Logaritma: Definisi, Sifat-Sifat, dan Cara Menyelesaikan Persamaan

Apa itu logaritma?

Pangkat dan logaritma adalah dua cara untuk menyatakan hubungan yang sama. Persamaan $2^3 = 8$ mengatakan bahwa jika 2 dipangkatkan 3, hasilnya 8. Logaritma membalik pertanyaannya: agar mendapat 8, 2 harus dipangkatkan berapa? Jawabannya 3, dan kita menulis $\log_2 8 = 3$.

Bilangan $b$ disebut basis, $x$ adalah numerus (argumen logaritma), dan $y$ adalah eksponen yang dicari, yaitu nilai logaritma itu sendiri. Syarat-syaratnya penting. Basis harus positif dan tidak sama dengan 1, karena semua pangkat dari 1 sama dengan 1, sedangkan pangkat bilangan negatif tidak terdefinisi untuk setiap eksponen real. Numerus harus positif, karena setiap pangkat real dari basis positif selalu menghasilkan bilangan positif.

• Karena $10^3 = 1000$, maka $\log_{10} 1000 = 3$.
• Karena $5^{-2} = \frac{1}{25}$, maka $\log_5 \frac{1}{25} = -2$.
• Karena $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$, maka $\log_9 3 = \frac{1}{2}$.
• Karena $b^0 = 1$, untuk setiap basis yang sah $\log_7 1 = 0$; dan karena $b^1 = b$, maka $\log_b b = 1$.

Ada notasi khusus untuk dua basis. Logaritma biasa $\log x$ berbasis 10 dan berguna untuk besaran yang dinyatakan dengan pangkat sepuluh. Logaritma natural $\ln x$ berbasis $e \approx 2.71828$; basis ini muncul secara alami dalam pertumbuhan, peluruhan, dan kalkulus. Di beberapa buku dan bahasa pemrograman, $\log$ berarti logaritma natural, jadi pastikan konvensi mana yang dipakai di kelas Anda.

Tiga sifat logaritma

Karena logaritma adalah eksponen, sifat-sifat pangkat langsung berubah menjadi sifat-sifat logaritma. Untuk $M$ dan $N$ positif dan setiap basis yang sah:

Sifat logaritma hasil kali berasal dari $b^m b^n = b^{m+n}$: mengalikan bilangan berarti menjumlahkan eksponennya, yaitu logaritmanya. Sifat logaritma hasil bagi berasal dari pembagian pangkat, dan sifat logaritma pangkat berasal dari $(b^m)^k = b^{mk}$. Inilah alasan tabel logaritma dipakai sebelum ada kalkulator: tabel itu mengubah perkalian yang sulit menjadi penjumlahan.

• $\log_2(32 \cdot 4) = \log_2 32 + \log_2 4 = 5 + 2 = 7$, dan memang $128 = 2^7$.
• Hasil kali di dalam logaritma: $\log 50 + \log 2 = \log 100 = 2$.
• Hasil bagi di dalam logaritma: $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$.
• Pangkat di dalam logaritma: $\ln(e^5) = 5\ln e = 5$.

Menguraikan dan menggabungkan bentuk logaritma

Menguraikan berarti memecah satu logaritma menjadi bagian-bagian yang lebih sederhana dengan bantuan sifat-sifatnya; menggabungkan berarti menyatukan beberapa logaritma menjadi satu logaritma. Kedua tugas ini sering muncul dalam ujian dan keduanya berguna saat menyelesaikan persamaan.

Sebelum menggabungkan, koefisien harus diubah menjadi pangkat. $2\ln x + \ln y$ sama dengan $\ln(x^2 y)$, bukan $\ln(2xy)$.

Perubahan basis

Kalkulator biasanya hanya memiliki tombol $\log$ dan $\ln$. Basis lain mana pun dapat ditangani dengan rumus perubahan basis, yang berlaku untuk setiap basis baru $c$:

Misalnya, $\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx \frac{2.302585}{0.693147} \approx 3.3219$. Perkiraan kasar membantu: karena $2^3 = 8$ dan $2^4 = 16$, hasilnya harus terletak antara 3 dan 4. Rumus ini juga menunjukkan bahwa $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$; jadi karena $\log_2 8 = 3$, maka $\log_8 2 = \frac{1}{3}$.

Menyelesaikan persamaan eksponensial

Jika variabelnya ada di eksponen, pisahkan bentuk pangkatnya di satu ruas lalu ambil logaritma kedua ruas; sifat logaritma pangkat akan "menurunkan" eksponennya.

Kesalahan yang sering terjadi pada contoh 2 adalah mengambil logaritma sebelum membagi dengan 5. Cara itu tidak salah, tetapi menghasilkan $\ln 5 + (x - 1)\ln 2 = \ln 40$ dan membutuhkan lebih banyak pekerjaan. Jika bentuk pangkat dipisahkan lebih dulu, penyelesaiannya tetap singkat.

Menyelesaikan persamaan logaritma

Jika variabelnya ada di dalam logaritma, gabungkan logaritma-logaritmanya menjadi satu lalu tulis ulang persamaannya dalam bentuk eksponensial. Karena nol dan bilangan negatif tidak memiliki logaritma, setiap calon penyelesaian harus diperiksa pada persamaan asal.

Penyelesaian contoh 3 berujung pada persamaan kuadrat. Untuk mengulang cara menyelesaikannya, baca panduan cara menyelesaikan persamaan kuadrat.

Grafik fungsi logaritma

Fungsi $y = \log_b x$ adalah invers dari $y = b^x$, sehingga grafiknya merupakan bayangan cermin grafik fungsi eksponensial terhadap garis $y = x$. Untuk $b > 1$, grafiknya melalui titik $(1, 0)$ dan $(b, 1)$, naik perlahan tetapi tanpa batas, dan mendekati sumbu y yang berperan sebagai asimtot vertikal. Domainnya $(0, \infty)$, sedangkan range-nya seluruh bilangan real; ini kebalikan persis dari fungsi eksponensial.

Pergeseran mengubah domain. Untuk $y = \ln(x - 3)$, numerusnya harus positif: domainnya $(3, \infty)$ dan asimtotnya bergeser ke $x = 3$. Cara menentukan himpunan ini dijelaskan dalam panduan domain dan range, sedangkan hubungannya dengan fungsi eksponensial dibahas lebih rinci dalam artikel fungsi invers. Anda dapat menggambar beberapa basis sekaligus di penggambar grafik.

Di mana logaritma digunakan?

• Bunga majemuk: jumlah uang yang tumbuh 5% per tahun menjadi dua kali lipat ketika $1.05^t = 2$, yaitu setelah $t = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx 14.21$ tahun.
• Kimia: nilai pH sama dengan $-\log[\mathrm{H}^+]$; konsentrasi ion hidrogen $10^{-3}$ mol per liter memberi pH 3, dan setiap satuan pH sesuai dengan faktor sepuluh kali lipat.
• Akustik: taraf intensitas bunyi dalam desibel sama dengan $10\log_{10}\frac{I}{I_0}$; bunyi yang 100 kali lebih kuat terdengar 20 desibel lebih tinggi.
• Ilmu komputer: pencarian biner di antara $n$ elemen memerlukan sekitar $\log_2 n$ langkah; karena itu sejuta elemen hanya membutuhkan sekitar 20 langkah.

Keempat situasi ini punya kesamaan: logaritma memampatkan besaran yang membentang di banyak orde besaran ke dalam skala yang praktis, dan mengubah perubahan perkalian menjadi perubahan penjumlahan.

Kesalahan yang sering terjadi

• Menulis $\log(a + b) = \log a + \log b$. Sifat itu untuk hasil kali; tidak ada aturan untuk logaritma suatu jumlah.
• Menulis $\frac{\log a}{\log b} = \log\frac{a}{b}$. Ruas kiri adalah perubahan basis, yaitu $\log_b a$.
• Mencampuradukkan $(\log x)^2$ dengan $\log x^2 = 2\log x$.
• Tidak memeriksa penyelesaian persamaan logaritma dan melewatkan jawaban yang membuat numerus negatif.
• Tertukar antara tombol $\log$ dan $\ln$ di kalkulator.

Kalkulator logaritma menghitung dalam basis apa pun dan menampilkan langkah perubahan basis, sehingga Anda dapat dengan cepat memeriksa contoh-contoh di atas.

Rencana belajar logaritma

Logaritma sering terasa abstrak karena notasinya menyembunyikan pertanyaan yang sederhana. Agar percaya diri, latih penerjemahan ke dua arah sampai menjadi otomatis. Ambil sepuluh pangkat yang sudah Anda ketahui, misalnya $2^5 = 32$ atau $10^{-2} = 0.01$, lalu tulis masing-masing sebagai logaritma. Kemudian ambil sepuluh logaritma dan tulis masing-masing sebagai pangkat. Setelah latihan singkat, $\log_3 81$ atau $\log_{10} 0.001$ bukan lagi teka-teki, melainkan hitungan di luar kepala.

Selanjutnya, latih sifat-sifatnya pada bilangan sebelum menerapkannya pada variabel. Jika dengan menghitung kedua ruas Anda melihat bahwa $\log_2 8 + \log_2 4$ sama dengan $\log_2 32$, sifat hasil kali menjadi meyakinkan, dan Anda belajar mengenali aturan-aturan keliru dari bagian sebelumnya. Baru setelah itu beralihlah ke menguraikan dan menggabungkan bentuk aljabar.

Terakhir, selesaikan persamaan dari kedua jenis: persamaan dengan variabel di eksponen dan persamaan dengan variabel di dalam logaritma. Jenis pertama diselesaikan dengan mengambil logaritma, jenis kedua dengan beralih ke bentuk eksponensial. Mengenali jenis soal adalah separuh pekerjaan; memeriksa syarat di akhir adalah kebiasaan kedua yang membedakan jawaban yang benar dari jawaban yang hampir benar.

Pertanyaan yang sering diajukan