Kalkulator Logaritma

Tentang kalkulator logaritma

Logaritma menjawab satu pertanyaan: basis harus dipangkatkan berapa agar menghasilkan bilangan yang diberikan? Karena $2^5 = 32$ , maka $\log_2 32 = 5$ . Logaritma adalah kebalikan fungsi eksponen; karena itu logaritma menjadi alat untuk menyelesaikan setiap persamaan yang variabelnya berada di pangkat, mulai dari bunga majemuk hingga nilai pH dan desibel.

Kalkulator memiliki tiga mode. Mode hitung mencari nilai $\log_b(x)$ ; jika $x$ merupakan pangkat rasional dari basis $b$ , hasilnya berupa bilangan rasional eksak seperti $\log_4 8 = \tfrac32$ , dan jika bukan, hasilnya berupa bentuk pengubahan basis beserta nilai desimalnya. Mode «selesaikan $b^x = y$ » mencari pangkatnya, sedangkan mode «selesaikan $\log_b(x) = c$ » mencari numerus logaritmanya. Basisnya boleh bilangan positif apa pun selain 1, atau $e$ untuk logaritma natural.

Apa itu logaritma?

Untuk basis $b > 0$ , $b \ne 1$ dan bilangan $x > 0$ , penulisan $\log_b x = y$ berarti tepat $b^y = x$ . Kedua kesamaan menyatakan fakta yang sama dalam dua bentuk berbeda; kemampuan berpindah dari bentuk yang satu ke bentuk yang lain adalah keterampilan dasarnya.

Dua basis memiliki nama khusus. Logaritma biasa $\log x$ (di beberapa sumber ditulis lg) memakai basis 10, sedangkan logaritma natural $\ln x$ memakai basis $e \approx 2.71828$ , yang muncul secara alami dalam soal pertumbuhan, kalkulus, dan teori peluang. Logaritma nol dan bilangan negatif tidak terdefinisi pada bilangan real, karena tidak ada pangkat dari basis positif yang bernilai nol atau negatif.

Cara menggunakan kalkulator logaritma

Pilih mode: hitung log_b(x), selesaikan b^x = y, atau selesaikan log_b(x) = c.
Masukkan basisnya: bilangan positif yang tidak sama dengan 1, 10 untuk logaritma biasa, atau e untuk logaritma natural.
Masukkan bilangan x (pada mode hitung) atau ruas kanan (pada mode persamaan). Pecahan seperti 1/8 juga diterima.
Tekan tombol mode tersebut. Anda akan melihat bagaimana bilangan itu ditulis sebagai pangkat dari basis, atau pengubahan basis apa yang dipakai.

Rumus

Definisi

\log_b x = y \iff b^y = x

Logaritma hasil kali

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Logaritma hasil bagi

\log_b\frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

Logaritma perpangkatan

\log_b(M^k) = k\log_b M

Pengubahan basis

\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}

Contoh soal dan pembahasan: log₄(8)

Contoh soal menghitung $\log_4 8$ . Tidak ada bilangan yang merupakan pangkat dari bilangan lainnya, tetapi keduanya merupakan pangkat dari bilangan prima yang sama: $4 = 2^2$ dan $8 = 2^3$ . Kalkulator menuliskan soalnya sebagai $(2^2)^y = 2^3$ , yaitu $2y = 3$ .

Karena itu hasil eksaknya adalah $\tfrac32$ ; sebagai pemeriksaan, $4^{3/2} = (\sqrt4)^3 = 8$ .

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

\log_{4}\left(8\right) = \frac{3}{2}

Cara kami membaca soal Anda

Hitung logaritma dari 8 dengan basis 4.

\log_{4}\left(8\right)

Pembahasan langkah demi langkah

Pertanyaannya: basis dipangkatkan berapa agar menghasilkan bilangan itu?
$4^{\,y} = 8$
Tulis kedua bilangan sebagai perpangkatan faktor-faktor prima yang sama
Membandingkan pangkat faktor primanya menunjukkan 8 = 4^(3/2).
$8 = 4^{\frac{3}{2}}$

Rumus yang digunakan

Definisi
$\log_b x = y \iff b^y = x$
Pengubahan basis
$\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$
Sifat-sifat
$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N,\quad \log_b M^k = k\log_b M$

4 dipangkatkan 3/2 tepat menghasilkan 8.

Pemeriksaan

Pemeriksaan: 4^1.5 ≈ 8.

Penjelasan lengkap

Nilai eksak atau pengubahan basis?

Jika bilangan dan basisnya dapat ditulis sebagai pangkat dari bilangan prima yang sama, logaritmanya rasional dan dihitung secara eksak; misalnya $\log_{27} 9 = \tfrac23$ atau $\log_2 \tfrac18 = -3$ . Kalkulator memfaktorkan kedua bilangan menjadi pangkat-pangkat prima dan membandingkan eksponennya; karena itu hasil seperti ini eksak.

Kebanyakan logaritma irasional. $\log 50$ tidak memiliki nilai rasional eksak: kalkulator menuliskannya melalui pengubahan basis sebagai $\frac{\ln 50}{\ln 10}$ dan memberikan nilai desimal $1.69897\ldots$ . Rumus pengubahan basis berlaku karena dari $y = \log_b x$ diperoleh $b^y = x$ , dan dengan mengambil logaritma natural kedua ruas didapat $y \ln b = \ln x$ .

Menyelesaikan persamaan eksponen

Untuk menyelesaikan $2^x = 10$ , ambil logaritma kedua ruas. Sifat logaritma perpangkatan membawa variabelnya ke depan: $x \ln 2 = \ln 10$ , sehingga $x = \frac{\ln 10}{\ln 2} = \log_2 10 \approx 3.32193$ . Pemeriksaan cepat: $2^3 = 8$ dan $2^4 = 16$ , jadi penyelesaiannya harus terletak di antara 3 dan 4.

Persamaan seperti $2^x = -4$ tidak memiliki penyelesaian real, karena basis positif selalu bernilai positif untuk setiap pangkat real. Kalkulator memberitahukan hal ini alih-alih memberikan suatu nilai.

Menyelesaikan persamaan logaritma

Untuk menyelesaikan $\log_3 x = 4$ , ubah ke bentuk eksponen: $x = 3^4 = 81$ . Karena logaritma hanya terdefinisi untuk numerus positif, penyelesaiannya harus positif; pada persamaan yang lebih rumit, selalu periksa apakah nilai yang diperoleh berada dalam daerah asal.

Menggabungkan sifat-sifat logaritma

Sifat logaritma hasil kali, hasil bagi, dan perpangkatan mencerminkan sifat-sifat eksponen, karena logaritma sendiri adalah eksponen. Dengan sifat-sifat ini Anda dapat memecah logaritma menjadi bagian-bagian yang lebih sederhana, misalnya $\log_2(8x^3) = 3 + 3\log_2 x$ , atau menggabungkan beberapa logaritma menjadi satu, misalnya $\ln 6 - \ln 2 = \ln 3$ . Jika persamaan memuat lebih dari satu logaritma, menggabungkannya sering kali menjadi langkah pertama, karena logaritma tunggal yang tersisa kemudian dapat ditulis ulang dalam bentuk eksponen.

Kesalahan yang sering terjadi

Menulis $\log(a + b) = \log a + \log b$ . Sifat hasil kali berlaku untuk $\log(ab)$ , bukan untuk penjumlahan.
Membagi logaritma secara keliru: $\frac{\log a}{\log b}$ bukan $\log(a - b)$ dan juga bukan $\log\frac ab$ .
Mencoba menghitung logaritma nol atau bilangan negatif.
Tertukar antara tombol $\log$ (basis 10) dan $\ln$ (basis $e$ ) pada kalkulator.
Lupa bahwa untuk setiap basis yang sah berlaku $\log_b 1 = 0$ dan $\log_b b = 1$ .

Kiat

Jika arti suatu logaritma belum jelas, tulis ulang dulu dalam bentuk eksponen.
Sebelum menghitung, taksir hasilnya dengan pangkat-pangkat terdekat: $\log_2 10$ sedikit lebih besar daripada 3.
Gunakan faktorisasi prima untuk mengenali hasil eksak, misalnya $\log_8 32 = \tfrac53$ .
Jika pelajaran Anda mengizinkan, pertahankan hasil dalam bentuk logaritma eksak sampai langkah terakhir.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa perbedaan log dan ln?

Penulisan log biasanya menyatakan basis 10, yaitu logaritma biasa (di beberapa sumber lg), sedangkan ln menyatakan basis e, yaitu logaritma natural. Sifat-sifatnya sama; keduanya hanya berbeda dengan suatu faktor pengali konstan.

Mengapa logaritma bilangan negatif tidak dapat dicari?

Basis positif selalu bernilai positif untuk setiap pangkat real: tidak ada eksponen real yang menghasilkan bilangan nol atau negatif. Logaritma seperti itu tidak terdefinisi pada bilangan real.

Bagaimana cara kerja rumus pengubahan basis?

Logaritma x dengan basis b sama dengan ln x dibagi ln b. Dengan begitu, kalkulator yang hanya memiliki tombol ln atau log dapat menghitung logaritma dengan basis apa pun.

Kapan logaritma menghasilkan bilangan bulat atau pecahan?

Ketika bilangannya merupakan pangkat rasional dari basis. Misalnya, logaritma 8 dengan basis 4 adalah 3/2, karena 4 pangkat 3/2 sama dengan 8. Dalam keadaan lain, logaritmanya irasional.

Bagaimana menyelesaikan persamaan yang variabelnya berada di pangkat?

Ambil logaritma kedua ruas, bawa pangkatnya ke depan dengan sifat logaritma perpangkatan, lalu bagilah. Jika 2 pangkat x sama dengan 10, maka x adalah ln 10 dibagi ln 2.

Mengapa basisnya tidak boleh 1?

Semua pangkat dari 1 sama dengan 1: logaritma dengan basis 1 tidak dapat membedakan bilangan-bilangan dan tidak akan menjadi fungsi.

Apa kegunaan logaritma?

Untuk mengukur besaran yang membentang pada banyak orde besaran, seperti kekuatan gempa bumi, tingkat kebisingan dalam desibel, atau keasaman yang diukur dengan pH, serta untuk menyelesaikan soal pertumbuhan dan peluruhan.

Coba kalkulator logaritma

Hitung logaritma dengan basis apa pun, atau selesaikan persamaan eksponen maupun logaritma langkah demi langkah.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI