Kalkulator Turunan Implisit

Tentang kalkulator turunan implisit

Banyak kurva sulit ditulis dalam bentuk $y = f(x)$ . Lingkaran seperti $x^2 + y^2 = 25$ tidak lolos uji garis tegak, sedangkan kurva seperti daun Descartes $x^3 + y^3 = 6xy$ tidak memiliki rumus yang praktis untuk $y$ . Meski begitu, gradien garis singgungnya ada di hampir setiap titik, dan penurunan implisit adalah teknik untuk menemukan gradien itu tanpa lebih dulu memisahkan $y$ .

Kalkulator menerapkan metode ini seperti yang diajarkan di kelas. Kalkulator menganggap $y$ sebagai fungsi $x$ yang tidak diketahui, menurunkan kedua ruas persamaan Anda terhadap $x$ , dan sesuai aturan rantai menambahkan faktor $y'$ pada setiap suku yang memuat $y$ . Setelah itu, suku-suku yang memuat $y'$ dikumpulkan di satu ruas, $y'$ difaktorkan, lalu dilakukan pembagian; hasilnya adalah rumus $\frac{dy}{dx}$ dalam $x$ dan $y$ .

Jika Anda memberikan sebuah titik pada kurva, kalkulator menyubstitusikannya, memberikan gradien sebagai bilangan, dan menuliskan persamaan garis singgung di titik itu. Rumus akhirnya juga dibandingkan secara independen dengan $-\frac{F_x}{F_y}$ , yaitu hasil yang diramalkan oleh turunan parsial; dengan begitu Anda dapat memercayai jawabannya sebelum menyalinnya ke buku catatan.

Apa itu penurunan implisit?

Persamaan seperti $x^2 + y^2 = 25$ mendefinisikan $y$ secara implisit: persamaan itu tidak menyatakan $y$ secara langsung, tetapi mendefinisikan hubungan antara $x$ dan $y$ . Di sekitar sebagian besar titik pada kurva, $y$ tetap berperilaku sebagai fungsi dari $x$ , walaupun fungsi itu tidak dapat dituliskan. Penurunan implisit mencari turunannya langsung dari hubungan itu sendiri.

Kuncinya adalah aturan rantai. Jika $y$ bergantung pada $x$ , turunan $y^2$ terhadap $x$ bukanlah $2y$ , melainkan $2y \cdot \frac{dy}{dx}$ . Hal yang sama berlaku untuk $\sin y$ , $e^y$ , dan setiap suku lain yang memuat $y$ : turunkan seperti biasa, lalu kalikan dengan $y'$ . Suku yang hanya memuat $x$ diturunkan dengan cara yang biasa, sedangkan konstanta lenyap.

Hasilnya biasanya memuat $x$ sekaligus $y$ , seperti pada $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ . Ini wajar dan benar. Satu nilai $x$ dapat berpasangan dengan beberapa titik kurva yang gradiennya berbeda-beda; karena itu rumus memerlukan koordinat $y$ untuk mengetahui titik mana yang dimaksud.

Cara menggunakan kalkulator turunan implisit

Tuliskan persamaan dalam x dan y dengan tepat satu tanda sama dengan, misalnya x^2 + y^2 = 25 atau x^3 + y^3 = 6 x y.
Untuk mengalikan huruf, gunakan spasi atau *: x y maupun x*y berarti hasil kali x dan y.
Jika ingin, masukkan sebuah titik pada kurva untuk mendapatkan gradien dan garis singgung di titik itu, misalnya x = 3, y = 4.
Tekan tombol «Cari dy/dx» untuk melihat kedua ruas yang telah diturunkan, suku-suku y′ yang telah dikumpulkan, dan rumus akhirnya.
Jika Anda memberikan sebuah titik, gradien dan persamaan garis singgung muncul pada langkah-langkah terakhir.

Rumus

Aturan rantai untuk suku yang memuat y

\frac{d}{dx}\big[g(y)\big] = g'(y)\,\frac{dy}{dx}

Aturan perkalian dengan y

\frac{d}{dx}\big[xy\big] = y + x\,\frac{dy}{dx}

Jalan pintas dengan turunan parsial

F(x,y) = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

Garis singgung di titik (x₀, y₀)

y - y_0 = m\,(x - x_0),\quad m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_0,\,y_0)}

Contoh soal dan pembahasan: x² + y² = 25 di (3, 4)

Contoh dihitung secara langsung untuk lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ di titik $(3, 4)$ . Menurunkan kedua ruas menghasilkan $2x + 2y\,y' = 0$ ; suku $2y\,y'$ berasal dari aturan rantai. Setelah $2x$ dipindahkan ke ruas lain dan dibagi dengan $2y$ , diperoleh $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ .

Di titik $(3, 4)$ gradiennya $-\frac34 = -0.75$ ; jadi persamaan garis singgungnya $y - 4 = -0.75(x - 3)$ . Geometri membenarkannya: jari-jari yang ditarik ke titik $(3, 4)$ bergradien $\frac43$ , dan garis singgung lingkaran tegak lurus jari-jari; karena itu gradiennya harus negatif kebalikan bilangan tersebut, yaitu $-\frac34$ .

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},\quad \text{gradien di titik tersebut} = -0.75

Cara kami membaca soal Anda

Tentukan dy/dx untuk kurva yang didefinisikan secara implisit, dengan y dianggap sebagai fungsi terdiferensialkan dari x.

{x}^{2}+{y}^{2} = 25

Pembahasan langkah demi langkah

Anggap y sebagai fungsi dari x dan turunkan kedua ruas terhadap x
Setiap suku yang memuat y memerlukan aturan rantai: d/dx[g(y)] = g′(y)·y′.
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+{y}^{2}\right] = \frac{d}{dx}\left[25\right]$
Hasil penurunan setiap ruas
$2x + \left(2y\right) y' = 0$
Kumpulkan suku-suku y′ di satu ruas
Pindahkan setiap suku y′ ke kiri dan sisanya ke kanan, lalu keluarkan y′ sebagai faktor.
$\left(2y\right) y' = -\left(2x\right)$
Bagi untuk mengisolasi y′
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
Substitusikan x = 3, y = 4
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,\,4)} = -0.75$
Garis singgung di titik tersebut
$y - 4 = -0.75\,(x - 3)$

Rumus yang digunakan

Aturan rantai untuk y
$\frac{d}{dx}\,g(y) = g'(y)\,\frac{dy}{dx}$
Rumus fungsi implisit
$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y},\quad F(x,y) = 0$

Menurunkan kedua ruas menjaga persamaan tetap seimbang; karena y bergantung pada x, setiap suku y menghasilkan faktor y′, yang kemudian diselesaikan secara aljabar. Hasilnya biasanya memuat x dan y sekaligus.

Pemeriksaan

Sesuai dengan −F_x / F_y dari penurun simbolik independen di beberapa titik sampel ✓
(3, 4) terletak pada kurva ✓

Penjelasan lengkap

Metode empat langkah

Pertama: turunkan semua suku di kedua ruas terhadap $x$ . Kedua: jika suatu suku memuat $y$ , kalikan turunannya dengan $y'$ ; jika $x$ dan $y$ dikalikan, gunakan aturan perkalian. Ketiga: pindahkan semua suku yang memuat $y'$ ke satu ruas dan sisanya ke ruas lain. Keempat: faktorkan $y'$ dan bagilah dengan faktor yang tersisa.

Untuk $x^3 + y^3 = 6xy$ , dua langkah pertama menghasilkan $3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'$ , karena ruas kanan berupa perkalian. Setelah suku-suku dikelompokkan, tersisa $(3y^2 - 6x)\,y' = 6y - 3x^2$ , yaitu $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$ . Kalkulator menampilkan urutan langkah yang persis seperti ini.

Mengapa aturan rantai menghasilkan y′?

Bayangkan $y$ sebagai fungsi tersembunyi $y(x)$ . Dengan begitu, $y^3$ sebenarnya fungsi komposisi, yaitu pangkat tiga dari $y(x)$ , dan menurut aturan rantai turunannya adalah $3y(x)^2 \cdot y'(x)$ . Penurunan implisit tidak lain adalah aturan rantai biasa yang diterapkan pada fungsi dalam yang rumusnya tidak diketahui.

Dengan alasan yang sama, $\frac{d}{dx}[\sin y] = \cos y \cdot y'$ dan $\frac{d}{dx}[e^y] = e^y\,y'$ . Menurunkan persamaan $\sin y = x$ menghasilkan $\cos y\,y' = 1$ , yaitu $y' = \frac{1}{\cos y}$ . Pada cabang utama kurva ini adalah $y = \arcsin x$ ; jadi dengan menuliskan $\cos y$ sebagai $\sqrt{1 - x^2}$ , turunan arcsinus diperoleh dengan cepat.

Gradien, garis singgung, dan titik-titik istimewa

Menyubstitusikan titik ke dalam rumus memberikan gradien di titik itu, tetapi hanya jika titik itu benar-benar terletak pada kurva. Karena itu, periksa lebih dulu apakah titik tersebut memenuhi persamaan semula. Dengan gradien $m$ dan titik $(x_0, y_0)$ , persamaan garis singgungnya adalah $y - y_0 = m(x - x_0)$ .

Rumus ini juga membantu menemukan titik-titik istimewa. Garis singgung mendatar terdapat di tempat pembilang $\frac{dy}{dx}$ bernilai nol sementara penyebutnya tidak. Garis singgung tegak terdapat di tempat penyebutnya nol sementara pembilangnya tidak; pada lingkaran, hal ini terjadi di titik $(\pm 5, 0)$ , tempat $y = 0$ . Jika pembilang dan penyebut sama-sama nol, seperti pada daun Descartes di titik asal, kurva itu mungkin memotong dirinya sendiri dan gradiennya perlu diselidiki tersendiri.

Jalan pintas dengan turunan parsial

Jika semuanya dipindahkan ke satu ruas, kurva dapat ditulis sebagai $F(x, y) = 0$ . Kalkulus fungsi multivariabel kemudian memberikan rumus $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ , dengan $F_x$ dan $F_y$ adalah turunan parsial. Untuk $x^2 + xy + y^2 = 7$ berlaku $F_x = 2x + y$ dan $F_y = x + 2y$ ; jadi $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$ , yang di titik $(1, 2)$ sama dengan $-0.8$ .

Kalkulator memakai rumus ini sebagai pemeriksaan independen terhadap hasil langkah demi langkah. Anda pun dapat melakukan hal yang sama: jika penyelesaian manual Anda dan jalan pintas ini cocok, hasilnya dapat dipercaya.

Kegunaan selanjutnya: laju yang berkaitan

Penurunan implisit adalah mesin di balik soal laju perubahan yang berkaitan. Jika sebuah tangga merosot dari dinding, ujung bawah dan ujung atasnya setiap saat memenuhi $x^2 + y^2 = L^2$ , dan kedua koordinat bergantung pada waktu. Menurunkan terhadap $t$ , bukan terhadap $x$ , menghasilkan $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$ , yang menghubungkan kecepatan ujung bawah dengan kecepatan ujung atas.

Urutan kerjanya sama dengan di halaman ini: turunkan hubungannya, terapkan aturan rantai pada setiap besaran yang berubah, lalu pisahkan laju yang dicari. Penurunan logaritmik juga bertumpu pada hal ini: ambil $\ln$ kedua ruas $y = x^x$ , lalu turunkan $\ln y = x \ln x$ secara implisit untuk memperoleh $y' = x^x(\ln x + 1)$ .

Kesalahan yang sering terjadi

Lupa faktor $y'$ sehingga turunan $y^2$ ditulis sebagai $2y$ .
Lupa aturan perkalian pada suku campuran sehingga $\frac{d}{dx}[xy]$ hanya menjadi $y'$ atau $xy'$ .
Menurunkan konstanta di ruas kanan seolah-olah variabel, padahal turunannya harus 0.
Membagi dengan ekspresi yang bernilai nol di titik yang diselidiki sehingga garis singgung tegak terlewatkan.
Menyubstitusikan titik yang tidak memenuhi persamaan semula.
Memisahkan $y$ lebih dulu tanpa perlu; hal ini sering memunculkan akar kuadrat yang tandanya tidak jelas.

Kiat

Lingkari atau tandai setiap $y'$ saat menulis agar tidak ada yang hilang ketika suku-suku dikelompokkan.
Jabarkan perkalian sebelum menurunkan jika hal itu mengurangi jumlah suku yang memerlukan aturan perkalian.
Gunakan $-\frac{F_x}{F_y}$ untuk memeriksa hasil dengan cepat.
Sederhanakan pecahan akhir dengan mencoret faktor persekutuan seperti 2 atau 3.
Sebelum mencari garis singgung, periksa apakah titik Anda terletak pada kurva.
Untuk turunan kedua, turunkan $y'$ sekali lagi secara implisit, lalu substitusikan rumus turunan pertama.

Pertanyaan yang sering diajukan

Kapan penurunan implisit digunakan?

Setiap kali y dihubungkan dengan x melalui persamaan yang sulit atau mustahil diselesaikan untuk y, seperti x³ + y³ = 6xy, atau ketika memisahkan y akan memecah kurva menjadi beberapa cabang, seperti pada lingkaran dan elips.

Mengapa dy/dx memuat y, bukan hanya x?

Satu nilai x dapat berpasangan dengan beberapa titik pada kurva implisit, dan setiap titik memiliki gradiennya sendiri. Huruf y dalam rumus menunjukkan titik mana yang dimaksud. Untuk lingkaran, −x/y sama dengan −0,75 di titik (3, 4) dan +0,75 di titik (3, −4).

Bagaimana cara memasukkan titik untuk gradien?

Tuliskan kedua koordinat pada kolom opsional, misalnya x = 3, y = 4. Kalkulator menyubstitusikannya ke dy/dx dan menuliskan persamaan garis singgung dari titik dan gradien tersebut.

Apakah kalkulator dapat menurunkan persamaan yang memuat sin y atau e^y?

Bisa. Setiap ekspresi terdiferensialkan dalam x dan y diterima. Suku seperti sin y atau e^y mendapat faktor y′ sesuai aturan rantai; jadi dari sin y = x diperoleh dy/dx = 1/cos y.

Apa artinya jika penyebut dy/dx bernilai nol?

Selama pembilangnya tidak nol juga, garis singgung di titik itu tegak. Untuk x² + y² = 25, hal ini terjadi di titik (5, 0) dan (−5, 0).

Apakah penurunan implisit sama dengan memakai turunan parsial?

Kedua cara memberikan hasil yang sama. Metode langkah demi langkah memakai aturan rantai secara langsung, sedangkan rumus dy/dx = −F_x/F_y memakai turunan parsial F(x, y). Kalkulator menampilkan cara pertama dan memeriksanya dengan cara kedua.

Apakah d²y/dx² dapat dicari dengan kalkulator ini?

Kalkulator mencari turunan pertama. Untuk turunan kedua, turunkan rumus dy/dx sekali lagi dengan aturan pembagian sambil mengingat bahwa y tetap bergantung pada x, lalu ganti setiap y′ yang muncul dengan ekspresi turunan pertama.

Huruf apa saja yang boleh ada dalam persamaan?

Persamaan harus ditulis dalam x dan y, dengan y sebagai variabel terikat. Huruf lain tidak diterima, dan kalkulator akan memberitahukannya alih-alih menebak perannya.

Apakah y harus dipisahkan sebelum diturunkan?

Tidak, dan biasanya lebih baik tidak. Jika y dipisahkan dari x² + y² = 25, diperoleh ±√(25 − x²): dua fungsi berbeda dengan akar kuadrat yang merepotkan. Dengan menurunkan persamaan semula, Anda menangani kedua belahan lingkaran sekaligus.

Coba kalkulator turunan implisit

Masukkan persamaan dalam x dan y; dapatkan dy/dx beserta semua langkahnya, serta gradien dan garis singgung di titik pilihan Anda.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI

Tentang kalkulator turunan implisit

Apa itu penurunan implisit?

Cara menggunakan kalkulator turunan implisit

Rumus

Aturan rantai untuk suku yang memuat y

Aturan perkalian dengan y

Jalan pintas dengan turunan parsial

Garis singgung di titik (x₀, y₀)

Contoh soal dan pembahasan: x² + y² = 25 di (3, 4)

Jawaban akhir

Cara kami membaca soal Anda

Pembahasan langkah demi langkah

Rumus yang digunakan

Pemeriksaan

Penjelasan lengkap

Metode empat langkah

Mengapa aturan rantai menghasilkan y′?

Gradien, garis singgung, dan titik-titik istimewa

Jalan pintas dengan turunan parsial

Kegunaan selanjutnya: laju yang berkaitan

Kesalahan yang sering terjadi

Kiat

Pertanyaan yang sering diajukan

Kapan penurunan implisit digunakan?

Mengapa dy/dx memuat y, bukan hanya x?

Bagaimana cara memasukkan titik untuk gradien?

Apakah kalkulator dapat menurunkan persamaan yang memuat sin y atau e^y?

Apa artinya jika penyebut dy/dx bernilai nol?

Apakah penurunan implisit sama dengan memakai turunan parsial?

Apakah d²y/dx² dapat dicari dengan kalkulator ini?

Huruf apa saja yang boleh ada dalam persamaan?

Apakah y harus dipisahkan sebelum diturunkan?

Coba kalkulator turunan implisit

Kalkulator matematika lainnya