Menyelesaikan Persamaan Kuadrat: Pemfaktoran, Melengkapkan Kuadrat, dan Rumus ABC

Apa yang membuat sebuah persamaan disebut persamaan kuadrat?

Persamaan kuadrat dapat ditulis dalam bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \neq 0$. Karena pangkat tertinggi variabelnya 2, penyelesaiannya paling banyak dua; penyelesaian ini disebut akar. Sebelum menerapkan metode apa pun, pindahkan semua suku ke satu ruas sehingga ruas lainnya bernilai nol. Langkah ini tidak opsional: sifat hasil kali nol maupun rumus ABC sama-sama memerlukannya.

Misalnya, $x^2 = 3x + 10$ menjadi $x^2 - 3x - 10 = 0$; jadi $a = 1$, $b = -3$, dan $c = -10$. Menuliskan ketiga koefisien beserta tandanya sejak awal adalah cara paling sederhana untuk menghindari kesalahan tanda di kemudian hari.

Pada grafik, penyelesaiannya adalah absis titik-titik tempat parabola $y = ax^2 + bx + c$ memotong sumbu x. Parabola dapat memotong sumbu x dua kali, menyinggungnya sekali di titik puncak, atau tidak menyentuhnya sama sekali: karena itu persamaan kuadrat dapat memiliki dua, satu, atau tidak memiliki penyelesaian real.

Kasus khusus yang cepat: tanpa suku x atau tanpa suku tetap

Dua bentuk khusus tidak memerlukan metode umum.

• Jika $b = 0$, pisahkan $x^2$ lalu tarik akar kuadrat tanpa melupakan kedua tandanya: $x^2 = 49$ menghasilkan $x = \pm 7$; $4x^2 - 9 = 0$ menghasilkan $x^2 = \frac{9}{4}$, yaitu $x = \pm\frac{3}{2}$.
• Jika $c = 0$, keluarkan faktor persekutuan $x$: $x^2 - 5x = 0$ menjadi $x(x - 5) = 0$; jadi $x = 0$ atau $x = 5$.

Jangan pernah membagi kedua ruas $x^2 - 5x = 0$ dengan $x$. Anda akan kehilangan penyelesaian $x = 0$, karena saat $x = 0$ Anda sebenarnya membagi dengan nol.

Metode 1: pemfaktoran

Jika bentuk kuadrat dapat diuraikan menjadi dua faktor linear, sifat hasil kali nol menyelesaikan sisanya: jika $pq = 0$, maka $p = 0$ atau $q = 0$. Jika $a = 1$, cari dua bilangan yang hasil kalinya sama dengan $c$ dan jumlahnya sama dengan $b$.

Di sini hasil kali $-5$ dan $2$ adalah $-10$, dan jumlahnya $-3$. Jika $a \neq 1$, metode AC memperluas pencarian yang sama.

Pemfaktoran itu cepat, tetapi hanya praktis jika akar-akarnya rasional. Pemeriksaan yang berguna: dengan koefisien bulat, bentuk kuadrat dapat difaktorkan atas bilangan bulat jika dan hanya jika diskriminan $b^2 - 4ac$ adalah kuadrat sempurna. Untuk $6x^2 + x - 2$, nilainya $1 + 48 = 49 = 7^2$. Untuk latihan lebih lanjut, lihat panduan memfaktorkan polinom.

Metode 2: melengkapkan kuadrat sempurna

Dalam melengkapkan kuadrat, ruas kiri ditulis sebagai kuadrat sempurna ditambah sebuah konstanta. Ambil $x^2 + 6x - 7 = 0$. Pindahkan konstanta ke ruas lain, lalu tambahkan $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 9$ ke kedua ruas:

Jadi $x = 1$ atau $x = -7$. Langkah yang sama juga menghasilkan bentuk puncak $y = (x + 3)^2 - 16$, yang menunjukkan titik puncak parabola di $(-3, -16)$. Seluruh metodenya, termasuk kasus $a \neq 1$, ada dalam panduan melengkapkan kuadrat sempurna.

Metode 3: diskriminan dan rumus ABC

Melengkapkan kuadrat pada persamaan umum $ax^2 + bx + c = 0$ menghasilkan rumus yang berlaku untuk setiap persamaan kuadrat:

Pertahankan seluruh pembilang di atas $2a$. Menulis $-b \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ adalah salah satu kesalahan paling umum dalam topik ini.

Apa yang dikatakan diskriminan?

Bentuk di bawah tanda akar, yaitu $\Delta = b^2 - 4ac$, memberi tahu jenis penyelesaian sebelum perhitungan selesai:

• $\Delta > 0$: dua akar real yang berbeda; parabola memotong sumbu x dua kali.
• $\Delta = 0$: satu akar kembar; titik puncak menyinggung sumbu x. Contoh: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ hanya memiliki akar $x = 3$.
• $\Delta < 0$: tidak ada akar real, tetapi ada dua akar kompleks yang saling konjugat. Contoh: untuk $x^2 + 2x + 5 = 0$, $\Delta = 4 - 20 = -16$; jadi $x = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.

Soal penerapan: ketinggian bola yang dilempar

Persamaan kuadrat memodelkan segala sesuatu yang naik lalu jatuh dengan percepatan tetap. Misalkan ketinggian bola dalam meter setelah $t$ detik adalah $h = -5t^2 + 20t + 25$ (dengan mengambil $g \approx 10\ \text{m/s}^2$).

Membuang penyelesaian yang tidak bermakna dalam konteks soal adalah bagian dari jawaban, bukan sekadar detail.

Metode mana yang sebaiknya dipilih?

1. Jika $b = 0$ atau $c = 0$, gunakan kasus khusus cepat yang dijelaskan di atas.
2. Jika koefisiennya bilangan bulat kecil dan diskriminannya kuadrat sempurna, coba pemfaktoran.
3. Jika Anda juga memerlukan titik puncak, lengkapkan kuadratnya.
4. Dalam semua kasus lain, gunakan rumus ABC: rumus ini selalu berhasil.

Metode apa pun yang Anda pakai, periksa akar-akarnya dengan rumus Vieta. Jumlah akar harus sama dengan $-\frac{b}{a}$, dan hasil kalinya sama dengan $\frac{c}{a}$. Untuk $6x^2 + x - 2 = 0$, jumlah akar $\frac{1}{2}$ dan $-\frac{2}{3}$ adalah $-\frac{1}{6}$ dan hasil kalinya $-\frac{1}{3}$; tepat $-\frac{b}{a}$ dan $\frac{c}{a}$.

Kesalahan yang sering terjadi

• Mencoba menyelesaikan $x^2 = 3x + 10$ tanpa terlebih dahulu memindahkan semua suku ke satu ruas.
• Hanya mengambil akar positif; akibatnya penyelesaian $x = -7$ pada $x^2 = 49$ hilang.
• Salah mengkuadratkan $b$ yang negatif: jika $b = -3$, maka $b^2 = 9$, bukan $-9$. Gunakan kurung saat mensubstitusikan.
• Membagi hanya sebagian pembilang dengan $2a$.
• Menyamakan faktor dengan nilai yang salah: akar dari $(x - 5)(x + 2) = 0$ adalah $5$ dan $-2$, tandanya berlawanan dengan bilangan di dalam kurung.

Bandingkan penyelesaian Anda dengan kalkulator persamaan kuadrat, dan gambar parabolanya di penggambar grafik untuk melihat akar-akarnya sebagai titik potong sumbu x.

Memilih metode dalam praktik

Siswa sering bertanya metode mana yang benar. Semua metode yang benar menghasilkan akar yang sama; pertanyaan sebenarnya adalah metode mana yang lebih cepat dan andal untuk persamaan yang sedang dihadapi. Urutan singkat berikut bekerja dengan baik. Pertama, cari suku yang hilang: jika tidak ada suku tetap, keluarkan faktor persekutuan $x$; jika tidak ada suku $x$, pisahkan $x^2$ lalu tarik akar kuadrat. Kemudian beri diri Anda sekitar lima belas detik untuk mencari faktor bulat. Jika tidak ada yang terlihat, langsung beralih ke diskriminan alih-alih mencoba pasangan faktor baru.

Melengkapkan kuadrat adalah pilihan terbaik jika soal juga meminta titik puncak, jika koefisien $x$ genap dan koefisien utamanya 1, atau jika soal secara tegas memintanya. Grafik sangat bagus untuk memperkirakan akar dan memeriksa banyaknya penyelesaian real, tetapi pembacaan dari grafik selalu berupa perkiraan: kecuali akarnya jelas bilangan bulat, gunakan grafik untuk pemeriksaan, bukan sebagai jawaban akhir.

Dalam ujian dengan waktu terbatas, hitung diskriminannya lebih dulu. Jika hasilnya kuadrat sempurna, persamaan dapat difaktorkan atas bilangan bulat atau rasional; jika negatif, Anda langsung tahu bahwa tidak ada akar real.

Memeriksa akar-akar

Substitusi adalah pemeriksaan paling andal: masukkan setiap akar ke persamaan asal dan pastikan ruas kirinya bernilai nol. Untuk akar irasional, cara ini melelahkan jika dikerjakan dengan tangan; karena itu gunakan jumlah dan hasil kali akar. Untuk $2x^2 + 4x - 3 = 0$, jumlah akar $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ adalah $-2$, yang sama dengan $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{2}$, dan hasil kalinya $\frac{4 - 10}{4} = -\frac{3}{2}$, yang sama dengan $\frac{c}{a}$. Keduanya cocok, jadi akar-akarnya benar.

Periksa juga apakah jawabannya bermakna dalam konteks soal. Pada contoh bola, salah satu akar persamaan bernilai negatif, dan waktu negatif sebelum lemparan tidak memiliki makna fisik: hanya akar positif yang menjawab pertanyaan. Dalam soal penerapan tentang panjang, harga, atau jumlah, salah satu penyelesaian sering dibuang karena alasan yang sama, dan alasannya layak dijelaskan dalam satu kalimat.

Anda dapat membandingkan setiap langkah dengan kalkulator persamaan kuadrat yang menampilkan diskriminan, akar eksak, dan titik puncak.

Pertanyaan yang sering diajukan