Fungsi

Cara Mencari Domain dan Range Suatu Fungsi

Q: Nilai apa saja yang diterima polinom sebagai masukan?

Semua bilangan real, (-∞, ∞). Polinom hanya memakai penjumlahan, pengurangan, dan perkalian; karena itu tidak ada nilai yang menyebabkan pembagian dengan nol, akar pangkat genap dari bilangan negatif, atau logaritma yang tidak terdefinisi.

Penulis MathSolver Pro Editorial Team · Diterbitkan 25 Oktober 2026

Domain adalah himpunan nilai yang diterima fungsi sebagai masukan; range adalah semua nilai yang dapat dihasilkan fungsi. Domain dicari dengan menemukan nilai-nilai yang terlarang, sedangkan range dicari dengan menyelidiki nilai mana yang benar-benar tercapai.

Definisi dan notasi

Fungsi memasangkan setiap anggota suatu himpunan, yaitu domain, dengan tepat satu nilai. Himpunan semua nilai yang benar-benar dicapai disebut range (daerah hasil). Untuk $f(x) = x^2$ , setiap bilangan real dapat dikuadratkan, sehingga domainnya semua bilangan real; tetapi kuadrat tidak pernah negatif, sehingga range-nya $[0, \infty)$ .

Domain dan range biasanya ditulis dengan interval. Kurung siku memasukkan ujung interval, sedangkan kurung biasa mengecualikannya; di samping tak hingga selalu dipakai kurung biasa. Bagian-bagian yang terpisah dihubungkan dengan lambang gabungan $\cup$ : semua bilangan real kecuali 3 ditulis $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$ . Notasi himpunan seperti $\{x \mid x \neq 3\}$ menyatakan hal yang sama dengan kata-kata.

Jika suatu fungsi hanya diberikan sebagai rumus tanpa syarat tambahan, domainnya adalah domain alami: himpunan bilangan real terbesar yang membuat rumus itu bermakna. Namun, suatu soal juga dapat membatasi domain dengan sengaja; misalnya dalam soal terapan ketika suatu panjang tidak mungkin negatif.

Ada gunanya membayangkan fungsi sebagai mesin. Domain adalah daftar masukan yang diterima mesin tanpa macet; range adalah daftar semua yang dapat keluar sebagai hasil. Dua fungsi dengan rumus yang sama tetapi domain yang berbeda, jika mau tepat, adalah fungsi yang berbeda; karena itu domain bukan rincian tambahan, melainkan bagian dari definisi.

Mencari domain: tiga pembatasan

Pada fungsi-fungsi dalam pelajaran aljabar dan prakalkulus, hanya tiga hal yang dapat bermasalah dengan suatu bilangan real. Periksa masing-masing dan keluarkan nilai-nilai yang menyebabkannya.

Pembagian dengan nol: penyebut tidak boleh sama dengan nol.
Akar pangkat genap dari bilangan negatif: bentuk di dalam akar kuadrat, akar pangkat empat, dan seterusnya harus lebih dari atau sama dengan nol. Akar pangkat ganjil, seperti akar pangkat tiga, menerima setiap bilangan real.
Logaritma dari bilangan negatif dan nol: argumen logaritma harus positif sejati.

\frac{A}{B}: B \neq 0, \qquad \sqrt{A}: A \ge 0, \qquad \log_b A: A > 0

Polinom seperti $3x^4 - x + 7$ tidak memiliki titik bermasalah seperti itu: domainnya semua bilangan real, $(-\infty, \infty)$ . Hal yang sama berlaku untuk $e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ , $|x|$ , dan akar pangkat tiga.

Contoh domain

Contoh 1: $f(x) = \sqrt{x - 4}$

Bentuk di dalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol: $x - 4 \ge 0$ .
Jadi $x \ge 4$ , dan domainnya $[4, \infty)$ .

Contoh 2: $g(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 - 9}$

Untuk mencari nilai terlarang, samakan penyebut dengan nol: $x^2 - 9 = 0$ , jadi $x = 3$ atau $x = -3$ .
Jadi, domainnya $(-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, \infty)$ .

Contoh 3: $h(x) = \ln(5 - 2x)$

Argumen logaritma harus positif sejati: $5 - 2x > 0$ .
Selesaikan: $-2x > -5$ ; membagi dengan $-2$ membalik arah pertidaksamaan, sehingga $x < \frac{5}{2}$ .
Jadi, domainnya $\left(-\infty, \frac{5}{2}\right)$ .

Contoh 4: $k(x) = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$

Syarat akar kuadrat: $x + 2 \ge 0$ , jadi $x \ge -2$ .
Syarat penyebut: $x \neq 1$ .
Keduanya harus dipenuhi sekaligus: $[-2, 1) \cup (1, \infty)$ .

Pada contoh 3 dipakai aturan membagi pertidaksamaan dengan bilangan negatif. Panduan menyelesaikan pertidaksamaan menjelaskan aturan ini serta metode tabel tanda untuk syarat seperti $\frac{x - 1}{x + 2} \ge 0$ .

Jika suatu fungsi memuat beberapa titik bermasalah sekaligus, tuliskan setiap syarat secara terpisah, selesaikan satu per satu, lalu ambil irisan hasilnya. Sebagian besar kesalahan muncul bukan saat menyelesaikan, melainkan karena ada syarat yang terlupa.

Mencari range secara aljabar

Mencari range biasanya lebih sulit, karena pertanyaannya bukan masukan mana yang dapat diterima, melainkan keluaran mana yang mungkin. Tiga teknik mencakup sebagian besar kasus.

Pertama, gunakan range yang sudah diketahui dari fungsi-fungsi dasar. Akar kuadrat dan nilai mutlak tidak pernah negatif, $e^x$ selalu positif sejati, sedangkan $\sin x$ dan $\cos x$ berada di antara $-1$ dan $1$ . Transformasi menggeser atau meregangkan himpunan ini. Untuk $f(x) = 2\sqrt{x - 4} + 1$ , akarnya memberikan $[0, \infty)$ , mengalikan dengan dua tidak mengubah $[0, \infty)$ , sedangkan menambahkan 1 memberikan $[1, \infty)$ .

Kedua, untuk fungsi kuadrat, ubah ke bentuk kuadrat sempurna untuk mencari titik puncak. Karena kuadrat tidak pernah negatif, ordinat titik puncak adalah nilai terkecil atau nilai terbesar.

Contoh 5: range $f(x) = x^2 - 4x + 1$

Lengkapkan kuadratnya: $f(x) = (x - 2)^2 - 3$ .
Karena $(x - 2)^2 \ge 0$ , nilai terkecilnya $-3$ , yang dicapai di $x = 2$ .
Jadi, range-nya $[-3, \infty)$ .

Ketiga, selesaikan persamaan $y = f(x)$ untuk $x$ , lalu selidiki nilai $y$ mana yang menghasilkan $x$ yang sah di dalam domain.

Contoh 6: range $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$

Tulis $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$ dan hilangkan penyebutnya: $y(x - 3) = 2x + 1$ .
Kumpulkan suku-suku yang memuat $x$ : $yx - 2x = 3y + 1$ , jadi $x(y - 2) = 3y + 1$ dan $x = \frac{3y + 1}{y - 2}$ .
Ini berlaku untuk setiap $y$ kecuali $y = 2$ . Pemeriksaan langsung: $\frac{2x + 1}{x - 3} = 2$ akan menuntut $2x + 1 = 2x - 6$ , dan itu mustahil.
Range: $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ . Garis $y = 2$ adalah asimtot datar.

Penalaran yang sama memberikan range $\frac{1}{x^2 + 1}$ . Penyebutnya tidak kurang dari 1, sehingga nilainya tidak lebih dari 1; selain itu nilainya selalu positif sejati, tetapi dapat mendekati 0 sedekat apa pun. Range-nya $(0, 1]$ .

Domain dan range dari grafik

Pada grafik, domain adalah bayangan kurva pada sumbu x, sedangkan range adalah bayangannya pada sumbu y. Untuk mencari domain, telusuri kurva dari kiri ke kanan; untuk range, dari bawah ke atas. Titik penuh menunjukkan ujung yang termasuk, titik kosong menunjukkan nilai yang dikecualikan, dan tanda panah berarti kurva berlanjut tanpa batas.

Asimtot tegak menunjukkan nilai di luar domain; asimtot datar, seperti pada contoh 6, sering menunjukkan nilai di luar range. Namun berhati-hatilah: kurva dapat memotong asimtot datarnya, sehingga asimtot itu sendiri tidak membuktikan bahwa suatu nilai dikecualikan. Penggambar grafik adalah cara yang baik untuk melihat ciri-ciri ini sebelum memastikannya dengan perhitungan.

Fungsi sepotong-sepotong dan soal terapan

Domain fungsi sepotong-sepotong adalah gabungan interval tempat potongan-potongannya didefinisikan; range-nya adalah gabungan nilai yang diambil setiap potongan. Misalkan $f(x) = x + 2$ untuk $x < 0$ dan $f(x) = 3$ untuk $x \ge 0$ . Domainnya semua bilangan real. Potongan pertama memberikan semua nilai yang kurang dari 2, sedangkan potongan kedua hanya memberikan nilai 3; jadi range-nya $(-\infty, 2) \cup \{3\}$ .

Dalam penerapan, konteks soal membatasi domain lebih lanjut. Luas persegi $A = s^2$ sebagai rumus menerima setiap $s$ real, tetapi panjang sisi harus positif sejati: domain yang bermakna adalah $s > 0$ , dan range-nya $A > 0$ . Ketinggian bola yang dilempar hanya bermakna sejak saat dilempar hingga saat bola jatuh ke tanah: meskipun rumus kuadrat untuk ketinggian itu terdefinisi di mana-mana, domainnya adalah selang waktu tertutup.

Domain dan range dalam topik lanjutan

Gagasan ini terus muncul kembali. Suatu fungsi memiliki invers pada himpunan tempat fungsi itu satu-satu, dan seperti dijelaskan dalam panduan fungsi invers, fungsi invers menukar domain dan range. Komposisi $f(g(x))$ menuntut agar setiap nilai $g$ berada dalam domain $f$ ; lihat komposisi fungsi. Fungsi logaritma dan fungsi eksponen, yang dibahas dalam artikel logaritma, adalah pasangan klasik yang domain dan range-nya bertukar tempat.

Kesalahan yang sering terjadi

Menyederhanakan sebelum mencari domain. $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ dapat disederhanakan menjadi $x + 3$ , tetapi $x = 3$ tetap berada di luar domain fungsi aslinya.
Memakai $>$ alih-alih $\ge$ untuk akar kuadrat, sehingga ujung tempat akarnya nol hilang tanpa alasan.
Memakai $\ge$ alih-alih $>$ untuk logaritma, sehingga argumen nol diterima tanpa alasan.
Mengira range adalah semua bilangan real hanya karena domainnya demikian.
Memasang kurung siku di sisi tak hingga.

Untuk memeriksa jawaban Anda, gunakan kalkulator domain dan range, yang mencantumkan setiap pembatasan yang ditemukan beserta interval hasilnya.

Pertanyaan yang sering diajukan

Nilai apa saja yang diterima polinom sebagai masukan?

Semua bilangan real, $(-\infty, \infty)$ . Polinom hanya memakai penjumlahan, pengurangan, dan perkalian; karena itu tidak ada nilai yang menyebabkan pembagian dengan nol, akar pangkat genap dari bilangan negatif, atau logaritma yang tidak terdefinisi.

Apakah mencari range selalu lebih sulit daripada mencari domain?

Biasanya ya, karena range bergantung pada perilaku fungsi secara keseluruhan. Melengkapkan kuadrat, menyatakan $x$ dalam $y$ , dan range fungsi dasar yang sudah diketahui menyelesaikan sebagian besar kasus; grafik merupakan pemeriksaan yang berguna.

Apakah asimtot datar berarti suatu nilai tidak termasuk dalam range?

Tidak selalu. Asimtot menggambarkan perilaku jauh di kiri atau jauh di kanan, dan kurva dapat memotongnya pada suatu $x$ yang berhingga. Untuk mengetahui apakah nilai asimtot $c$ benar-benar tercapai, selesaikan $f(x) = c$ .

Bagaimana menulis bilangan real dengan dua nilai yang dikecualikan?

Dengan gabungan tiga interval. Misalnya, semua bilangan real kecuali $-3$ dan $3$ ditulis $(-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, \infty)$ .

MathSolver Pro Editorial Team

Penyuntingan dan pemeriksaan matematika

Tim editor kami menulis setiap panduan agar tidak hanya menjelaskan jawabannya, tetapi juga penalaran di balik setiap metode. Setiap contoh soal diperiksa dengan mesin penyelesai situs dan uji otomatis sebelum diterbitkan; jika suatu metode atau format ujian berubah, artikel segera diperbarui.