Kalkulator Polinomial

Q: Operasi apa saja yang dilakukan kalkulator polinomial?

Penjabaran, penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dengan hasil bagi dan sisa, perhitungan nilai untuk x tertentu dengan metode Horner, dan pencarian akar real.

Q: Bagaimana cara membagi polinomial dengan polinomial lain?

Pilih pembagian, masukkan polinomial yang dibagi sebagai P dan pembaginya sebagai Q. Kalkulator melakukan pembagian bersusun dan menampilkan hasil bagi, sisa, serta hasilnya dalam bentuk hasil bagi ditambah sisa per pembagi.

Q: Apa isi teorema sisa?

Sisa pembagian polinomial P oleh x dikurangi c sama dengan P(c). Karena itu, menghitung nilai polinomial di titik c adalah cara cepat untuk mencari sisanya atau memeriksa apakah c merupakan akar.

Q: Apakah kalkulator polinomial menampilkan akar kompleks?

Tidak. Mode akar hanya memberikan akar real dan memberitahukan bila akar real tidak ada. Akar rasional diberikan secara eksak, sedangkan akar irasional diberikan sebagai hampiran desimal.

Q: Apa itu metode Horner?

Cara menghitung nilai polinomial dengan perkalian bersarang; misalnya ax pangkat tiga ditambah bx kuadrat ditambah cx ditambah d ditulis sebagai ((ax + b)x + c)x + d. Cara ini memerlukan lebih sedikit operasi dan lebih jarang menimbulkan kesalahan daripada menghitung setiap pangkat secara terpisah.

Q: Apa itu derajat polinomial?

Pangkat terbesar variabel yang koefisiennya tidak nol. Derajat membatasi banyaknya akar real dan titik ekstrem lokal yang dapat dimiliki polinomial.

Q: Bolehkah koefisiennya berupa pecahan?

Boleh. Pecahan dan bilangan desimal diubah menjadi pecahan eksak, dan semua hasil tetap eksak.

Tentang kalkulator polinomial

Polinomial adalah fungsi yang paling sering dijumpai dalam aljabar: garis lurus, parabola, fungsi kubik, dan segala sesuatu yang dibangun dari pangkat bilangan bulat tak negatif dari satu variabel. Saat bekerja dengannya, Anda terus mengulang beberapa operasi: mengalikan dua kurung, membagi dengan faktor linear, menyubstitusikan suatu nilai ke variabel, atau mencari akar. Semuanya mekanis, tetapi pada polinomial dengan banyak suku, kesalahan mudah terjadi.

Kalkulator melakukan tujuh operasi pada polinomial satu variabel: penjabaran, penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perhitungan nilai, dan pencarian akar real. Koefisien disimpan sebagai pecahan eksak: pembagian menghasilkan hasil bagi dan sisa yang eksak, dan akar rasional diberikan secara eksak, bukan sebagai desimal yang dibulatkan.

Apa itu polinomial?

Polinomial dalam variabel $x$ adalah jumlah suku-suku berbentuk $a x^n$ , dengan setiap koefisien $a$ berupa bilangan dan setiap eksponen $n$ berupa bilangan bulat tak negatif. $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ adalah polinomial, sedangkan $\frac1x$ dan $\sqrt x$ bukan, karena eksponennya negatif atau pecahan.

Derajat adalah eksponen terbesar yang koefisiennya tidak nol, dan koefisien utama adalah koefisien suku tersebut. Polinomial berderajat $n$ memiliki paling banyak $n$ akar real, dan grafiknya memiliki paling banyak $n - 1$ titik ekstrem lokal; hal ini membantu menebak bentuk jawaban sebelum menghitung.

Cara menggunakan kalkulator polinomial

Pilih operasinya: jabarkan, jumlahkan, kurangkan, kalikan, bagi, hitung nilai, atau cari akar.
Masukkan polinomial pertama P, misalnya 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5.
Untuk penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, masukkan polinomial kedua Q, misalnya x - 2.
Untuk menghitung nilai, masukkan nilai $x$ pada kolom tambahan.
Tekan «Hitung» dan ikuti langkah-langkahnya; pembagian bersusun menampilkan setiap pembagian suku utama dan setiap pengurangan.

Rumus

Pembagian polinomial bersisa

P(x) = Q(x)\,S(x) + R(x),\quad \deg R < \deg Q

Teorema sisa

P(x) \div (x - c) \;\Rightarrow\; R = P(c)

Teorema faktor

P(c) = 0 \iff (x - c) \text{ habis membagi } P(x)

Metode Horner

a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = ((a_3x + a_2)x + a_1)x + a_0

Contoh soal dan pembahasan: Bagi 2x³ − 3x² + 4x − 5 dengan x − 2

Contoh soal membagi polinomial $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ dengan $x - 2$ menggunakan pembagian bersusun. Pada setiap langkah, kalkulator membagi suku utama polinomial sisa dengan $x$ , mengalikan pembagi dengan suku itu, lalu menguranginya.

Tiga putaran menghasilkan hasil bagi $2x^2 + x + 6$ dan sisa 7; hasilnya ditulis sebagai $2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x - 2}$ . Sesuai dengan teorema sisa, polinomial semula juga bernilai 7 untuk $x = 2$ .

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

2x^{2} + x + 6 + \frac{7}{x - 2}

Cara kami membaca soal Anda

Bagi P dengan Q menggunakan pembagian bersusun polinomial.

Pembahasan langkah demi langkah

Tulis P dalam bentuk baku
Buka tanda kurung dan gabungkan suku sejenis: derajat 3, koefisien utama 2, suku konstanta -5.
$P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + 4x - 5$
Tulis Q dalam bentuk baku
derajat 1, koefisien utama 1, suku konstanta -2
$Q(x) = x - 2$
Bagi suku-suku terdepan: (2x^3) ÷ (x) = 2x^2
Kalikan Q dengan 2x^2 lalu kurangkan. Sisa baru: x^2 + 4x - 5.
$2x^{2}\cdot(x - 2)$
Bagi suku-suku terdepan: (x^2) ÷ (x) = x
Kalikan Q dengan x lalu kurangkan. Sisa baru: 6x - 5.
$x\cdot(x - 2)$
Bagi suku-suku terdepan: (6x) ÷ (x) = 6
Kalikan Q dengan 6 lalu kurangkan. Sisa baru: 7.
$6\cdot(x - 2)$
Berhenti jika derajat sisa lebih kecil daripada derajat pembagi
$\text{hasil bagi } 2x^{2} + x + 6,\quad \text{sisa } 7$

Rumus yang digunakan

Algoritma pembagian
$P(x) = Q(x)\,q(x) + r(x),\; \deg r < \deg Q$

Q tidak habis membagi P: sisanya 7.

Pemeriksaan

Pemeriksaan: Q·hasil bagi + sisa sama dengan P.

Penjelasan lengkap

Perkalian dan penjabaran

Untuk mengalikan dua polinomial, setiap suku polinomial pertama dikalikan dengan setiap suku polinomial kedua, lalu suku-suku sejenis dijumlahkan. Pada $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ , enam hasil kali disederhanakan menjadi $x^3 + 1$ , yaitu jumlah dua pangkat tiga. Kalkulator menampilkan penjabaran lengkap kurungnya sebelum menjumlahkan suku-suku sejenis agar tidak ada hasil kali yang hilang: pada kurung yang panjang, inilah sumber kesalahan yang sering terjadi.

Pada penjumlahan dan pengurangan, hanya koefisien pangkat yang sama yang dijumlahkan atau dikurangkan. Pada pengurangan, tanda semua suku polinomial kedua berubah; karena itu kalkulator menuliskan lawan polinomialnya secara eksplisit sebelum menjumlahkan suku-suku sejenis.

Pembagian bersusun dan kegunaannya

Pembagian bersusun polinomial berjalan persis seperti pembagian bersusun pada bilangan. Proses berhenti ketika derajat sisa benar-benar lebih kecil daripada derajat pembagi. Pembagian ini diperlukan untuk memfaktorkan polinomial ketika satu akarnya diketahui, menyederhanakan fungsi rasional, dan mencari asimtot miring: karena hasil bagi $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ adalah $x + 1$ , grafiknya mendekati garis $y = x + 1$ .

Pembagian dengan faktor linear $x - c$ dapat dipersingkat dengan metode Horner, yang hanya bekerja dengan koefisien. Menurut teorema sisa, sisanya sama dengan $P(c)$ ; ini cara cepat untuk memeriksa hasilnya.

Mencari akar

Pada mode akar, kalkulator mula-mula mencoba calon akar rasional $\frac pq$ , dengan $p$ membagi suku tetap dan $q$ membagi koefisien utama. Setiap akar yang ditemukan dipisahkan sebagai faktor linear, dan derajatnya turun. Jika yang tersisa faktor kuadrat, faktor itu diselesaikan dengan diskriminan; faktor tak tereduksi berderajat lebih tinggi yang tersisa diselesaikan secara numerik dan hasilnya ditandai sebagai hampiran. Untuk $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ , akar 1, 2, dan 3 eksak; sedangkan untuk $x^3 - 2$ , satu-satunya akar real $\sqrt[3]{2} \approx 1.2599$ diberikan sebagai desimal.

Hanya akar real yang diberikan. Polinomial seperti $x^2 + 2x + 5$ memiliki diskriminan negatif; karena itu kalkulator memberitahukan bahwa polinomial tersebut tidak memiliki akar real.

Kesalahan yang sering terjadi

Melewatkan pangkat yang tidak muncul pada pembagian bersusun; tulislah $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$ agar kolom-kolomnya sejajar.
Dalam pembagian, hanya mengurangkan suku pertama, bukan seluruh hasil kalinya.
Lupa mengubah semua tanda ketika mengurangkan polinomial.
Mengalikan eksponen alih-alih menjumlahkannya ketika mengalikan suku: $x^2 \cdot x^3 = x^5$ .
Menuliskan sisa tanpa pembaginya; $+7$ saja tidak sama dengan $+\frac{7}{x - 2}$ .

Kiat

Sebelum setiap operasi, urutkan kedua polinomial menurut pangkat turun.
Periksa pembagian: kalikan hasil bagi dengan pembagi lalu tambahkan sisanya.
Periksa calon akar dengan cepat memakai teorema sisa: jika $P(c) = 0$ , maka $x - c$ adalah faktor.
Gambar grafiknya dengan kalkulator grafik untuk mengetahui berapa akar real yang dapat diharapkan.
Jika polinomial perlu ditulis sebagai hasil kali, gunakan kalkulator pemfaktoran.

Pertanyaan yang sering diajukan

Operasi apa saja yang dilakukan kalkulator polinomial?