Daerah Asal dan Daerah Hasil Fungsi — Kalkulator dengan Notasi Interval

Tentang kalkulator daerah asal dan daerah hasil

Sebelum menggambar grafik suatu fungsi, mencari inversnya, atau menyelesaikan persamaan dengannya, Anda perlu tahu masukan apa yang diterimanya dan nilai apa yang dapat dihasilkannya. Kedua himpunan itu adalah daerah asal dan daerah hasil. Mencari daerah asal sebagian besar hanyalah mengenali operasi yang terlarang; mencari daerah hasil lebih sulit, karena perlu dipahami ketinggian mana yang benar-benar dicapai grafiknya.

Kalkulator mencari kedua himpunan itu untuk polinomial, fungsi rasional, akar, logaritma, fungsi eksponen, fungsi nilai mutlak, dan fungsi trigonometri dasar. Kalkulator menuliskan setiap syarat, menyelesaikannya, lalu memeriksa fungsi pada setiap bagian daerah asal untuk menyusun daerah hasilnya. Jawaban ditulis dalam notasi interval, dengan batas eksak bila memungkinkan.

Apa itu daerah asal dan daerah hasil?

Daerah asal suatu fungsi adalah himpunan semua masukan $x$ yang membuat rumus fungsi menghasilkan bilangan real. Daerah hasil adalah himpunan semua keluaran $f(x)$ yang diperoleh ketika $x$ menjelajahi daerah asal. Pada grafik, daerah asal adalah bayangan kurva pada sumbu $x$ , sedangkan daerah hasil adalah bayangannya pada sumbu $y$ .

Pada rumus-rumus real, tiga operasi menimbulkan syarat: pembagian, yang melarang penyebut nol; akar berpangkat genap, yang mensyaratkan bilangan di bawah akar tidak negatif; dan logaritma, yang numerusnya harus benar-benar positif. Fungsi yang tidak memuat operasi-operasi ini, misalnya setiap polinomial, terdefinisi pada semua bilangan real.

Cara menggunakan kalkulator daerah asal dan daerah hasil

Masukkan fungsi dalam variabel $x$ ; misalnya (x + 1)/(x - 2), sqrt(x - 3), atau log(x + 2).
Tekan «Cari domain dan range».
Baca daftar syarat dan cara menyelesaikan masing-masing.
Ikuti langkah-langkah daerah hasil, tempat fungsi diperiksa pada setiap interval daerah asalnya.
Tuliskan daerah asal dan daerah hasil dalam notasi interval.

Rumus

Penyebut

\frac{p(x)}{q(x)}:\; q(x) \neq 0

Akar berpangkat genap

\sqrt{u(x)}:\; u(x) \geq 0

Logaritma

\ln u(x):\; u(x) > 0

Titik puncak parabola

f(x) = ax^2 + bx + c:\; x_v = -\frac{b}{2a}

Contoh soal dan pembahasan: (x + 1)/(x − 2)

Contoh soal memeriksa $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ . Satu-satunya syarat adalah penyebut tidak boleh nol; karena itu $x = 2$ dikeluarkan dari daerah asal.

Untuk mencari daerah hasil, algoritma menangani kedua sisi titik yang dikecualikan secara terpisah. Pada kedua bagian, fungsi mendekati asimtot datar $y = 1$ tetapi tidak pernah mencapai nilai itu; karena itu 1 adalah satu-satunya nilai yang tidak termasuk daerah hasil.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

D = (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty),\quad R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)

Cara kami membaca soal Anda

Tentukan semua x real yang membuat f(x) = (x + 1) / (x - 2) terdefinisi (domain) dan semua nilai yang dicapainya (range).

f(x) = \frac{x+1}{x-2}

Pembahasan langkah demi langkah

Tulis fungsinya
$f(x) = \frac{x+1}{x-2}$
Daftarkan batasannya
penyebut (x - 2) tidak boleh sama dengan 0.
Selesaikan (x - 2) ≠ 0
Ekspresinya hanya dapat berganti tanda di 2. Menguji satu nilai pada setiap selang menghasilkan himpunan penyelesaian (-∞, 2) ∪ (2, ∞).
$x-2 \ne 0 \iff x \in (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty)$
Range pada (-∞, 2)
untuk x → -∞, f → 1; untuk x → 2⁻, f → -∞. Tidak ada titik balik di dalam selang ini, sehingga f monoton atau konstan di sana. Fungsi kontinu pada selang ini, sehingga mencapai setiap nilai di antara nilai terendah (-∞, tidak tercapai) dan nilai tertinggi (1, tidak tercapai).
$f\big((-\infty,\ 2)\big) = (-\infty,\ 1)$
Range pada (2, ∞)
untuk x → 2⁺, f → ∞; untuk x → ∞, f → 1. Tidak ada titik balik di dalam selang ini, sehingga f monoton atau konstan di sana. Fungsi kontinu pada selang ini, sehingga mencapai setiap nilai di antara nilai terendah (1, tidak tercapai) dan nilai tertinggi (∞, tidak tercapai).
$f\big((2,\ \infty)\big) = (1,\ \infty)$
Gabungkan bagian-bagiannya
$R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)$

Rumus yang digunakan

Batasan
$\tfrac{p}{q}: q \ne 0,\quad \sqrt{u}: u \ge 0,\quad \ln u: u > 0$

Domain ditemukan dengan menyelesaikan setiap batasan dalam rumus lalu mengiriskan himpunan penyelesaiannya. Range diperoleh dari kekontinuan: pada setiap selang domain, fungsi mencapai setiap nilai di antara nilai ekstremnya dan limit di ujung-ujung selang.

Pemeriksaan

Domain diperiksa di sekitar 4,000 titik sampel: f bernilai real dan berhingga tepat di tempat yang ditunjukkan domain ✓
Setiap nilai sampel dari f berada di dalam range yang dihitung ✓

Penjelasan lengkap

Mencari daerah asal

Mulailah dari semua bilangan real dan buang semua yang terlarang. Syaratkan setiap penyebut tidak nol, setiap bentuk di bawah akar kuadrat tidak negatif, dan setiap numerus logaritma benar-benar positif, lalu ambil irisan hasilnya. Untuk $\sqrt{4 - x^2}$ , syarat $4 - x^2 \geq 0$ menghasilkan interval tertutup $[-2, 2]$ . Untuk $\frac{1}{x^2 - 4}$ , dua titik dikeluarkan dan daerah asalnya terbagi menjadi tiga interval.

Jangan menyederhanakan lebih dulu. Bentuk $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ dapat disederhanakan menjadi $x + 1$ , tetapi $x = 1$ tetap dikecualikan dari fungsi semula; kalkulator memberikan daerah asal beserta titik lubang ini.

Mencari daerah hasil

Daerah hasil bergantung pada bentuk grafik. Parabola mencapai nilai ekstremnya di titik puncak: untuk $x^2 - 4x + 1$ , titik puncaknya di $x = 2$ dengan nilai $-3$ , sehingga daerah hasilnya $[-3, \infty)$ . Akar kuadrat dimulai dari nol lalu naik; karena itu daerah hasil $\sqrt{x - 3}$ adalah $[0, \infty)$ . Logaritma mencapai setiap nilai real, sedangkan $e^x$ mencapai setiap nilai yang benar-benar positif.

Untuk fungsi rasional, kalkulator bekerja per bagian: menentukan di mana fungsi naik atau turun dan nilai apa yang didekatinya di ujung setiap interval. Dengan begitu kalkulator menentukan bahwa daerah hasil $\frac{1}{x^2}$ adalah $(0, \infty)$ , sedangkan $\frac{x}{x^2 + 1}$ tetap berada di antara $-\frac12$ dan $\frac12$ . Jika daerah hasil tidak dapat ditentukan secara andal, seperti pada $\tan x$ , kalkulator memberitahukan bahwa daerah hasil tidak dihitung alih-alih menebaknya.

Bagaimana membaca notasi interval?

Kalkulator memakai kurung siku dan kurung biasa: kurung siku berarti batasnya termasuk, kurung biasa berarti tidak termasuk; di samping tanda tak hingga selalu dipakai kurung biasa. Lambang $\cup$ menggabungkan bagian-bagian yang terpisah; karena itu $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ berarti semua bilangan real kecuali 2. Di sebagian buku pelajaran daerah asal juga ditulis dengan notasi himpunan, tetapi maknanya sama. Dalam bentuk ini, hasilnya mudah dibandingkan dengan grafik.

Kesalahan yang sering terjadi

Menyederhanakan fungsi rasional sebelum mencari daerah asalnya sehingga titik lubangnya hilang.
Memakai $> 0$ untuk akar kuadrat (nol diperbolehkan) atau $\geq 0$ untuk logaritma (nol tidak diperbolehkan).
Menganggap daerah hasil adalah semua bilangan real hanya karena daerah asalnya semua bilangan real.
Lupa bahwa asimtot datar dapat mengecualikan satu nilai dari daerah hasil.
Memasang kurung siku di samping tanda tak hingga.

Kiat

Sebelum menyelesaikan apa pun, tuliskan semua penyebut, bentuk di bawah akar, dan numerus logaritma.
Gambar grafiknya dengan kalkulator grafik untuk memastikan daerah hasil secara visual.
Untuk fungsi kuadrat, cari titik puncaknya: daerah hasil dimulai atau berakhir di koordinat- $y$ titik itu.
Ingat bahwa daerah hasil $f$ adalah daerah asal fungsi inversnya.
Periksa batas dengan menyubstitusikannya ke dalam fungsi.

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana cara mencari daerah asal suatu fungsi?

Mulailah dari semua bilangan real, lalu buang nilai-nilai yang membuat penyebut nol, bilangan di bawah akar berpangkat genap negatif, atau numerus logaritma tidak lebih besar daripada nol. Yang tersisa adalah daerah asalnya.

Bagaimana cara mencari daerah hasil suatu fungsi?

Tentukan nilai mana yang benar-benar dicapai dengan memakai titik puncak, asimtot, interval naik dan turun, serta perilaku fungsi di ujung setiap bagian daerah asal.

Apa daerah asal polinomial?

Semua bilangan real, yaitu (−∞, ∞); karena pada polinomial tidak ada pembagian oleh x, akar, maupun logaritma.

Mengapa 1 tidak termasuk daerah hasil fungsi (x + 1)/(x − 2)?

Grafiknya memiliki asimtot datar y = 1. Persamaan (x + 1)/(x − 2) = 1 menghasilkan 1 = −2, yang mustahil: fungsi itu tidak pernah bernilai 1.

Apa arti kurung siku dan kurung biasa dalam notasi interval?

Kurung siku menunjukkan bahwa batasnya termasuk, sedangkan kurung biasa menunjukkan bahwa batasnya tidak termasuk. Tak hingga tidak pernah termasuk; karena itu di sampingnya selalu dipakai kurung biasa.

Apakah kalkulator dapat bekerja dengan fungsi trigonometri?

Ya, untuk keadaan yang umum. Kalkulator menentukan bahwa daerah hasil sin x adalah [−1, 1] dan bahwa tan x mengecualikan titik-titik π/2 ditambah kelipatan π, serta memberitahukan bila daerah hasil tidak dihitung.

Apa arti log pada kalkulator ini?

log(x) menyatakan logaritma natural; karena itu log(x + 2) terdefinisi untuk x > −2 dan mencapai setiap nilai real.

Coba kalkulator daerah asal dan daerah hasil

Masukkan fungsi dan dapatkan daerah asal serta daerah hasilnya dalam notasi interval langkah demi langkah.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI

Kalkulator Daerah Asal dan Daerah Hasil