Kalkulator Integral Online — Antiturunan dan Integral Tentu beserta Penyelesaiannya

Q: Apa beda integral tentu dan integral tak tentu?

Integral tak tentu adalah keluarga fungsi F(x) + C. Integral tentu memiliki batas integral dan sama dengan sebuah bilangan, yaitu luas bertanda di antara kurva dan sumbu x.

Q: Mengapa jawabannya memuat + C?

Semua fungsi yang turunannya f hanya berbeda sebesar suatu konstanta satu sama lain; karena itu integral tak tentu memuat konstanta sembarang C.

Q: Apa antiturunan 1/(x^2 + 1)?

Arkus tangen: ∫ 1/(x^2 + 1) dx = arctan x + C. Kalkulator mengenali integral baku ini beserta bentuk umumnya, 1/(a^2 + u^2).

Tentang kalkulator integral

Pengintegralan adalah kebalikan penurunan: antiturunan $F$ dari $f$ memenuhi syarat $F'(x) = f(x)$ . Integral tentu $\int_a^b f(x)\,dx$ menjumlahkan luas bertanda dan, menurut teorema dasar kalkulus, sama dengan $F(b) - F(a)$ .

Kalkulator mencoba metode-metode yang dikenal secara berurutan: kelinearan dan aturan pangkat, integral baku dari tabel, substitusi, integral parsial, dan penguraian fungsi rasional sederhana menjadi pecahan parsial. Setelah itu kalkulator menurunkan jawabannya sendiri untuk memastikannya. Beberapa fungsi, seperti $e^{x^2}$ , tidak memiliki antiturunan elementer; untuk fungsi seperti ini integral tentunya tetap dihitung secara numerik dan ditandai sesuai keadaannya.

Untuk integral tak tentu, kosongkan kedua batas; untuk integral tentu, isi keduanya.

Apa itu integral?

Pengintegralan adalah kebalikan penurunan dan sekaligus cara menjumlahkan tak hingga banyaknya bagian yang sangat kecil. Antiturunan fungsi $f$ adalah fungsi $F$ yang turunannya sama dengan $f$ : karena $\frac{d}{dx}\frac{x^3}{3} = x^2$ , maka $\frac{x^3}{3}$ adalah salah satu antiturunan $x^2$ . Integral tak tentu $\int f(x)\,dx$ menyatakan seluruh keluarga antiturunan yang satu sama lain hanya berbeda sebesar suatu konstanta; dari sinilah $+ C$ berasal.

Integral tentu $\int_a^b f(x)\,dx$ adalah sebuah bilangan: luas bertanda di antara grafik $f$ dan sumbu x dari $a$ sampai $b$ ; luas di bawah sumbu dihitung negatif. Integral ini didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann: interval dibagi menjadi pita-pita sempit, lalu luas persegi panjangnya dijumlahkan. Teorema dasar kalkulus menghubungkan kedua gagasan itu: jika $F$ adalah sembarang antiturunan $f$ , maka $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .

Integral memberikan besaran total dari laju perubahan: jarak tempuh dari kecepatan, usaha dari gaya, massa dari massa jenis, peluang dari fungsi kepadatan peluang, dan pendapatan kumulatif dari laju penjualan.

Cara menggunakan kalkulator integral

Masukkan fungsi yang akan diintegralkan, misalnya x*e^x atau 2x*cos(x^2). Anda juga boleh menuliskannya dalam bentuk ∫ … dx; untuk mengintegralkan, misalnya, dari 0 sampai 1, isi kolom «Batas bawah» dan «Batas atas».
Kosongkan batas-batasnya untuk mendapatkan antiturunan, atau masukkan keduanya untuk integral tentu. Anda dapat memakai pi dan e.
Tekan tombol «Integralkan» untuk melihat metode yang diterapkan, antiturunannya, dan untuk integral tentu, nilai antiturunan di kedua batas.

Rumus

Aturan pangkat

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\ n \neq -1

Substitusi

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du

Integral parsial

\int u\,dv = uv - \int v\,du

Teorema dasar kalkulus

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Contoh soal dan pembahasan: ∫ x·eˣ dx

Dalam contoh ini, $\int x e^x\,dx$ dihitung. Integrannya merupakan hasil kali polinomial dan fungsi eksponen; ini kasus khas integral parsial. Kalkulator menerapkan metode tabel: $x$ diturunkan sampai diperoleh 0 (yaitu $x$ , 1, 0), $e^x$ diintegralkan sebanyak itu pula, lalu hasil kali sepanjang diagonal dijumlahkan dengan tanda berselang-seling sehingga diperoleh $xe^x - e^x$ . Setelah faktor persekutuannya dikeluarkan, tersisa $e^x(x - 1) + C$ . Hasilnya diperiksa dengan penurunan numerik dan dibandingkan dengan $xe^x$ di beberapa titik.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

{e}^{x} \left( x-1\right) + C

Cara kami membaca soal Anda

Tentukan integral tak tentu (antiturunan) dari xe^x terhadap x.

\int x {e}^{x}\,dx

Pembahasan langkah demi langkah

Mulai dari integralnya
$\int x {e}^{x}\,dx$
Integral parsial (metode tabel)
Turunkan polinomial x hingga menjadi 0, integralkan e^x sebanyak itu pula, lalu gabungkan dengan tanda berselang-seling.
$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
Gabungkan hasil kali yang tandanya berselang-seling
$\int x {e}^{x}\,dx = {e}^{x} \left( x-1\right)$
Sederhanakan dan tambahkan konstanta integrasi
$\int x {e}^{x}\,dx = {e}^{x} \left( x-1\right) + C$

Rumus yang digunakan

Aturan pangkat dari pangkat
$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\ n \neq -1$

Antiturunan F memenuhi F′(x) = f(x). Karena turunan setiap konstanta adalah 0, setiap antiturunan berbeda satu sama lain sebesar suatu konstanta C.

Pemeriksaan

Jawaban diturunkan dan dibandingkan dengan integran di 8 titik sampel ✓

Penjelasan lengkap

Memilih metode

Tidak ada satu algoritma pun yang dapat diterapkan secara manual untuk semua integral: kuncinya adalah mengenali jenis bentuk aljabarnya. Mulailah dengan kelinearan: pisahkan jumlahnya dan keluarkan konstantanya, lalu gunakan tabel integral untuk pangkat, fungsi eksponen, $\frac1x$ , dan fungsi trigonometri. Jika sebagian integran merupakan turunan bagian lainnya, cobalah substitusi. Jika integran merupakan hasil kali dua fungsi berlainan jenis, seperti polinomial dan fungsi eksponen atau polinomial dan sinus, cobalah integral parsial. Fungsi rasional memerlukan penguraian menjadi pecahan parsial, sedangkan bentuk seperti $\frac{1}{x^2 + 1}$ mengarah ke fungsi invers trigonometri.

Kalkulator mencoba metode-metode ini dengan urutan yang kurang lebih sama dan menyebutkan metode yang berhasil — dengan begitu langkah-langkahnya juga membantu Anda memilih metode di lain waktu.

Substitusi langkah demi langkah

Substitusi membalik aturan turunan fungsi komposisi, yaitu aturan rantai. Pada $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ , fungsi dalamnya $x^2$ dan turunannya, $2x$ , muncul sebagai faktor; karena itu diambil $u = x^2$ dan $du = 2x\,dx$ . Integralnya berubah menjadi $\int \cos u\,du = \sin u$ , dan setelah kembali ke variabel semula diperoleh $\sin(x^2) + C$ . Kalkulator menampilkan setiap baris ini. Jika turunan fungsi dalam hanya muncul dengan selisih faktor konstanta, seperti pada $x\cos(x^2)$ , substitusi yang sama tetap berhasil setelah dikoreksi dengan $\frac12$ .

Integral parsial dan metode tabel

Integral parsial membalik aturan turunan hasil kali: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ . Pilih sebagai $u$ faktor yang makin sederhana jika diturunkan, biasanya polinomial, dan sebagai $dv$ faktor yang mudah diintegralkan. Jika $u$ adalah polinomial berderajat $n$ , faktor itu menjadi nol setelah $n$ kali pengulangan, dan metode tabel menyusun pengulangan-pengulangan itu dalam dua kolom. Inilah sebabnya contoh tadi selesai dalam dua baris: turunan $x$ adalah 1, lalu 0.

Integral tentu dan batas integral

Untuk mengubah soal menjadi integral tentu, isi batas bawah dan batas atasnya. Kalkulator lebih dulu mencari antiturunan, lalu menerapkan teorema dasar kalkulus: untuk $\int_0^3 x^2\,dx$ , kalkulator mengambil $F(x) = \frac{x^3}{3}$ dan menghitung $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$ . Batas-batasnya boleh berupa bentuk seperti pi/2. Jika Anda hanya memerlukan nilai numerik, kalkulator integral tentu tetap berfungsi walaupun tidak ada antiturunan elementer, karena kalkulator itu menghitung luasnya secara numerik.

Jika tidak ada antiturunan elementer

Antiturunan beberapa fungsi yang tampak sederhana, seperti $e^{x^2}$ , $\frac{\sin x}{x}$ , dan $\sqrt{1 + x^3}$ , tidak dapat dituliskan sebagai gabungan berhingga dari polinomial, akar, fungsi eksponen, logaritma, dan fungsi trigonometri. Ini bukan kegagalan metode, melainkan fakta yang telah dibuktikan. Untuk fungsi seperti ini, kalkulator memberi tahu bahwa antiturunannya tidak ditemukan alih-alih mengarangnya; integral tentu pada interval tertentu tetap dapat dihitung secara numerik.

Misalnya, kalkulator integral tentu mencari nilai $\int_0^1 e^{x^2}\,dx \approx 1.4627$ secara numerik dan menyebutkan bahwa hasilnya merupakan hampiran.

Mengapa konstanta integrasi diperlukan?

Karena turunan setiap konstanta adalah nol, $\frac{x^3}{3}$ , $\frac{x^3}{3} + 5$ , dan $\frac{x^3}{3} - 2$ memiliki turunan yang sama: $x^2$ . Grafiknya hanya berbeda karena tergeser ke atas atau ke bawah, dan $+ C$ menggambarkan seluruh keluarga ini. Begitu ada syarat tambahan — syarat awal — konstantanya tertentu. Jika kecepatannya $v(t) = 2t$ dan posisi pada saat 0 adalah 4, pengintegralan menghasilkan $s(t) = t^2 + C$ , dan syarat $s(0) = 4$ berarti $C = 4$ . Pada integral tentu, konstanta saling menghilangkan dalam $F(b) - F(a)$ ; karena itu konstanta sama sekali tidak muncul dalam jawaban numeriknya.

Luas bertanda dan luas total

Integral tentu menghitung luas di atas sumbu x sebagai positif dan luas di bawahnya sebagai negatif. Pada satu periode penuh, $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$ , padahal kurvanya jelas membatasi luas yang positif: busur di atas sumbu dan lekukan di bawahnya tepat saling mengimbangi. Jika soal menanyakan luas total di antara kurva dan sumbu, cari titik-titik tempat fungsi berganti tanda, integralkan setiap bagian secara terpisah, lalu jumlahkan nilai mutlaknya. Untuk $\sin x$ pada $[0, 2\pi]$ diperoleh $2 + 2 = 4$ .

Perbedaan yang sama muncul dalam soal gerak. Integral kecepatan memberikan perpindahan, yaitu perubahan bersih posisi; sedangkan integral nilai mutlak kecepatan memberikan jarak total yang ditempuh.

Cara membaca langkah-langkahnya

Setiap langkah menunjukkan satu transformasi integral: aturan atau baris tabelnya ada di judul, dan rumusnya tepat di bawahnya. Langkah yang memakai kelinearan memecah soal menjadi integral-integral yang lebih kecil, yang diselesaikan terpisah lalu dijumlahkan kembali; karena itu fungsi yang panjang menghasilkan daftar langkah pendek yang lebih panjang, bukan satu lompatan besar. Pada substitusi, baris yang mendefinisikan $u$ juga menampilkan $du$ — di situlah terlihat mengapa metode itu berhasil. Langkah terakhir selalu menambahkan konstanta integrasi pada integral tak tentu, sedangkan pada integral tentu langkah itu menyubstitusikan batas-batasnya.

Kesalahan yang sering terjadi

Melupakan konstanta integrasi $+\,C$ pada integral tak tentu.
Menerapkan aturan pangkat pada $\int x^{-1}dx$ ; hasilnya $\ln|x| + C$ .
Mengabaikan turunan fungsi dalam: $\int \cos 2x\,dx = \frac12\sin 2x + C$ .
Mengintegralkan melewati asimtot tegak seolah-olah integral biasa, seperti pada $\int_{-1}^{1}\frac1x\,dx$ .
Lupa menghitung ulang batas-batasnya atau kembali ke variabel semula setelah substitusi.
Mengintegralkan hasil kali seperti hasil kali integral; $\int x e^x\,dx$ tidak sama dengan $\frac{x^2}{2}e^x$ .

Kiat

Perhatikan apakah suatu fungsi muncul bersama turunannya: itu tanda bahwa substitusi akan berhasil.
Pada integral parsial, pilih sebagai $u$ faktor yang makin sederhana jika diturunkan.
Periksa setiap antiturunan dengan menurunkannya.
Jika antiturunan diturunkan, Anda harus memperoleh tepat integrannya.
Cari turunan fungsi dalam pada integran: itulah yang menunjukkan bahwa substitusi akan berhasil.
Saat memilih $u$ pada integral parsial, urutan berikut membantu: logaritma, invers trigonometri, aljabar, trigonometri, lalu fungsi eksponen.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa beda integral tentu dan integral tak tentu?

Integral tak tentu adalah keluarga fungsi $F(x) + C$ . Integral tentu memiliki batas integral dan sama dengan sebuah bilangan, yaitu luas bertanda di antara kurva dan sumbu x.

Metode pengintegralan apa saja yang didukung?

Kelinearan, aturan pangkat, integral baku dari tabel, substitusi linear maupun umum, integral parsial (termasuk yang berulang dengan metode tabel), dan penguraian menjadi pecahan parsial dengan penyebut kuadrat.

Mengapa jawabannya memuat + C?

Semua fungsi yang turunannya $f$ hanya berbeda sebesar suatu konstanta satu sama lain; karena itu integral tak tentu memuat konstanta sembarang $C$ .

Apa yang terjadi jika antiturunannya tidak ditemukan?

Kalkulator menyatakannya secara terang alih-alih menebak. Jika Anda menentukan batas-batasnya, kalkulator tetap menghitung integral tentunya secara numerik dengan metode Simpson adaptif dan menandai hasilnya sebagai hampiran.

Apakah pi dapat dipakai sebagai batas?

Bisa. Batas-batasnya boleh berupa bilangan atau bentuk seperti pi, pi/2, atau e.

Apakah kalkulator dapat menyelesaikan integral tak wajar?

Kalkulator ini belum dapat menyelesaikannya. Jika fungsi tidak terdefinisi di dalam interval atau menuju tak hingga, kalkulator memberi tahu bahwa integralnya tak wajar alih-alih memberikan bilangan yang menyesatkan.

Bagaimana cara memilih u pada integral parsial?

Pilih faktor yang makin sederhana jika diturunkan, biasanya polinomial atau logaritma; sebagai $dv$ , ambil faktor yang mudah diintegralkan. Untuk $\int x e^x\,dx$ , ambil $u = x$ dan $dv = e^x\,dx$ .

Bagaimana mengetahui bahwa substitusi akan berhasil?

Carilah fungsi yang berada di dalam fungsi lain dan turunannya juga muncul sebagai faktor. Pada $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ , turunan fungsi dalam $x^2$ adalah $2x$ ; karena itu substitusi $u = x^2$ berhasil.

Apa antiturunan 1/(x^2 + 1)?

Arkus tangen: $\int \frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C$ . Kalkulator mengenali integral baku ini beserta bentuk umumnya, $\frac{1}{a^2 + u^2}$ .

Coba kalkulator integral

Masukkan fungsi dan dapatkan antiturunan atau integral tentunya beserta penjelasan setiap metode dan pemeriksaannya.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI

Kalkulator Integral