Kalkulator Bilangan Berpangkat

Tentang kalkulator bilangan berpangkat

Pangkat adalah cara singkat menulis perkalian berulang, tetapi dengan cepat maknanya meluas: pangkat negatif menyatakan kebalikan, pangkat pecahan menyatakan akar, dan beberapa sifat dapat meringkas perkalian panjang menjadi beberapa baris saja. Mencampuradukkan sifat-sifat ini adalah salah satu sumber kesalahan paling umum dalam aljabar.

Kalkulator memiliki dua mode. Mode perpangkatan menghitung $a^b$ secara eksak untuk basis rasional dan pangkat rasional, misalnya $8^{2/3} = 4$ atau $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-2} = \tfrac94$ , dan memberi tahu jika hasilnya irasional atau bukan bilangan real. Mode penyederhanaan menerapkan sifat-sifat eksponen pada suku tunggal dengan banyak variabel dan menuliskan jawabannya dengan pangkat positif.

Apa itu pangkat?

Pada $a^n$ , jika $n$ bilangan asli, basis $a$ dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak $n$ kali: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . Jadi, pangkat $n$ adalah banyaknya faktor dalam perkalian itu.

Definisinya diperluas sedemikian rupa sehingga sifat-sifatnya tetap berlaku: untuk $a \ne 0$ berlaku $a^0 = 1$ , $a^{-n} = 1/a^n$ , dan $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ . Dengan demikian, setiap pangkat rasional memiliki makna; $a^{m/n}$ adalah akar pangkat $n$ dari $a$ yang dipangkatkan $m$ .

Cara menggunakan kalkulator bilangan berpangkat

Pilih «Hitung perpangkatan bⁿ» untuk memangkatkan bilangan, atau «Sederhanakan dengan sifat eksponen» untuk menerapkan sifat-sifatnya pada ekspresi.
Pada mode perpangkatan, masukkan basis dan pangkatnya. Keduanya boleh berupa bilangan bulat, desimal, atau pecahan seperti 2/3 atau -1/2.
Pada mode penyederhanaan, tulis ekspresinya dengan ^ untuk pangkat, misalnya (2x^3y)^2/(4x^-1y^5).
Tekan «Hitung» dan ikuti langkah-langkahnya; di setiap langkah disebutkan sifat yang diterapkan, misalnya pangkat dari hasil kali atau pembagian perpangkatan dengan basis yang sama.

Rumus

Perkalian perpangkatan dengan basis yang sama

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Pembagian perpangkatan dengan basis yang sama

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Pangkat dari perpangkatan

(a^m)^n = a^{mn}

Pangkat dari hasil kali

(ab)^n = a^n b^n

Pangkat negatif

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Pangkat pecahan

a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Contoh soal dan pembahasan: 8^(2/3)

Contoh soal menghitung $8^{2/3}$ . Penyebut pangkatnya, yaitu 3, menunjukkan akar pangkat tiga, sedangkan pembilangnya, yaitu 2, menunjukkan kuadrat; karena itu kalkulator lebih dulu mencari $\sqrt[3]{8} = 2$ , lalu mengkuadratkannya sehingga diperoleh 4.

Jika akar diambil lebih dulu, bilangannya tetap kecil: $8^2 = 64$ , kemudian $\sqrt[3]{64} = 4$ memberikan jawaban yang sama tetapi memerlukan perhitungan lebih banyak.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

4

Cara kami membaca soal Anda

Pangkatkan 8 dengan 2/3.

\left(8\right)^{\frac{2}{3}}

Pembahasan langkah demi langkah

Tentukan basis dan pangkatnya
basis b = 8, pangkat n = 2/3
$8^{\frac{2}{3}}$
Aturan pangkat pecahan
b^(m/n) = (ⁿ√b)^m: penyebut (3) adalah indeks akar, pembilang (2) adalah pangkatnya.
$8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}$
Tarik akar pangkat tiga secara eksak
$4$

Rumus yang digunakan

Pangkat bilangan bulat
$b^n = \underbrace{b\cdot b\cdots b}_{n}$
Pangkat negatif
$b^{-n} = \frac{1}{b^n}$
Pangkat rasional
$b^{m/n} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m$

8 dipangkatkan 2/3 sama dengan 4.

Pemeriksaan

Pemeriksaan desimal: 8^0.6666666667 ≈ 4.

Penjelasan lengkap

Mengapa sifat-sifat ini berlaku?

Mengalikan perpangkatan sama dengan menghitung banyak faktor. $a^3 \cdot a^2$ adalah tiga faktor $a$ yang dikalikan dengan dua faktor lagi; totalnya lima faktor, yaitu $a^5$ . Membagi berarti mencoret: pada $\frac{a^5}{a^2}$ dua faktor dicoret dan tersisa tiga faktor.

Definisi pangkat nol dan pangkat negatif dipaksa oleh sifat pembagian. Karena $\frac{a^3}{a^3} = 1$ dan sifat itu menghasilkan $a^0$ , haruslah $a^0 = 1$ . Demikian pula, $\frac{a^2}{a^5} = a^{-3}$ juga sama dengan $\frac{1}{a^3}$ ; karena itu $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$ .

Pangkat pecahan dan akar

Karena $(a^{1/n})^n = a^{1} = a$ , bilangan $a^{1/n}$ haruslah akar pangkat $n$ dari $a$ . Kalkulator memberikan hasil eksak jika akarnya rasional, seperti pada contoh $32^{3/5} = 8$ ; jika tidak, kalkulator mempertahankan bentuk akar yang eksak alih-alih desimal yang dibulatkan.

Jika basisnya negatif, akar berindeks ganjil bernilai real, sehingga $(-8)^{1/3} = -2$ ; sedangkan akar berindeks genap bukan bilangan real: $(-4)^{1/2}$ tidak memiliki nilai real. Kalkulator memberitahukan hal ini alih-alih memberikan hasil yang menyesatkan.

Menyederhanakan suku tunggal

Untuk menyederhanakan ekspresi seperti $\frac{(2x^3y)^2}{4x^{-1}y^5}$ , terapkan lebih dulu sifat pangkat dari hasil kali: $(2x^3y)^2 = 4x^6y^2$ . Lalu bagi koefisiennya dan kurangkan pangkat setiap variabel: $4/4 = 1$ , $x^{6-(-1)} = x^7$ , dan $y^{2-5} = y^{-3}$ . Terakhir, tulis pangkat negatif sebagai kebalikan dan diperoleh $\frac{x^7}{y^3}$ .

Di mana pangkat muncul di luar pelajaran?

Pangkat menggambarkan segala sesuatu yang tumbuh atau menyusut dengan laju tetap. Tabungan dengan bunga 5% per tahun dikalikan $1.05^t$ setelah $t$ tahun, populasi yang berlipat dua setiap periode tumbuh seperti $2^t$ , dan sampel radioaktif menyusut seperti $\left(\tfrac12\right)^t$ setiap waktu paruh. Notasi ilmiah seperti $6.02 \times 10^{23}$ memakai perpangkatan sepuluh untuk menulis bilangan yang sangat besar dan sangat kecil secara ringkas.

Dalam setiap keadaan berlaku sifat-sifat yang sama. Pertumbuhan dua tahun disusul tiga tahun lagi memberikan $1.05^2 \cdot 1.05^3 = 1.05^5$ ; sedangkan waktu untuk mencapai nilai sasaran dicari dengan membalik perpangkatan menggunakan logaritma, dan kalkulator logaritma melakukannya langkah demi langkah.

Kesalahan yang sering terjadi

Mengalikan basis dengan pangkat, misalnya menulis $2^3 = 6$ alih-alih 8.
Mengira pangkat negatif membuat hasilnya negatif. $2^{-3} = \tfrac18$ , dan itu bilangan positif.
Menerapkan pangkat hanya pada sebagian hasil kali: $(3x)^2 = 9x^2$ , bukan $3x^2$ .
Mendistribusikan pangkat pada penjumlahan: $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ .
Mencampuradukkan $-3^2 = -9$ dan $(-3)^2 = 9$ ; perpangkatan dikerjakan sebelum tanda minus.

Kiat

Pada $a^{m/n}$ , jika basisnya perpangkatan sempurna, tarik akarnya lebih dulu agar bilangannya tetap kecil.
Saat menyederhanakan suku tunggal, tangani koefisien dan setiap variabel secara terpisah.
Biarkan pangkat negatif sampai langkah terakhir, lalu pindahkan ke sisi lain garis pecahan.
Selalu gunakan tanda kurung saat memangkatkan bilangan negatif atau pecahan.

Pertanyaan yang sering diajukan

Berapa nilai suatu bilangan yang dipangkatkan nol?

Setiap bilangan tak nol yang dipangkatkan nol sama dengan 1. Bentuk 0 pangkat 0 dibiarkan tidak terdefinisi di kalkulator ini, karena berbagai cabang matematika memperlakukannya secara berbeda.

Bagaimana cara menghitung perpangkatan dengan pangkat negatif?

Ambil kebalikan basisnya, lalu pangkatkan dengan pangkat positifnya. Misalnya, 5 pangkat minus 2 sama dengan 1 per 25.

Apa arti pangkat pecahan?

Penyebut menunjukkan akar, pembilang menunjukkan pangkat. Misalnya, 27 pangkat 2/3 adalah kuadrat dari akar pangkat tiga 27, yaitu 3, sehingga hasilnya 9.

Bisakah bilangan negatif dipangkatkan dengan pecahan?

Hanya jika penyebut pangkat yang telah disederhanakan itu ganjil. Minus 8 pangkat 1/3 sama dengan minus 2; sedangkan minus 4 pangkat 1/2 bukan bilangan real.

Mengapa kuadrat dari (a + b) tidak sama dengan a kuadrat tambah b kuadrat?

Perpangkatan didistribusikan pada perkalian, bukan pada penjumlahan. Jika dijabarkan, diperoleh a kuadrat tambah 2ab tambah b kuadrat, dan suku tengahnya mudah terlupa; inilah rumus kuadrat jumlah.

Apakah kalkulator memberikan hasil eksak?

Ya. Hasilnya berupa pecahan atau bentuk akar yang eksak; hampiran desimal hanya ditampilkan di samping hasil yang irasional.

Coba kalkulator bilangan berpangkat

Hitung perpangkatan secara eksak atau sederhanakan ekspresi dan lihat setiap sifat yang diterapkan.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI