Gradien Garis Melalui Dua Titik — Kalkulator Gradien Langkah demi Langkah

Q: Apa arti gradien negatif?

Artinya garis turun ketika x bertambah. Jika gradiennya -3/2, garis turun 3 satuan setiap 2 satuan ke kanan.

Q: Bagaimana cara menulis persamaan garis?

Cari gradiennya, hitung titik potong sumbu y dengan rumus b = y_1 - m x_1, lalu tulis y = mx + b.

Q: Bagaimana cara mencari gradien garis yang tegak lurus?

Ambil kebalikan gradien pertama dan ubah tandanya. Jika m = -3/2, gradien garis yang tegak lurus adalah 2/3 dan hasil kali kedua gradien itu -1.

Tentang kalkulator gradien

Gradien suatu garis menunjukkan seberapa curam garis itu naik atau turun: hasil bagi perubahan $y$ terhadap perubahan $x$ antara dua titik mana pun pada garis tersebut. Garis bergradien positif naik ke kanan, garis bergradien negatif turun, gradien nol sesuai dengan garis mendatar, sedangkan garis vertikal tidak memiliki gradien.

Setelah gradien $m$ diketahui, titik potong sumbu y, yaitu $b$ , dapat dicari dengan salah satu dari kedua titik sehingga diperoleh garis $y = mx + b$ .

Apa itu gradien garis?

Gradien adalah satu bilangan yang menggambarkan kecuraman dan arah suatu garis. Gradien didefinisikan sebagai perbandingan perubahan vertikal terhadap perubahan horizontal: seberapa jauh garis naik atau turun untuk setiap satu satuan ke kanan. Gradien 2 berarti garis naik 2 satuan untuk setiap langkah ke kanan, gradien $-\frac32$ berarti garis turun 3 satuan setiap 2 satuan ke kanan, dan gradien 0 berarti garis mendatar.

Karena garis sama curamnya di mana-mana, dua titik mana pun pada garis itu memberikan gradien yang sama. Itulah sebabnya gradien menjadi kunci persamaan garis: jika $m$ dan satu titik diketahui, garisnya tertentu sepenuhnya. Dalam kehidupan sehari-hari, gradien adalah laju perubahan; misalnya kilometer per jam pada grafik perjalanan, atau rupiah per unit pada grafik biaya.

Cara menggunakan kalkulator gradien

Masukkan koordinat titik pertama (x₁, y₁).
Masukkan koordinat titik kedua (x₂, y₂).
Tekan «Cari gradien» untuk melihat perubahan vertikal dan horizontal, gradien yang telah disederhanakan, dan persamaan garisnya.

Rumus

Gradien

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Bentuk gradien-titik potong

y = mx + b,\quad b = y_1 - m x_1

Bentuk titik-gradien

y - y_1 = m(x - x_1)

Contoh soal dan pembahasan: (2, 3) dan (6, 11)

Contoh soal memakai titik (2, 3) dan (6, 11). Perubahan vertikalnya $11 - 3 = 8$ dan perubahan horizontalnya $6 - 2 = 4$ , sehingga gradiennya $\frac84 = 2$ . Dengan titik pertama diperoleh titik potong sumbu y $b = 3 - 2 \cdot 2 = -1$ , dan garisnya $y = 2x - 1$ . Sebagai pemeriksaan, titik kedua disubstitusikan: sesuai harapan, $2 \cdot 6 - 1 = 11$ .

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

m = 2,\quad y = 2x - 1

Cara kami membaca soal Anda

Tentukan gradien (laju perubahan) garis yang melalui dua titik.

Pembahasan langkah demi langkah

Beri nama titik-titiknya
$(x_1, y_1) = (2, 3),\quad (x_2, y_2) = (6, 11)$
Hitung perubahan y (perubahan vertikal)
$y_2 - y_1 = 11 - 3 = 8$
Hitung perubahan x (perubahan horizontal)
$x_2 - x_1 = 6 - 2 = 4$
Bagi perubahan vertikal dengan perubahan horizontal
$m = \frac{8}{4} = 2$
Tentukan titik potong sumbu y dengan titik pertama
$b = y_1 - m x_1 = 3 - 2 \cdot 2 = -1$
Tulis persamaan garisnya
$y = 2x - 1$

Rumus yang digunakan

Gradien
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Bentuk gradien-titik potong
$y = mx + b$

Gradiennya 2: setiap kenaikan 1 satuan, x, y berubah sebesar 2. Garis naik dari kiri ke kanan.

Pemeriksaan

Titik kedua: 2·(6) + -1 = 11 (seharusnya 11)

Penjelasan lengkap

Gradien negatif dan pecahan, garis vertikal

Untuk titik (1, 2) dan (5, −4), perubahan vertikalnya $-6$ dan perubahan horizontalnya 4: kalkulator memberikan $m = -\frac32$ dan garis $y = -\frac32 x + \frac72$ , serta mempertahankan kedua nilai itu sebagai pecahan eksak alih-alih −1,5 dan 3,5. Untuk (3, 1) dan (3, 7), perubahan horizontalnya nol; karena tidak dapat dibagi dengan nol, gradiennya tidak ada dan kalkulator memberikan garis vertikal $x = 3$ sebagai pengganti persamaan $y = mx + b$ .

Tiga cara menulis persamaan garis

Bentuk gradien-titik potong $y = mx + b$ langsung memperlihatkan gradien dan titik potong sumbu y; sebagian besar aplikasi grafik juga mengharapkan bentuk ini. Bentuk titik-gradien $y - y_1 = m(x - x_1)$ lebih praktis jika satu titik dan gradiennya diketahui, tetapi titik potong sumbu y belum dicari. Bentuk umum $Ax + By = C$ dengan koefisien bulat lebih disukai di sebagian pelajaran; dari $y = 2x - 1$ diperoleh $2x - y = 1$ . Ketiganya menggambarkan himpunan titik yang sama.

Gradien sebagai laju perubahan

Dalam soal terapan, gradien memiliki satuan: satuan y dibagi satuan x. Jika perjalanan taksi 6 km bertarif 11 ribu rupiah dan perjalanan 2 km bertarif 3 ribu rupiah, gradien garis yang melalui titik (2, 3) dan (6, 11) adalah 2 ribu rupiah per kilometer; titik potong sumbu y, yaitu −1, adalah nilai garis itu pada jarak nol. Dari sudut pandang ini, gradien menjawab pertanyaan: jika x bertambah satu satuan, seberapa besar perubahan y? Gagasan yang sama untuk kurva dibawa oleh turunan.

Kesalahan yang sering terjadi

Mengurangkan dengan urutan berbeda pada pembilang dan penyebut, misalnya membagi $y_2 - y_1$ dengan $x_1 - x_2$ .
Membagi perubahan horizontal dengan perubahan vertikal, bukan sebaliknya.
Menyatakan gradien garis vertikal sama dengan 0; sebenarnya gradiennya tidak terdefinisi.
Mengira koordinat satu titik sebagai perubahan vertikal dan horizontal.
Salah menyederhanakan pecahan $\frac{8}{4}$ , atau melupakan tanda minus perubahan horizontal ketika nilai x menurun.

Kiat

Garis-garis sejajar memiliki gradien yang sama; hasil kali gradien dua garis yang tegak lurus adalah −1.
Biarkan gradien dalam bentuk pecahan agar tidak terjadi pembulatan saat menghitung titik potong sumbu y.
Gambar kedua titik pada aplikasi grafik untuk memeriksa apakah tandanya benar.
Bayangkan letak titik-titiknya sebelum menghitung: jika titik kedua lebih tinggi dan lebih ke kanan, gradiennya harus positif.
Gradien garis yang tegak lurus adalah kebalikan dengan tanda yang dibalik: garis yang tegak lurus terhadap $y = 2x - 1$ bergradien $-\frac12$ .

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana cara mencari gradien dari dua titik?

Kurangkan nilai-nilai y, kurangkan nilai-nilai x dengan urutan yang sama, lalu bagi. Untuk (2, 3) dan (6, 11): $m = \frac{11-3}{6-2} = 2$ .

Apa arti gradien negatif?

Artinya garis turun ketika x bertambah. Jika gradiennya $-\frac32$ , garis turun 3 satuan setiap 2 satuan ke kanan.

Mengapa garis vertikal tidak memiliki gradien?

Kedua titik memiliki nilai x yang sama, sehingga perubahan horizontalnya 0 dan rumusnya akan memerlukan pembagian dengan nol. Garis seperti itu ditulis sebagai $x = c$ .

Bagaimana cara menulis persamaan garis?

Cari gradiennya, hitung titik potong sumbu y dengan rumus $b = y_1 - m x_1$ , lalu tulis $y = mx + b$ .

Apakah urutan titik berpengaruh?

Tidak. Jika letak titik ditukar, tanda kedua selisih ikut berubah, sehingga perbandingannya tetap sama.

Bisakah saya memasukkan koordinat desimal?

Bisa. Desimal diubah menjadi pecahan eksak, sehingga gradien dan titik potong sumbu y tetap eksak.

Berapa gradien garis mendatar?

Nol. Kedua titik memiliki nilai y yang sama, sehingga perubahan vertikalnya 0 dan $\frac{0}{\text{perubahan horizontal}} = 0$ . Garis seperti itu ditulis sebagai $y = c$ .

Bagaimana cara mencari gradien garis yang tegak lurus?

Ambil kebalikan gradien pertama dan ubah tandanya. Jika $m = -\frac32$ , gradien garis yang tegak lurus adalah $\frac23$ dan hasil kali kedua gradien itu $-1$ .

Bagaimana mengetahui apakah dua garis sejajar?

Bandingkan gradiennya. Dua garis yang tidak vertikal sejajar jika dan hanya jika gradiennya sama dan titik potong sumbu y-nya berbeda; $y = 2x - 1$ dan $y = 2x + 4$ tidak pernah berpotongan.

Coba kalkulator gradien

Masukkan dua titik; dapatkan gradien eksak dan persamaan garisnya langkah demi langkah.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI

Kalkulator Gradien Garis