruas kanan = 0 ✓
x = 3: ruas kiri = 0, ruas kanan = 0 ✓

Penjelasan lengkap

Persamaan polinomial langkah demi langkah

Menurut teorema faktor, $r$ adalah akar polinomial jika dan hanya jika $x - r$ merupakan faktor polinomial itu. Karena itu setiap akar yang ditemukan memungkinkan kalkulator membagi polinomial dengan $x - r$ menggunakan metode Horner dan menurunkan derajatnya satu. Ketika yang tersisa adalah trinomial kuadrat, diskriminan dan rumus kuadrat menuntaskan pekerjaan secara eksak. Dengan cara ini persamaan pangkat empat $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ terurai menjadi empat akar: $-2, -1, 1$ , dan $2$ .

Jika faktor yang tersisa tidak memiliki akar rasional, akar realnya dihampiri dan ditandai dengan ≈; untuk faktor kuadrat, akar kompleks juga diberikan.

Persamaan non-polinomial

Pada persamaan eksponensial, logaritma, dan trigonometri, kalkulator menulis persamaan dalam bentuk $f(x) = 0$ , menelusuri selang dari −100 sampai 100 untuk mencari titik tempat $f$ berganti tanda, lalu mempersempit masing-masing dengan metode biseksi. Untuk $2^x = 32$ , kalkulator memperoleh $x \approx 5$ dan dengan substitusi menunjukkan bahwa kedua ruas sama dengan 32. Karena hanya selang ini yang ditelusuri, kalkulator menyebutkannya dalam langkah-langkah; persamaan periodik seperti $\sin x = 0.5$ memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian dan hanya yang berada dalam selang yang ditampilkan.

Kesalahan yang sering terjadi

Menulis 2x^2 padahal yang dimaksud (2x)^2; pemangkatan dikerjakan sebelum perkalian.
Mengharapkan hanya satu penyelesaian dari persamaan pangkat tiga; polinomial berderajat $n$ dapat memiliki hingga $n$ akar real.
Menulis sin x tanpa tanda kurung; tulislah sin(x).
Membagi kedua ruas dengan faktor yang memuat $x$ dan kehilangan akar yang membuat faktor itu nol.
Lupa memindahkan semua suku ke satu ruas sebelum memfaktorkan.

Kiat

Sebelum memakai rumus, pindahkan semuanya ke satu ruas dan keluarkan faktor persekutuan.
Gambar grafiknya untuk melihat berapa banyak akar real yang dapat diharapkan.
Pada persamaan eksponensial, periksa apakah kedua ruas dapat ditulis sebagai pangkat dari basis yang sama.
Jika jumlah semua koefisien adalah 0, maka $x = 1$ adalah akar; begitulah pada contoh soal.
Baca baris interpretasi lebih dulu: baris itu menunjukkan bagaimana masukan dipahami dan metode apa yang digunakan.
Alih-alih membagi dengan $x$ , misalnya, keluarkan variabel itu sebagai faktor; persamaan $x^3 = 4x$ memiliki tiga penyelesaian, bukan dua.

Pertanyaan yang sering diajukan

Persamaan apa saja yang dapat diselesaikan?

Persamaan linear, kuadrat, dan polinomial berderajat berapa pun, persamaan rasional dengan x di penyebut, serta persamaan satu variabel yang memuat fungsi eksponensial, logaritma, atau trigonometri (secara numerik).

Bagaimana persamaan pangkat tiga diselesaikan?

Kalkulator menguji kandidat akar rasional $\frac{p}{q}$ , membagi dengan setiap akar yang ditemukan menggunakan metode Horner, lalu menyelesaikan sisanya. Akar irasional yang tersisa dicari secara numerik.

Mengapa ada tanda ≈ di samping penyelesaian?

Tanda hampir sama dengan menunjukkan bahwa akar tidak memiliki bentuk eksak sehingga dicari secara numerik dengan sekitar 10 angka penting.

Bisakah ekspresi tanpa tanda sama dengan disederhanakan?

Bisa. Masukkan ekspresi seperti (x + 3)^2 untuk membuka tanda kurung dan menyederhanakannya, atau ekspresi numerik untuk menghitungnya.

Apakah penyelesaian kompleks juga dicari?

Penyelesaian kompleks diberikan untuk persamaan kuadrat dan untuk polinomial setelah akar realnya dipisahkan. Persamaan non-polinomial diselesaikan dalam himpunan bilangan real.

Apakah penyelesaiannya diperiksa?

Ya. Setiap penyelesaian disubstitusikan ke persamaan awal dan nilai sisanya ditampilkan di bagian pemeriksaan.

Berapa banyak penyelesaian yang dapat dimiliki persamaan polinomial?

Persamaan polinomial berderajat $n$ memiliki paling banyak $n$ penyelesaian real dan tepat $n$ penyelesaian kompleks jika multiplisitas dihitung. Persamaan pangkat empat $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ memiliki empat penyelesaian real: $-2, -1, 1$ , dan $2$ .

Apa kegunaan teorema akar rasional?

Teorema ini membatasi kemungkinan akar rasional pada pecahan $\frac{p}{q}$ dengan $p$ membagi suku konstanta dan $q$ membagi koefisien utama. Dengan begitu Anda mendapat daftar kandidat yang pendek untuk diuji alih-alih menebak.

Bisakah ekspresi disederhanakan tanpa diselesaikan?

Bisa. Jangan menulis tanda sama dengan; kalkulator akan membuka tanda kurung dan menggabungkan suku sejenis alih-alih menyelesaikan. Jika Anda memasukkan $(x + 3)^2$ , diperoleh $x^2 + 6x + 9$ .

Coba penyelesai persamaan

Masukkan persamaan atau ekspresi; lihat metode yang dipilih dan cara setiap penyelesaian diperiksa.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI