Menyederhanakan Bentuk Aljabar Langkah demi Langkah

Apa sebenarnya arti menyederhanakan?

Bentuk seperti $3(2x - 5) - 2(x - 4)$ tidak memiliki tanda sama dengan, jadi tidak ada yang perlu diselesaikan di sini. Menyederhanakannya berarti mencari bentuk yang identik sama, yaitu bentuk yang menghasilkan nilai yang sama untuk setiap $x$ yang sah tetapi lebih ringkas dan lebih praktis. Di sini bentuk itu adalah $4x - 7$.

Konsep kuncinya adalah kesamaan identik. Setiap langkah harus berupa aturan yang sah, bukan tebakan yang kebetulan menghasilkan hasil yang rapi. Pemeriksaan yang berguna adalah mensubstitusikan sebuah nilai: untuk $x = 2$, bentuk asal menghasilkan $3(-1) - 2(-2) = -3 + 4 = 1$, dan $4(2) - 7 = 1$ juga demikian. Kecocokan di satu titik tidak membuktikan bahwa kedua bentuk identik, tetapi ketidakcocokan membuktikan adanya kesalahan.

Menggabungkan suku-suku sejenis

Suku-suku sejenis memuat variabel yang persis sama dengan pangkat yang persis sama; hanya koefisiennya yang boleh berbeda. $3x^2$ dan $-7x^2$ sejenis. $3x^2$ dan $3x$ tidak sejenis; begitu pula $xy$ dan $x^2y$.

Untuk menggabungkan suku sejenis, jumlahkan koefisiennya dan biarkan bagian hurufnya tidak berubah:

Sebelum menjumlahkan, garis bawahi atau beri warna setiap kelompok suku sejenis, dan ambil setiap suku beserta tandanya. Pada $4x + 3y - x$, sukunya adalah $-x$, bukan $x$.

Sifat distributif dan menjabarkan kurung

Sifat distributif $a(b + c) = ab + ac$ memungkinkan kita menjabarkan kurung. Faktor di depan kurung dikalikan dengan setiap suku di dalam kurung; tanda minus di depan kurung adalah faktor $-1$.

• Karena $-2 \times -4 = +8$, maka $-2(x - 4) = -2x + 8$.
• Tanda minus di depan kurung: $-(3x - y + 1) = -3x + y - 1$.
• $(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$: kalikan setiap suku kurung pertama dengan setiap suku kurung kedua.
• $(2x - 3)^2 = (2x - 3)(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 9$; bukan $4x^2 + 9$.

Mengkuadratkan suatu jumlah suku demi suku, seperti pada $(a + b)^2 = a^2 + b^2$, adalah salah satu kesalahan paling umum dalam aljabar. Rumus yang benar untuk kuadrat jumlah adalah $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Sifat-sifat eksponen

Hasil kali dan hasil bagi bentuk pangkat disederhanakan dengan beberapa aturan yang berlaku untuk setiap basis tak nol:

Jika Anda ingin memeriksa bentuk yang lebih panjang, kalkulator eksponen menerapkan aturan-aturan ini satu per satu.

Menyederhanakan bentuk rasional

Bentuk rasional disederhanakan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebut secara lengkap lalu mencoret faktor yang muncul di keduanya. Hanya faktor yang boleh dicoret, tidak pernah suku.

Meskipun $(x + 3)$ sudah tidak terlihat, batasan $x \neq -3$ harus tetap dipertahankan, karena bentuk asal tidak terdefinisi pada nilai itu. Untuk menjumlahkan pecahan, cari dulu penyebut bersama:

Jika Anda kesulitan memfaktorkan, panduan memfaktorkan polinom menjelaskan semua metode yang dipakai di sini; kalkulator bentuk rasional juga menampilkan penyederhanaan langkah demi langkah.

Menyederhanakan bentuk akar

Untuk $a$ dan $b$ yang lebih besar dari atau sama dengan nol, keluarkan faktor kuadrat sempurna dari tanda akar dengan aturan $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$. Lalu gabungkan akar-akar sejenis seperti suku sejenis.

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ dan $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$; jadi $\sqrt{50} + \sqrt{18} = 8\sqrt{2}$.
• Perkalian akar: $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$.
• $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$; ini bukan $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$. Akar tidak dapat didistribusikan pada penjumlahan.

Urutan pengerjaan yang masuk akal

1. Jabarkan kurung dengan sifat distributif sambil memperhatikan tanda minus.
2. Terapkan sifat-sifat eksponen pada hasil kali, hasil bagi, dan pangkat.
3. Gabungkan suku-suku sejenis.
4. Faktorkan pecahan secara lengkap lalu coret faktor persekutuan tanpa kehilangan batasannya.
5. Tulis hasilnya dalam urutan yang lazim, biasanya menurut pangkat menurun: $3x^2 - x + 4$.
6. Lakukan pemeriksaan cepat dengan mensubstitusikan nilai sederhana ke bentuk asal dan ke hasilnya.

Kesalahan yang mengubah nilai

• Mencoret suku alih-alih faktor: $\frac{x + 6}{x + 3}$ tidak sama dengan $2$ maupun $\frac{6}{3}$.
• Menerapkan tanda minus hanya pada suku pertama di dalam kurung.
• Menjumlahkan eksponen saat mengalikan basis yang berbeda: $x^2 y^3$ tidak dapat ditulis sebagai satu bentuk pangkat.
• Menulis $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ atau $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• Melupakan batasan setelah penyederhanaan.

Masukkan bentuk apa pun ke kalkulator penyederhanaan bentuk aljabar dan bandingkan langkah-langkahnya dengan langkah Anda. Persamaan yang memuat bentuk yang sudah disederhanakan jauh lebih mudah diselesaikan; baca cara menyelesaikan persamaan linear.

Contoh terselesaikan yang lebih panjang

Soal nyata biasanya menggabungkan beberapa aturan di atas. Penyelesaian yang cermat atas salah satunya menunjukkan bagaimana urutan langkah menjaga bentuk aljabar tetap terkendali.

Perhatikan bahwa pengurangan di depan $(x + 1)^2$ baru diterapkan setelah kuadrat di dalam kurung dijabarkan. Menjabarkan lebih dulu, lalu mendistribusikan tanda minus ke semua suku, membantu Anda menghindari kesalahan tanda yang klasik.

Kapan sebuah bentuk sudah sepenuhnya sederhana?

Guru dan buku pelajaran memakai kesepakatan yang sama tentang jawaban akhir. Sebuah bentuk biasanya dianggap sudah sepenuhnya sederhana jika: tidak ada lagi kurung yang dapat dijabarkan, kecuali bentuk terfaktor yang diminta; tidak ada dua suku sejenis; tidak ada eksponen negatif atau nol; tidak ada pecahan yang pembilang dan penyebutnya memiliki faktor persekutuan; tidak ada bentuk akar yang memuat faktor kuadrat sempurna; dan tidak ada akar di penyebut.

Aturan terakhir dipenuhi dengan merasionalkan penyebut. Untuk $\frac{6}{\sqrt{3}}$, kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{3}$: diperoleh $\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$. Kedua bentuk bernilai sama, kira-kira $3.464$, tetapi bentuk akhir yang lazim adalah yang kedua.

Kadang-kadang bentuk paling sederhana bergantung pada tujuannya. Bentuk terjabar $x^2 - 3x - 10$ memudahkan pembacaan koefisien, sedangkan bentuk terfaktor $(x + 2)(x - 5)$ langsung menunjukkan akar-akarnya. Jika soal tidak menyebutkan bentuk yang diminta, keduanya setara, tetapi kebanyakan guru mengharapkan bentuk terjabar untuk penjumlahan dan bentuk terfaktor yang sudah disederhanakan untuk pecahan.

Jika dua jawaban yang tampak berbeda lolos pemeriksaan substitusi untuk dua atau tiga nilai, hampir pasti keduanya adalah dua cara penulisan dari bentuk yang sama.

Menyederhanakan bentuk dengan banyak variabel

Bentuk dengan banyak variabel mengikuti aturan yang persis sama, tetapi di sini lebih mudah kehilangan satu suku. Menata suku-suku menurut bagian hurufnya sebelum menjumlahkan sangat membantu. Pada $3a^2b - 2ab^2 + 5ab - a^2b + 4ab^2$, kelompok suku sejenisnya adalah suku-suku $a^2b$, suku-suku $ab^2$, dan suku-suku $ab$. Jika setiap kelompok dijumlahkan, Anda memperoleh $2a^2b + 2ab^2 + 5ab$. Tidak ada lagi yang dapat digabungkan, karena bagian huruf setiap suku yang tersisa berbeda; tetapi semuanya memiliki faktor persekutuan $ab$, sehingga bentuk ini juga dapat ditulis sebagai $ab(2a + 2b + 5)$.

Menulis variabel dalam setiap suku menurut urutan abjad, misalnya menulis $ba$ sebagai $ab$, membantu mengenali suku-suku sejenis. Ini juga kesepakatan yang lazim untuk jawaban akhir.

Pertanyaan yang sering diajukan