Kalkulator Turunan Parsial

Tentang kalkulator turunan parsial

Dalam ilmu alam dan ekonomi, sebagian besar besaran bergantung pada lebih dari satu variabel. Volume tabung bergantung pada jari-jari dan tinggi, laba perusahaan bergantung pada harga dan biaya iklan, dan suhu di dalam ruangan bergantung pada ketiga koordinat. Turunan parsial menjawab satu pertanyaan yang tegas tentang fungsi semacam itu: jika semua variabel lain dibuat tetap dan hanya satu yang berubah, seberapa cepat hasilnya berubah?

Kalkulator mencari laju perubahan ini secara eksak. Tuliskan fungsi seperti $x^2 y + \sin(xy)$ dan pilih satu variabel; kalkulator menganggap setiap huruf lain sebagai konstanta dan menurunkan suku demi suku dengan aturan penjumlahan, aturan kelipatan konstanta, aturan pangkat, aturan perkalian, dan aturan rantai. Setiap aturan ditampilkan sebagai langkah tersendiri; dengan begitu Anda melihat mengapa $y$ tetap berada di depan $\cos(xy)$ dan mengapa suku seperti $4y$ lenyap saat diturunkan terhadap $x$ .

Turunan orde tinggi dicari dengan cara yang sama. Tuliskan xx untuk turunan parsial kedua terhadap $x$ , dan xy untuk turunan campuran yang diambil terhadap $x$ lebih dulu, kemudian terhadap $y$ . Untuk menghitung nilai hasilnya di suatu titik, tambahkan titik seperti x = 1, y = 2. Setiap hasil diperiksa secara independen sebelum ditampilkan.

Apa itu turunan parsial?

Untuk fungsi $f(x, y)$ , turunan parsial terhadap $x$ , yang ditulis $\frac{\partial f}{\partial x}$ atau $f_x$ , adalah turunan biasa yang diperoleh jika $y$ dianggap sebagai bilangan tetap. Secara formal, $f_x(x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$ . Lambang $\partial$ yang melengkung menandakan bahwa ada variabel lain dan variabel-variabel itu dianggap konstan.

Secara geometri, grafik $f(x, y)$ berupa sebuah permukaan. Jika permukaan itu dipotong dengan bidang $y =$ konstan, terbentuk sebuah kurva, dan $f_x$ adalah gradien kurva itu. Dengan cara serupa, $f_y$ adalah gradien irisan dalam arah $y$ . Bersama-sama, turunan parsial pertama membentuk vektor gradien $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ , yang menunjukkan arah kenaikan tercepat.

Turunan parsial muncul dalam optimasi (titik kritis adalah titik tempat semua turunan parsial pertama bernilai nol), fisika (persamaan panas, persamaan gelombang, dan persamaan Laplace ditulis dengannya), ekonomi (biaya marginal dan utilitas marginal), serta pembelajaran mesin, tempat gradien mengarahkan pelatihan setiap jaringan saraf.

Cara menggunakan kalkulator turunan parsial

Tuliskan fungsinya dengan huruf apa pun sebagai variabel, misalnya x^2 y + sin(x y) atau x^3 y^2 + 4y. Spasi atau * di antara huruf berarti perkalian.
Pada kolom kedua, masukkan variabel yang menjadi acuan penurunan, misalnya x atau y.
Untuk orde yang lebih tinggi, tuliskan satu huruf untuk setiap penurunan secara berurutan: xx untuk f_xx, xy untuk f_xy (pertama x, kemudian y), dan seterusnya.
Jika ingin, berikan nilai setiap variabel untuk menghitung turunan di titik itu, misalnya x = 1, y = 2.
Tekan tombol «Turunkan» dan ikuti langkah-langkahnya, masing-masing diberi label aturan yang dipakai.

Rumus

Definisi

f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,\,y) - f(x,\,y)}{h}

Notasi turunan campuran

f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}

Teorema Schwarz (Clairaut)

f_{xy} = f_{yx}\quad\text{jika keduanya kontinu}

Vektor gradien

\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle

Aturan rantai untuk turunan parsial

\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy)\cdot y

Contoh soal dan pembahasan: ∂/∂x dari x²y + sin(xy)

Contoh dihitung secara langsung untuk $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$ saat diturunkan terhadap $x$ . Selama $y$ tetap, suku pertama adalah sebuah konstanta yang dikalikan dengan $x^2$ ; karena itu suku ini menjadi $2xy$ . Suku kedua memerlukan aturan rantai: turunan $\sin u$ adalah $\cos u$ dikalikan $\frac{\partial u}{\partial x}$ , dan untuk $u = xy$ turunan dalam ini adalah $y$ .

Dengan menjumlahkan bagian-bagiannya diperoleh $2xy + y\cos(xy)$ , dan kalkulator memfaktorkan faktor persekutuannya: $f_x = y(2x + \cos(xy))$ . Perhatikan bahwa $y$ tidak pernah diturunkan; variabel ini berperilaku persis seperti bilangan 5 jika bilangan itu berada di tempatnya.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

\frac{\partial f}{\partial x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)

Cara kami membaca soal Anda

Tentukan turunan parsial pertama f_x dari f(x, y).

\frac{\partial f}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right]

Pembahasan langkah demi langkah

Kenali fungsi dan urutan penurunannya
Turunkan terhadap x; setiap variabel lain (y) dianggap konstan.
$f = {x}^{2} y+\sin\left( x y\right)$
Aturan jumlah: turunkan setiap suku secara terpisah
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right] = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$
Aturan rantai — d/dx[sin u] = cos u · u′
$\frac{\partial}{\partial x}\left[\sin\left( x y\right)\right] = \cos\left( x y\right) y$
Aturan kelipatan konstanta
$\frac{\partial}{\partial x}\left[ x y\right] = y$
Aturan kelipatan konstanta
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y\right] = 2y x$
Aturan pangkat: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
Sederhanakan: f_x
$f_{x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$

Rumus yang digunakan

Definisi
$f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$
Turunan parsial campuran (Clairaut)
$f_{xy} = f_{yx}\ \text{jika keduanya kontinu}$

Turunan parsial mengukur bagaimana f berubah ketika hanya satu variabel yang bergerak: variabel lainnya diperlakukan persis seperti bilangan, sehingga aturan turunan biasa tetap berlaku.

Pemeriksaan

Diperiksa silang dengan penurun simbolik independen di beberapa titik sampel ✓

Penjelasan lengkap

Variabel lain dianggap konstan

Satu-satunya gagasan dalam setiap turunan parsial adalah bahwa variabel yang tidak diturunkan dibekukan. Jika hal ini terasa asing, ganti dulu variabel-variabel itu dengan bilangan tertentu. Untuk $x = 2$ , menurunkan $x^3 y^2 + 4y$ terhadap $y$ sama dengan menurunkan $8y^2 + 4y$ : hasilnya berbentuk $2 \cdot 8y + 4$ , dan dengan mengembalikan $x^3$ ke tempat 8 diperoleh $f_y = 2x^3 y + 4$ .

Hal ini juga menjelaskan suku mana yang lenyap. Suku yang hanya memuat variabel yang dibekukan adalah konstanta; karena itu turunan parsialnya nol. Untuk $f = x^2 + 3xy$ , turunan parsial terhadap $y$ sama sekali mengabaikan $x^2$ dan menghasilkan $f_y = 3x$ .

Aturan yang sudah dikenal tetap berlaku

Penurunan parsial memakai aturan yang persis sama dengan kalkulus satu variabel: aturan pangkat, penjumlahan, kelipatan konstanta, perkalian, pembagian, dan rantai. Yang berubah hanyalah pencatatannya. Perkalian dua faktor yang sama-sama memuat $x$ memerlukan aturan perkalian saat diturunkan terhadap $x$ ; sebaliknya, jika suatu faktor hanya memuat $y$ , faktor itu sekadar pengali konstanta.

Kesalahan paling sering terjadi pada aturan rantai. Jika suatu fungsi diterapkan pada ekspresi yang memuat lebih dari satu variabel, seperti pada $e^{xy}$ atau $\ln(x^2 + y^2)$ , turunan dalamnya juga turunan parsial. Misalnya, $\frac{\partial}{\partial x} e^{xy} = y e^{xy}$ dan $\frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) = \frac{2y}{x^2 + y^2}$ .

Turunan parsial kedua dan turunan campuran

Menurunkan turunan parsial sekali lagi menghasilkan turunan parsial kedua. Fungsi dua variabel memiliki empat turunan parsial kedua: $f_{xx}$ , $f_{yy}$ , serta turunan campuran $f_{xy}$ dan $f_{yx}$ . Indeks bawah dibaca dari kiri ke kanan: $f_{xy}$ berarti menurunkan terhadap $x$ lebih dulu, kemudian terhadap $y$ . Notasi pecahan $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ dibaca dari kanan ke kiri dan menyatakan hal yang sama.

Untuk $f = x^2 y^3$ , menurunkan terhadap $x$ lebih dulu menghasilkan $2xy^3$ , lalu menurunkan terhadap $y$ menghasilkan $f_{xy} = 6xy^2$ , yang di titik $(1, 2)$ sama dengan 24. Dengan urutan terbalik, diperoleh $3x^2y^2$ lebih dulu, lalu sekali lagi $6xy^2$ . Kecocokan ini adalah teorema Schwarz, yang juga dikenal sebagai teorema Clairaut: pada fungsi yang turunan parsial keduanya kontinu, urutan penurunan campuran tidak berpengaruh. Kalkulator menampilkan hal ini sebagai pemeriksaan setiap kali menghitung turunan campuran.

Turunan parsial kedua memiliki penerapan yang sangat nyata. Dalam syarat cukup ekstrem di titik kritis $f(x, y)$ , besaran $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$ , yaitu determinan matriks Hesse, menentukan apakah titik itu maksimum lokal, minimum lokal, atau titik pelana.

Nilai di suatu titik dan maknanya

Turunan parsial itu sendiri merupakan fungsi dari semua variabel; karena itu nilainya bergantung pada letak kita. Untuk $f = x^2 + 3xy$ , turunan $f_x = 2x + 3y$ di titik $(1, 2)$ sama dengan 8. Artinya: di sekitar titik itu, dengan $y = 2$ tetap, kenaikan kecil sebesar $\Delta x$ pada $x$ menaikkan $f$ kira-kira sebesar $8\,\Delta x$ .

Satuan membuat maknanya menjadi nyata. Jika $V(r, h) = \pi r^2 h$ adalah volume tabung dalam sentimeter kubik, $V_r = 2\pi r h$ diukur dalam sentimeter kubik per sentimeter jari-jari dan menunjukkan seberapa peka volume terhadap perubahan jari-jari selama tingginya tetap.

Kesalahan yang sering terjadi

Ikut menurunkan variabel yang seharusnya dianggap konstan, misalnya menulis $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy + x^2$ .
Membiarkan suku seperti $4y$ saat menurunkan terhadap $x$ ; suku itu konstanta dan turunannya 0.
Lupa turunan parsial dalam pada aturan rantai, misalnya menulis $\cos(xy)$ untuk $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)$ .
Membaca $f_{xy}$ dengan urutan yang salah; urutan indeks bawah adalah urutan penurunan.
Mencampuradukkan $\frac{\partial f}{\partial x}$ dengan turunan total $\frac{df}{dx}$ ketika $y$ sendiri bergantung pada $x$ .

Kiat

Jika Anda lupa apa yang dianggap konstan, ganti variabel yang dibekukan dengan bilangan di dalam pikiran Anda.
Keluarkan konstanta sebelum menurunkan; saat menurunkan terhadap $x$ , ekspresi $x^2 y^3$ hanyalah $y^3$ dikalikan dengan $x^2$ .
Gunakan teorema Schwarz sebagai pemeriksaan gratis: hitung $f_{xy}$ dan $f_{yx}$ , lalu bandingkan.
Tuliskan $\nabla f$ segera setelah Anda memperoleh kedua turunan parsial pertama; sebagian besar penerapan memerlukan gradien yang lengkap.
Sederhanakan turunan pertama sebelum mencari turunan kedua agar ekspresinya tetap mudah dikelola.
Untuk mengetahui apakah fungsi naik dalam arah tertentu, perhatikan tanda turunan parsial di titik itu.

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana cara menulis fungsi dua variabel?

Gunakan huruf untuk variabel dan spasi atau * untuk perkalian, misalnya x^2 y + sin(x y) atau x^2*y + sin(x*y). Setiap huruf yang bukan bagian dari nama fungsi seperti sin atau log dianggap sebagai variabel.

Bagaimana cara mencari turunan parsial kedua seperti f_xx?

Pada kolom «Turunkan terhadap», tuliskan variabel satu kali untuk setiap penurunan: xx untuk f_xx, yy untuk f_yy. Kalkulator menurunkan beberapa kali dan menampilkan setiap langkah secara terpisah.

Apakah f_xy sama dengan f_yx?

Untuk hampir semua fungsi dalam kurikulum, ya. Jika turunan campurannya kontinu, teorema Schwarz menjaminnya. Kalkulator menampilkan perbandingannya agar Anda melihat bahwa keduanya cocok.

Apa arti lambang ∂?

Lambang ini adalah huruf d melengkung yang dipakai untuk turunan parsial. Lambang ini menandakan bahwa fungsi memiliki beberapa variabel dan, saat penurunan, semuanya tetap konstan kecuali variabel pada penyebut.

Apakah kalkulator menghitung nilai turunan parsial di suatu titik?

Ya. Masukkan nilai semua variabel pada kolom opsional, misalnya x = 1, y = 2. Kalkulator menyubstitusikannya ke turunan akhir dan memberikan sebuah bilangan; misalnya f_x = 2x + 3y sama dengan 8 di titik (1, 2).

Apakah kalkulator bekerja dengan tiga variabel?

Ya. Fungsi seperti x y z atau x^2 + y z dapat diturunkan terhadap hurufnya yang mana pun. Untuk x y z, turunan parsial terhadap z adalah xy.

Apa beda turunan parsial dengan turunan biasa?

Aturannya sama; tetapi turunan biasa berkaitan dengan satu variabel saja, sedangkan turunan parsial memilih satu di antara beberapa variabel dan menganggap sisanya konstan. Hasilnya tetap berupa fungsi dari semua variabel.

Apa itu gradien, dan bagaimana turunan parsial membentuknya?

Gradien adalah vektor yang tersusun dari semua turunan parsial pertama, seperti ⟨f_x, f_y⟩. Gradien menunjukkan arah tempat fungsi naik paling cepat, dan panjangnya sama dengan laju kenaikan terbesar itu.

Mengapa turunan parsial saya tampak berbeda dari jawaban kalkulator?

Ekspresi yang setara dapat ditulis dalam bentuk berbeda. Kalkulator mungkin memfaktorkan suatu faktor, misalnya menulis y(2x + cos(xy)) alih-alih 2xy + y cos(xy), atau menukar urutan faktor. Jabarkan kurung pada kedua bentuk atau hitung nilainya di titik yang sama untuk melihat bahwa keduanya cocok.

Coba kalkulator turunan parsial

Masukkan fungsi multivariabel; dapatkan fx, fy, atau turunan campuran apa pun beserta penjelasan setiap aturannya.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI