Bagaimana Memeriksa Pekerjaan Rumah dan Jawaban Matematika?

Mengapa memeriksa dapat dipelajari?

Bagi banyak siswa, memeriksa berarti membaca penyelesaian sekali lagi, dan cara ini hampir tidak pernah mengungkap apa pun: mata melihat apa yang diharapkannya. Pemeriksaan yang sesungguhnya adalah mencapai hasil yang sama melalui jalan lain; dengan begitu, kesalahan pada jalan pertama muncul sebagai pertentangan. Setiap cara di bawah ini menyediakan jalan semacam itu. Sebagian besar memakan waktu kurang dari satu menit, dan bersama-sama cara-cara ini menemukan sebagian besar kesalahan dalam pekerjaan rumah dan ujian.

Memeriksa juga memperdalam pemahaman. Menyubstitusikan akar ke persamaan mengingatkan apa sebenarnya akar itu. Menurunkan antiturunan mengingatkan hubungan antara kedua operasi itu. Seiring waktu, orang yang menjadikan pemeriksaan sebagai kebiasaan mengembangkan kepekaan terhadap jawaban yang salah; ini salah satu naluri paling berharga dalam matematika.

1. Substitusikan penyelesaiannya

Akar suatu persamaan adalah nilai yang mengubahnya menjadi kesamaan yang benar; karena itu pemeriksaan paling langsung adalah menyubstitusikannya. Untuk itu, gunakan persamaan semula, bukan salah satu baris penyelesaian yang lebih belakang; jika tidak, kesalahan pada langkah-langkah awal tetap tidak terdeteksi.

Jika Anda mengkuadratkan kedua ruas atau mengalikannya dengan bentuk yang memuat variabel, substitusi wajib dilakukan, karena langkah-langkah ini dapat memunculkan akar asing. Menyelesaikan persamaan $\sqrt{x + 7} = x - 5$ dengan mengkuadratkan menghasilkan $x^2 - 11x + 18 = 0$, yaitu $x = 9$ atau $x = 2$. Substitusi menunjukkan dengan $\sqrt{16} = 4 = 9 - 5$ bahwa nilai pertama memenuhi, tetapi $\sqrt{9} = 3$ sedangkan $2 - 5 = -3$; karena itu $x = 2$ harus dibuang.

2. Lakukan operasi inversnya

Banyak operasi memiliki invers yang membatalkannya, dan operasi invers ini sering lebih mudah dilakukan. Pemfaktoran diperiksa dengan membuka kurung, pembagian dengan perkalian, dan antiturunan dengan menurunkannya.

• Pemfaktoran: jika Anda menulis $x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)$, buka tanda kurung di ruas kanan: $x^2 - 3x + 4x - 12 = x^2 + x - 12$.
• Pembagian: jika $391 \div 17 = 23$, periksa bahwa $17 \times 23 = 391$.
• Antiturunan: jika $\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$, turunan $\sin(x^2)$ menurut aturan rantai memang menghasilkan $2x\cos(x^2)$.
• Logaritma: jika $\log_2 32 = 5$, periksa bahwa $2^5 = 32$.
• Fungsi invers: jika $f^{-1}$ ditemukan dengan benar, maka $f(f^{-1}(x)) = x$ untuk beberapa nilai uji.

3. Buat perkiraan sebelum dan sesudah

Perkiraan kasar yang dibuat sebelum menghitung memberi Anda titik acuan. Jika perkalian $49 \times 21$ dibulatkan menjadi $50 \times 20 = 1000$, terlihat bahwa hasil tepat 1029 masuk akal, sedangkan 10 290 atau 129 merupakan kesalahan besar. Perkiraan terutama berguna saat bekerja dengan kalkulator; di sana satu angka yang salah ketik atau tanda desimal yang bergeser menghasilkan besaran yang sama sekali berbeda.

Dalam soal cerita, tanyakan pada diri sendiri apakah jawabannya bermakna dalam konteksnya. Tinggi badan manusia tidak mungkin 25 meter, peluang tidak mungkin negatif, dan mobil tidak mungkin melaju dengan kecepatan rata-rata 900 km per jam. Pemeriksaan kewajaran semacam ini hanya memakan beberapa detik dan menangkap sebagian kesalahan yang paling mahal.

4. Manfaatkan struktur jawaban

Banyak jawaban memenuhi hubungan yang dapat diperiksa tanpa mengerjakan ulang soalnya. Untuk persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dengan akar $r_1$ dan $r_2$, jumlah dan hasil kali akar-akarnya harus memenuhi rumus Vieta:

Untuk $x^2 - 5x + 6 = 0$, akar-akar 2 dan 3 berjumlah 5 dan hasil kalinya 6; ini sesuai dengan $-\frac{-5}{1}$ dan $\frac{6}{1}$. Pemeriksaan struktural lain berkaitan dengan simetri, tanda, dan derajat: hasil kali polinom berderajat 2 dengan polinom berderajat 3 harus berderajat 5, determinan matriks yang dua barisnya sama harus sama dengan nol, dan jumlah peluang suatu distribusi harus 1.

5. Coba nilai khusus atau nilai sederhana

Jika jawabannya bukan bilangan, melainkan bentuk aljabar atau identitas, ujilah dengan nilai-nilai yang praktis. Jika Anda menyederhanakan suatu bentuk, bentuk semula dan bentuk sederhananya harus bernilai sama untuk semua nilai yang terdefinisi. Coba $x = 0$, $x = 1$, dan $x = 2$; satu ketidakcocokan saja pada salah satunya sudah membuktikan adanya kesalahan.

Turunan dapat diperiksa secara numerik dengan pertambahan kecil. Untuk $f(x) = x^3$, turunannya $3x^2$, jadi $f'(2) = 12$. Laju perubahan $\frac{2.001^3 - 1.999^3}{0.002} = 12.000001$ hampir persis cocok dan memastikan hasilnya. Pendekatan yang sama juga berlaku untuk limit dan integral yang ditaksir dengan beberapa persegi panjang.

6. Periksa satuan dan dimensi

Dalam sains dan matematika terapan, satuan ukuran memberikan pemeriksaan gratis. Luas harus dinyatakan dalam satuan persegi, volume dalam satuan kubik, dan kecepatan dalam satuan jarak per satuan waktu. Jika rumus luas memberikan hasil dalam meter, bukan meter persegi, berarti ada faktor yang hilang di suatu tempat. Jika satuan dibawa di setiap baris penyelesaian, kesalahan semacam ini langsung terlihat.

7. Selesaikan dengan cara lain

Untuk soal yang penting, cara penyelesaian kedua adalah pemeriksaan yang paling andal. Sistem persamaan yang diselesaikan dengan metode substitusi dapat diselesaikan ulang dengan metode eliminasi; persamaan kuadrat yang diselesaikan dengan pemfaktoran dapat diperiksa dengan diskriminan; integral dapat dibandingkan dengan taksiran numerik. Jika dua cara yang saling bebas memberikan hasil yang sama, jawabannya hampir pasti benar.

Grafik menawarkan alternatif visual. Akar-akar suatu persamaan adalah absis titik potong grafik ruas kiri dan ruas kanannya, sedangkan pembuat nol suatu polinom adalah titik-titik tempat grafiknya memotong sumbu x. Sketsa atau penggambar grafik memperlihatkan sekilas apakah banyaknya penyelesaian Anda benar dan apakah penyelesaiannya kurang lebih berada di sana.

8. Bandingkan dengan pemecah soal langkah demi langkah

Setelah selesai, bandingkan penyelesaian Anda dengan alat yang bekerja langkah demi langkah, seperti kalkulator persamaan, kalkulator pemfaktoran, atau kalkulator turunan. Jika jawabannya berbeda, jangan sekadar menyalin jawaban alat itu. Temukan baris pertama tempat langkah-langkahnya berpisah: di situlah kesalahan Anda, dan memahaminya mencegah Anda mengulanginya. Ringkasan kesalahan yang paling umum ada dalam artikel cara menghindari kesalahan kurang teliti dalam matematika.

Mulailah dengan pemeriksaan yang paling murah. Substitusi dan perkiraan hanya perlu beberapa detik, sedangkan mengerjakan ulang seluruhnya perlu beberapa menit. Simpan pemeriksaan yang merepotkan untuk soal dengan nilai terbesar atau untuk keadaan ketika pemeriksaan cepat gagal.

Urutan pemeriksaan dalam ujian dengan waktu terbatas

Dalam ujian hampir tidak pernah ada waktu untuk mengerjakan ulang semuanya; karena itu pemeriksaan harus selektif. Saat mengerjakan, tandai soal yang membuat Anda ragu, yang perhitungannya panjang, atau yang memerlukan pengkuadratan kedua ruas. Di akhir, kembalilah lebih dahulu ke soal-soal bertanda. Untuk masing-masing, lakukan pemeriksaan cepat, biasanya substitusi atau perkiraan, dan jika tidak gagal, lanjutkan. Gunakan sisa waktu untuk membaca ulang pertanyaan setiap soal dan memastikan bahwa Anda menjawab tepat apa yang ditanyakan, dalam bentuk yang diminta, dengan satuan yang benar, dan dengan pembulatan yang ditentukan. Urutan ini menemukan kesalahan paling banyak untuk setiap menit yang dipakai untuk memeriksa.

Pertanyaan yang sering diajukan