Fungsi Polinom: Derajat, Perilaku Ujung, Akar, dan Grafik

Apa yang membuat sebuah fungsi disebut polinom?

Polinom adalah jumlah suku-suku yang masing-masing merupakan hasil kali sebuah konstanta dengan pangkat $x$ yang eksponennya bilangan cacah:

Eksponen terbesar $n$ adalah derajatnya, koefisien $a_n$ yang bersesuaian adalah koefisien utama, dan $a_0$ adalah suku tetap yang sekaligus menentukan titik potong grafik dengan sumbu y. Derajat 1 menghasilkan garis lurus, derajat 2 parabola, derajat 3 fungsi kubik, dan derajat 4 polinom berderajat empat (kuartik). Bentuk yang memuat eksponen negatif atau pecahan, misalnya $\frac{1}{x}$ atau $\sqrt{x}$, serta bentuk yang variabelnya berada di penyebut atau di eksponen, bukan polinom.

Polinom terdefinisi untuk setiap bilangan real; grafiknya mulus dan kontinu, tanpa patahan, lompatan, atau asimtot. Itulah salah satu alasan polinom begitu disukai dalam pemodelan dan dalam menghampiri fungsi lain.

Perilaku ujung dan suku utama

Untuk nilai $x$ positif atau negatif yang sangat besar, suku utama mendominasi semua suku lainnya, sehingga ujung-ujung grafik berperilaku seperti $a_n x^n$. Hanya dua hal yang penting: apakah derajatnya genap atau ganjil, dan tanda koefisien utamanya.

• Derajat genap dan koefisien utama positif: kedua ujung naik, seperti pada $x^2$.
• Derajat genap dan koefisien utama negatif: kedua ujung turun, seperti pada $-x^2$.
• Derajat ganjil dan koefisien utama positif: grafik datang dari bawah di kiri dan naik di kanan, seperti pada $x^3$.
• Derajat ganjil dan koefisien utama negatif: grafik datang dari atas di kiri dan turun di kanan, seperti pada $-x^3$.

Misalnya, $p(x) = -2x^5 + 40x^2 + 7$ berderajat ganjil dengan koefisien utama negatif: sebesar apa pun koefisien lainnya tampak, grafiknya naik ke arah kiri dan turun ke arah kanan. Akibatnya, polinom berderajat ganjil selalu memotong sumbu x setidaknya sekali, karena kedua ujungnya menuju arah yang berlawanan.

Akar, faktor linear, dan multiplisitas

Akar polinom $p$ adalah nilai $c$ yang membuat $p(c) = 0$. Akar-akar adalah absis titik-titik tempat grafik memotong sumbu x, dan setiap akar real $c$ bersesuaian dengan faktor linear $(x - c)$. Karena itu, pemfaktoran adalah alat utama untuk mencari akar berkat sifat hasil kali nol: sebuah hasil kali bernilai nol jika dan hanya jika setidaknya salah satu faktornya nol.

Jika sebuah faktor linear muncul lebih dari sekali, multiplisitas akarnya lebih dari satu dan grafik berperilaku berbeda di akar itu. Pada akar dengan multiplisitas ganjil, grafik memotong sumbu; pada multiplisitas genap, grafik menyinggung sumbu lalu berbalik ke sisi yang sama. Makin besar multiplisitasnya, makin datar grafik di dekat akar tersebut.

Polinom berderajat $n$ memiliki paling banyak $n$ akar real dan paling banyak $n - 1$ titik ekstrem lokal, yaitu titik maksimum dan minimum pada grafik. Fungsi kubik bisa memiliki satu atau dua titik ekstrem lokal, atau sama sekali tidak memilikinya, seperti terlihat pada $x^3$. Cara-cara menemukan faktor dibahas secara rinci dalam panduan memfaktorkan polinom.

Teorema sisa dan teorema faktor

Jika polinom $p(x)$ dibagi dengan $(x - c)$, sisanya hanyalah sebuah bilangan, dan teorema sisa menyatakan bahwa bilangan itu sama dengan $p(c)$. Dari sini langsung diperoleh teorema faktor: $(x - c)$ merupakan faktor jika dan hanya jika $p(c) = 0$.

Sebaliknya, $p(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$: jika $p(x)$ dibagi dengan $(x - 2)$, sisanya $-4$; jadi $(x - 2)$ bukan faktor.

Metode Horner

Metode Horner adalah cara singkat membagi dengan $(x - c)$ yang hanya menggunakan koefisien. Untuk contoh 3, tuliskan $c = 1$ dan koefisien $1, -2, -5, 6$.

1. Turunkan koefisien pertama: 1.
2. Kalikan dengan $c$ dan tambahkan hasilnya ke koefisien berikutnya: $1 \times 1 = 1$ dan $-2 + 1 = -1$.
3. Ulangi: $-1 \times 1 = -1$ dan $-5 + (-1) = -6$.
4. Ulangi: $-6 \times 1 = -6$ dan $6 + (-6) = 0$.
5. Bilangan terakhir, yaitu 0, adalah sisanya. Bilangan lainnya, yaitu $1, -1, -6$, adalah koefisien hasil bagi: $x^2 - x - 6$.

Setiap pangkat $x$ memerlukan tempatnya sendiri: tulis 0 untuk setiap suku yang hilang. Untuk membagi $x^3 - 8$ dengan $(x - 2)$, gunakan koefisien $1, 0, 0, -8$, dan diperoleh hasil bagi $x^2 + 2x + 4$ tanpa sisa, yaitu dengan sisa 0.

Metode Horner hanya berlaku untuk pembagi berbentuk $x - c$. Untuk membagi dengan $2x - 1$, bagilah dengan $x - \frac{1}{2}$ lalu bagi hasil baginya dengan 2, atau gunakan pembagian bersusun polinom.

Berapa banyak akarnya? Teorema dasar aljabar

Teorema dasar aljabar menjamin bahwa polinom berderajat $n \ge 1$ memiliki tepat $n$ akar kompleks jika setiap akar dihitung sebanyak multiplisitasnya. Sebagian bisa real, sebagian bisa kompleks. Jika koefisiennya real, akar kompleks muncul berpasangan sebagai konjugat: jika $2 + 3i$ adalah akar, maka $2 - 3i$ juga akar.

Hal ini menjelaskan mengapa fungsi kubik dengan koefisien real selalu memiliki setidaknya satu akar real: karena akar kompleks datang berpasangan, ketiga akarnya tidak mungkin semuanya kompleks. Sebaliknya, polinom berderajat empat bisa tidak memiliki akar real sama sekali, seperti terlihat pada $x^4 + 1$.

Jika sebuah akar tidak dapat ditemukan secara eksak, teorema nilai antara membantu mempersempit letaknya. Untuk $p(x) = x^3 + x - 1$ berlaku $p(0) = -1$ dan $p(1) = 1$. Karena grafik polinom tidak memiliki lompatan, grafik itu harus memotong sumbu di suatu tempat antara 0 dan 1; secara numerik akarnya kira-kira $0.6823$.

Menyusun polinom dari akar-akarnya

Sebaliknya, akar-akar menentukan polinom sampai suatu faktor konstan. Misalkan sebuah fungsi kuadrat memiliki akar 2 dan $-1$ serta melalui titik $(0, 4)$. Maka fungsi itu pasti berbentuk $f(x) = a(x - 2)(x + 1)$. Mensubstitusikan titik tersebut menghasilkan $4 = a(-2)(1)$; jadi $a = -2$ dan $f(x) = -2(x - 2)(x + 1) = -2x^2 + 2x + 4$. Menjabarkan kurung serta memeriksa $f(0) = 4$, $f(2) = 0$, dan $f(-1) = 0$ memastikan hasilnya.

Membuat sketsa grafik polinom

1. Tentukan derajat dan koefisien utama untuk mengetahui perilaku ujungnya.
2. Faktorkan untuk menemukan akar-akar dan multiplisitasnya.
3. Tandai titik potong dengan sumbu y yang diberikan oleh suku tetap.
4. Di setiap akar, lihat multiplisitasnya untuk memutuskan apakah grafik memotong sumbu atau hanya menyinggungnya.
5. Hubungkan titik-titik dengan kurva mulus yang sesuai dengan perilaku ujung dan memiliki paling banyak $n - 1$ titik maksimum dan minimum lokal.

Dengan cara ini Anda mendapatkan bentuk grafik yang dapat diandalkan, tetapi tidak menemukan tinggi tepat titik maksimum dan minimumnya: untuk itu diperlukan turunan. Membandingkan sketsa Anda dengan penggambar grafik adalah cara yang baik untuk membangun rasa percaya diri.

Penerapan: kotak terbuka dengan volume terbesar

Dari setiap sudut selembar karton berukuran 10 kali 16 sentimeter dipotong persegi dengan sisi $x$, lalu sisi-sisinya dilipat ke atas sehingga terbentuk kotak terbuka. Volumenya $V(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x$. Karena semua panjang harus positif, domain yang bermakna adalah $0 < x < 5$.

Akar-akar 0, 5, dan 8 menunjukkan di mana volumenya nol. Di antara akar-akar itu volume mula-mula naik lalu turun lagi, dan titik maksimumnya ditemukan dengan turunan: $V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 4(3x - 20)(x - 2)$ bernilai nol di dalam domain pada $x = 2$. Kotak dengan volume terbesar bervolume $V(2) = 2 \cdot 6 \cdot 12 = 144$ sentimeter kubik. Panduan aturan turunan menunjukkan cara menghitung turunan seperti ini.

Kesalahan yang sering terjadi

• Menentukan perilaku ujung berdasarkan suku yang ditulis pertama, bukan suku berderajat tertinggi.
• Lupa menulis koefisien nol untuk pangkat yang hilang dalam metode Horner.
• Mengira grafik selalu memotong sumbu di setiap akar dan melewatkan multiplisitas genap.
• Menyebutkan lebih dari $n - 1$ titik maksimum dan minimum lokal.
• Tertukar antara akar $c$ dan tanda pada faktor linearnya: akar 3 bersesuaian dengan faktor $(x - 3)$.

Kalkulator polinom mencari akar, memfaktorkan, dan membagi polinom sambil menampilkan setiap langkah: gunakan untuk memeriksa contoh-contoh di atas.

Pertanyaan yang sering diajukan