Memfaktorkan Polinom: Peta Langkah demi Langkah

Mengapa kita perlu memfaktorkan?

Memfaktorkan polinom berarti menuliskannya sebagai hasil kali polinom-polinom yang lebih sederhana. Menjabarkan kurung pada $(x + 3)(x + 4)$ menghasilkan $x^2 + 7x + 12$; memfaktorkan adalah jalan kembalinya. Bentuk terfaktor biasanya jauh lebih berguna: bentuk ini langsung menunjukkan penyelesaian persamaan, menyederhanakan pecahan dengan mencoret faktor yang sama, dan memperlihatkan di mana grafik memotong sumbu x.

Setiap hasil pemfaktoran dapat diperiksa dengan mengalikan kembali faktor-faktornya. Jika perkalian itu tidak menghasilkan polinom semula dengan tepat, ada kesalahan di suatu tempat; jadikan pemeriksaan ini sebagai kebiasaan.

Peta langkah pemfaktoran

Setiap guru dan setiap buku pelajaran mengurutkan tekniknya sedikit berbeda, tetapi peta langkah berikut cocok untuk hampir semua polinom dalam aljabar dasar. Terapkan secara berurutan, dan mulai lagi dari awal untuk setiap faktor sampai tidak ada lagi yang dapat difaktorkan.

1. Keluarkan faktor persekutuan terbesar dari semua suku.
2. Hitung banyaknya suku. Jika ada dua suku, cari selisih dua kuadrat atau jumlah maupun selisih dua pangkat tiga.
3. Jika ada tiga suku, cari kuadrat sempurna; jika bukan, cari dua bilangan berdasarkan jumlah dan hasil kalinya, atau gunakan metode AC.
4. Jika ada empat suku, coba pengelompokan.
5. Mulai dari derajat tiga, dan jika tidak ada bentuk yang dikenal, gunakan teorema akar rasional dan pembagian polinom.
6. Periksa kembali setiap faktor, lalu kalikan untuk memastikan hasilnya.

Langkah 1: faktor persekutuan terbesar

Selalu mulai dari sini. Cari bilangan terbesar yang membagi semua koefisien dan pangkat terkecil dari setiap variabel yang muncul di semua suku.

Jika koefisien utamanya negatif, keluarkan faktor persekutuan yang negatif. $-x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3)$ jauh lebih mudah daripada bergulat dengan suku $x^2$ yang bertanda negatif.

Trinomial dengan koefisien utama 1

Untuk $x^2 + bx + c$, cari dua bilangan $m$ dan $n$ dengan $mn = c$ dan $m + n = b$. Maka $x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)$.

• $x^2 + 7x + 12$: hasil kali 3 dan 4 adalah 12, jumlahnya 7; dari sini diperoleh faktor $(x + 3)(x + 4)$.
• $x^2 - 2x - 15$: hasil kali $-5$ dan 3 adalah $-15$, jumlahnya $-2$; dari sini diperoleh faktor $(x - 5)(x + 3)$.
• $x^2 - 9x + 20$: bilangannya $-4$ dan $-5$; hasilnya $(x - 4)(x - 5)$.

Tanda-tandanya memberi jalan pintas. Jika $c$ positif, kedua bilangan bertanda sama dengan $b$. Jika $c$ negatif, kedua bilangan berbeda tanda, dan bilangan dengan nilai mutlak lebih besar bertanda sama dengan $b$.

Trinomial dengan koefisien utama sembarang: metode AC

Jika $a \neq 1$, kalikan $a$ dengan $c$, cari dua bilangan yang hasil kalinya $ac$ dan jumlahnya $b$, pecah suku tengah menjadi dua dengan bilangan-bilangan itu, lalu faktorkan dengan pengelompokan.

Trinomial dengan koefisien bulat dapat difaktorkan atas bilangan bulat jika dan hanya jika $b^2 - 4ac$ adalah kuadrat sempurna. Untuk $3x^2 - 10x + 8$, diskriminannya $100 - 96 = 4$, yaitu kuadrat sempurna; jadi pencarian bilangan pasti berhasil. Jika diskriminannya bukan kuadrat sempurna, hentikan pencarian dan gunakan rumus kuadrat (rumus abc).

Identitas yang perlu dikenali

Tiga bentuk begitu sering muncul sehingga layak dikenali sekilas pandang:

• Selisih dua kuadrat: $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$.
• $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$: identitas selisih dua kuadrat diterapkan dua kali.
• Karena $4x^2 = (2x)^2$, $9 = 3^2$, dan $12x = 2(2x)(3)$, maka $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$.
• Selisih dan jumlah pangkat tiga: $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ dan $27x^3 + 1 = (3x + 1)(9x^2 - 3x + 1)$.

Jumlah dua kuadrat seperti $x^2 + 4$ tidak dapat difaktorkan atas bilangan real. Diskriminannya $-16$, yaitu negatif.

Empat suku: memfaktorkan dengan pengelompokan

Bagi polinom menjadi dua pasangan, keluarkan faktor persekutuan dari setiap pasangan, lalu cari kurung yang sama.

Jika kurungnya tidak cocok, kelompokkan ulang suku-sukunya dalam pasangan yang berbeda sebelum menyerah.

Derajat tinggi: teorema akar rasional

Pada polinom dengan koefisien bulat, setiap akar rasional $\frac{p}{q}$ yang ditulis dalam bentuk paling sederhana memenuhi syarat berikut: $p$ membagi suku tetap dan $q$ membagi koefisien utama. Coba calon-calonnya sampai salah satu menghasilkan nol, lalu bagi dengan faktor linear yang bersesuaian.

Jika ingin membandingkan hasil Anda, kalkulator polinom melakukan pembagian langkah demi langkah.

Kesalahan yang sering terjadi saat memfaktorkan

• Melupakan faktor persekutuan; akibatnya tersisa trinomial yang lebih sulit dan jawaban yang tidak lengkap.
• Berhenti terlalu cepat: $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$ belum selesai, karena $x^2 - 4$ masih dapat difaktorkan.
• Memperlakukan $a^2 + b^2$ seperti selisih dua kuadrat.
• Kesalahan tanda saat mengelompokkan: $-4x - 12 = -4(x + 3)$, bukan $-4(x - 3)$.
• Tidak memeriksa dengan mengalikan. Pemeriksaan ini hanya butuh beberapa detik dan mengungkap semua kesalahan di atas.

Periksa polinom Anda di kalkulator pemfaktoran yang menyebutkan metode yang dipakai pada setiap langkah, dan gunakan bentuk terfaktor untuk menyederhanakan bentuk rasional.

Bagaimana mengetahui bahwa polinom tidak dapat difaktorkan?

Tidak semua polinom dapat difaktorkan atas bilangan bulat, dan menyadarinya sejak awal menghemat banyak waktu. Untuk $ax^2 + bx + c$ dengan koefisien bulat, hitung diskriminan $b^2 - 4ac$. Jika hasilnya kuadrat sempurna, polinom itu dapat difaktorkan menjadi faktor linear dengan koefisien rasional. Jika positif tetapi bukan kuadrat sempurna, akarnya irasional dan polinom itu disebut tak tereduksi atas bilangan rasional; jika negatif, polinom itu sama sekali tidak dapat difaktorkan atas bilangan real.

Misalnya, diskriminan $x^2 + 3x + 1$ adalah $9 - 4 = 5$, yang bukan kuadrat sempurna: tidak ada pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya 1 dan jumlahnya 3. Akar-akarnya, $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$, diperoleh dengan rumus kuadrat. Jumlah kuadrat $x^2 + 4$ memiliki diskriminan $-16$ dan tidak dapat difaktorkan atas bilangan real, tetapi atas bilangan kompleks dapat difaktorkan menjadi $(x - 2i)(x + 2i)$.

Untuk polinom berderajat tiga atau lebih, teorema akar rasional memberikan daftar calon yang terbatas. Jika tidak satu pun yang merupakan akar, polinom itu tidak memiliki faktor linear dengan koefisien rasional; meski begitu, polinom berderajat empat masih mungkin terurai menjadi dua bentuk kuadrat.

Di mana pemfaktoran akan dibutuhkan nanti?

Pemfaktoran bukan topik yang berdiri sendiri. Menyelesaikan persamaan polinom bergantung pada sifat hasil kali nol: jika $AB = 0$, maka $A = 0$ atau $B = 0$. Menyederhanakan bentuk rasional bergantung pada pencoretan faktor yang sama. Titik potong sumbu x dan tanda polinom langsung terbaca dari bentuk terfaktor; dalam kalkulus, limit berbentuk $\frac{0}{0}$ juga sering dihitung dengan memfaktorkan lalu mencoret.

Misalnya, $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ tidak dapat dihitung dengan substitusi langsung, tetapi jika pembilangnya difaktorkan menjadi $(x - 2)(x + 2)$ lalu dicoret, yang tersisa adalah $x + 2$; jadi limitnya 4. Penguraian menjadi pecahan parsial untuk integral juga dimulai dengan memfaktorkan penyebut secara lengkap.

Selalu periksa pemfaktoran dengan mengalikan. Mengalikan lebih cepat daripada memfaktorkan dan langsung mengungkap kesalahan tanda.

Untuk memeriksa pemfaktoran Anda, masukkan ke kalkulator pemfaktoran, atau jabarkan kurung hasilnya dengan kalkulator penyederhanaan bentuk aljabar.

Pertanyaan yang sering diajukan