Melengkapkan Kuadrat Sempurna dan Bentuk Titik Puncak: Panduan Langkah demi Langkah

Gagasan metode ini

Kuadrat sempurna adalah kuadrat binomial yang sudah dijabarkan. Dari $(x + h)^2$ diperoleh $x^2 + 2hx + h^2$: suku tetapnya sama dengan kuadrat dari setengah koefisien $x$. Saat melengkapkan kuadrat sempurna, konstanta inilah yang ditambahkan agar bentuknya menjadi kuadrat sempurna.

Misalnya, setengah dari 6 adalah 3 dan $3^2 = 9$; jadi $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$. Jika ruas kanan dijabarkan, diperoleh $x^2 + 6x + 9 - 9$ dan kesamaannya terbukti. Secara geometris, $x^2 + 6x$ adalah persegi berukuran $x$ kali $x$ ditambah dua jalur berukuran $3$ kali $x$; pojok yang hilang adalah persegi $3$ kali $3$ dengan luas 9.

Pola yang sama berlaku untuk tanda minus. Setengah dari $-10$ adalah $-5$ dan $(-5)^2 = 25$; jadi $x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25$. Konstanta yang ditambahkan selalu positif karena berupa kuadrat, sedangkan tanda di dalam kurung sama dengan tanda $b$. Membedakan kedua fakta ini dengan jelas mencegah sebagian besar kesalahan pada langkah berikutnya.

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

1. Jika koefisien $x^2$ bukan 1, bagi semua suku dengan koefisien tersebut.
2. Pindahkan suku tetap ke ruas kanan.
3. Tambahkan $(b/2)^2$ ke kedua ruas.
4. Tulis ruas kiri sebagai $(x + b/2)^2$ dan sederhanakan ruas kanan.
5. Tarik akar kuadrat kedua ruas tanpa melupakan $\pm$, lalu sendirikan $x$.

Jika koefisien utama bukan 1

Rumus ABC menegaskannya: $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$. Jika koefisien tengahnya ganjil, pecahan tidak dapat dihindari, tetapi mudah ditangani. Untuk $x^2 + 5x - 1 = 0$, setengah dari 5 adalah $\frac{5}{2}$; jadi $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = 1 + \frac{25}{4} = \frac{29}{4}$ dan $x = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$.

Akar kompleks

Jika ruas kanan negatif, tidak ada akar real, tetapi metode ini tetap memberikan akar-akar kompleks.

Pemeriksaan: $(-2 + 3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = -5 - 12i$ dan $-5 - 12i + 4(-2 + 3i) + 13 = -5 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0$.

Bentuk titik puncak fungsi kuadrat

Melengkapkan kuadrat sempurna paling sering diterapkan pada fungsi, untuk mengubah $y = ax^2 + bx + c$ ke bentuk $y = a(x - h)^2 + k$ dengan $(h, k)$ sebagai titik puncak. Karena kuadrat tidak pernah negatif, titik puncak adalah titik minimum jika $a > 0$ dan titik maksimum jika $a < 0$.

Kesalahan paling umum pada contoh 4 adalah tidak mengalikan 9 yang dikurangkan dengan faktor $-2$ yang dikeluarkan. Pemeriksaan cepatnya adalah menjabarkan kembali bentuk titik puncak yang diperoleh.

Rumus singkat $h = -\frac{b}{2a}$ memberikan absis titik puncak yang sama; melengkapkan kuadrat sempurna menunjukkan asal rumus tersebut. Kalkulator persamaan kuadrat menampilkan titik puncak di samping akar-akarnya.

Penurunan rumus ABC

Melengkapkan kuadrat sempurna pada persamaan umum $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \neq 0$ menghasilkan rumus ABC; itulah sebabnya rumus ini selalu berlaku.

Langkah tengahnya diperoleh dengan menambahkan $\frac{b^2}{4a^2}$ ke kedua ruas dan menulis $-\frac{c}{a}$ sebagai $-\frac{4ac}{4a^2}$. Panduan cara menyelesaikan persamaan kuadrat menjelaskan kapan memakai rumus, pemfaktoran, atau metode ini.

Lingkaran dan penerapan lainnya

Melengkapkan kuadrat sempurna terhadap $x$ dan $y$ sekaligus mengubah persamaan umum lingkaran menjadi persamaan baku yang menunjukkan pusat dan jari-jarinya.

Dalam kalkulus, langkah yang sama menyiapkan integral seperti $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$: dengan menulis penyebut sebagai $(x + 1)^2 + 4$ diperoleh $\frac{1}{2}\arctan\frac{x + 1}{2} + C$. Kalkulator integral menerapkan transformasi ini bila sesuai.

Kesalahan yang sering terjadi

• Menambahkan $(b/2)^2$ hanya ke satu ruas.
• Melengkapkan kuadrat sempurna sebelum membagi dengan koefisien utama yang bukan 1.
• Melupakan $\pm$ saat menarik akar kuadrat sehingga satu akar hilang.
• Memakai $b^2$ atau $b/2$ alih-alih $(b/2)^2$.
• Salah membaca tanda titik puncak: $(x - 3)^2$ memberikan $h = 3$, sedangkan $(x + 3)^2$ memberikan $h = -3$.

Coba contoh Anda sendiri di kalkulator melengkapkan kuadrat sempurna, yang menampilkan setiap langkah di atas.

Apa yang ditunjukkan oleh bentuk titik puncak?

Jika fungsi kuadrat ditulis dalam bentuk $a(x - h)^2 + k$, banyak sifatnya dapat dibaca tanpa perhitungan lain. Titik puncaknya $(h, k)$, dan sumbu simetrinya adalah garis tegak $x = h$. Range-nya langsung diperoleh: jika $a > 0$, nilai terkecilnya $k$ dan range-nya $[k, \infty)$; jika $a < 0$, nilai terbesarnya $k$ dan range-nya $(-\infty, k]$.

Banyaknya titik potong dengan sumbu x juga dapat ditentukan. Dari $a(x - h)^2 + k = 0$ diperoleh $(x - h)^2 = -\frac{k}{a}$. Jika $-\frac{k}{a}$ positif, ada dua titik potong; jika nol, titik puncaknya menyinggung sumbu; jika negatif, parabola tidak memotong sumbu. Pada contoh 3, persamaan $(x - 2)^2 = -3$ tidak memiliki akar real; ini sesuai dengan parabola terbuka ke atas yang titik puncaknya berada pada ketinggian 3. Pada contoh 4, dari $-2(x - 3)^2 + 8 = 0$ diperoleh $(x - 3)^2 = 4$: titik potongnya $x = 1$ dan $x = 5$.

Soal optimasi juga bertumpu pada gagasan yang sama. Jika laba dari penjualan dengan harga $p$, dalam ratusan dolar, adalah $P = -2p^2 + 12p - 10$, contoh 4 menunjukkan bahwa laba terbesar adalah 8 ratus dolar pada $p = 3$. Turunan tidak diperlukan: suku kuadrat hanya dapat menurunkan nilai di bawah ketinggian titik puncak.

Latihan dengan penyelesaian

Cobalah menyelesaikannya sendiri sebelum melihat jawabannya. Masing-masing memakai satu langkah dari contoh-contoh sebelumnya.

1. Selesaikan $x^2 - 10x + 21 = 0$. Penyelesaian: $(x - 5)^2 = 4$, jadi $x = 3$ atau $x = 7$.
2. Selesaikan $x^2 + 2x - 4 = 0$. Penyelesaian: $(x + 1)^2 = 5$, jadi $x = -1 \pm \sqrt{5}$.
3. Tulis $y = x^2 + 8x + 10$ dalam bentuk titik puncak. Penyelesaian: $y = (x + 4)^2 - 6$, titik puncak $(-4, -6)$.
4. Tulis $y = 3x^2 - 6x + 1$ dalam bentuk titik puncak. Penyelesaian: $y = 3(x - 1)^2 - 2$, titik puncak $(1, -2)$.
5. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$. Penyelesaian: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$, pusat $(-1, 4)$, jari-jari 3.

Jika jawabannya tidak cocok, jabarkan kembali kuadrat sempurna Anda dan bandingkan baris demi baris dengan bentuk asalnya; selisihnya biasanya menunjukkan konstanta mana yang salah ditambahkan atau dikurangkan.

Mengapa metode ini perlu dipelajari?

Wajar jika muncul pertanyaan mengapa melengkapkan kuadrat sempurna perlu dipelajari padahal ada rumus ABC. Jawabannya: ini bukan sekadar teknik penyelesaian, melainkan sebuah transformasi. Bentuk aljabarnya ditulis ulang sehingga variabel hanya muncul di satu tempat, yaitu di dalam kuadrat. Setelah itu bentuknya mudah dianalisis: minimum atau maksimum, simetri, dan akar-akarnya terlihat sekilas.

Gagasan ini muncul di seluruh matematika. Irisan kerucut seperti lingkaran, elips, dan hiperbola dikenali dengan melengkapkan kuadrat sempurna terhadap dua variabel. Dalam statistika, eksponen pada fungsi kepadatan distribusi normal memuat bentuk kuadrat sempurna, dan banyak sifatnya bergantung pada perhitungan yang sama. Dalam kalkulus, integral yang memuat trinomial kuadrat di bawah tanda akar atau di penyebut tereduksi menjadi integral dasar setelah langkah ini. Fisika juga memakainya untuk mencari posisi setimbang pada fungsi energi.

Jadi, latihan dengan persamaan sederhana membangun keterampilan yang menjadi dasar topik-topik berikutnya. Jika Anda dapat mengerjakan contoh 1–5 tanpa petunjuk, Anda sudah siap menghadapi penerapan ini dan soal ujian yang meminta metodenya, bukan hanya akar-akarnya.

Pertanyaan yang sering diajukan