Kalkulator Pemfaktoran — Polinomial dengan Pembahasan Lengkap

Tentang kalkulator pemfaktoran

Memfaktorkan polinomial berarti menuliskannya sebagai hasil kali polinomial-polinomial yang lebih sederhana. Ini kebalikan dari menjabarkan dan merupakan salah satu keterampilan aljabar yang paling sering dibutuhkan: untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dan pangkat tiga, menyederhanakan bentuk rasional, mencari titik nol grafik, dan menyiapkan integral untuk diuraikan menjadi pecahan parsial.

Kalkulator memfaktorkan polinomial satu variabel seperti $6x^2 + 11x - 10$ atau $x^4 - 16$ serta polinomial dua variabel yang umum seperti $x^2 - 9y^2$ atau $x^2 - 5xy + 6y^2$ . Kalkulator selalu mengeluarkan faktor persekutuan lebih dulu, lalu mencari bentuk istimewa, kemudian menerapkan metode AC atau, untuk derajat yang lebih tinggi, teorema akar rasional. Bagian yang tidak dapat difaktorkan lagi atas bilangan rasional tidak dibiarkan tanpa penjelasan, tetapi ditandai sebagai tak tereduksi.

Apa arti memfaktorkan polinomial?

Memfaktorkan polinomial berarti menuliskannya sebagai hasil kali yang setiap faktornya berderajat lebih kecil. Misalnya, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ . Jika faktor-faktornya dikalikan, Anda memperoleh kembali polinomial awal: inilah cara paling sederhana untuk memeriksa pemfaktoran.

Pemfaktoran disebut lengkap jika tidak ada faktor yang dapat difaktorkan lagi dengan koefisien rasional. Polinomial $x^2 - 2$ memang sama dengan $(x - \sqrt2)(x + \sqrt2)$ , tetapi tak tereduksi atas bilangan rasional karena $\sqrt2$ irasional. Di sekolah maupun di kalkulator ini, pekerjaan dilakukan atas bilangan rasional kecuali soal secara tegas meminta faktor real atau kompleks.

Cara menggunakan kalkulator pemfaktoran

Masukkan polinomial dengan ^ untuk pangkat, misalnya 6x^2 + 11x - 10 atau x^3 - 8.
Anda dapat menulis polinomial dalam urutan apa pun atau dengan tanda kurung, misalnya (x + 1)(x + 2) + 3x: kalkulator lebih dulu membuka tanda kurung dan mengurutkan suku-sukunya.
Tekan «Faktorkan». Langkah pertama menuliskan polinomial dalam bentuk baku menurut pangkat turun.
Ikuti langkah-langkah metodenya: faktor persekutuan, bentuk istimewa, atau metode AC; untuk polinomial berderajat tiga dan empat, pengujian akar rasional dengan metode Horner.
Baca faktorisasi lengkapnya di akhir, lalu buka tanda kurungnya dengan kalkulator penyederhanaan ekspresi sebagai pemeriksaan.

Rumus

Selisih kuadrat

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Kuadrat jumlah dan kuadrat selisih

a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

Jumlah dan selisih pangkat tiga

a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

Metode AC

ax^2 + bx + c:\ \text{cari } m, n \text{ sehingga } mn = ac,\ m + n = b

Tulis suku $bx$ sebagai $mx + nx$ lalu faktorkan dengan pengelompokan.

Teorema akar rasional

p(r/s) = 0 \Rightarrow r \mid a_0,\ s \mid a_n

Kandidatnya adalah hasil bagi faktor-faktor suku konstanta dengan faktor-faktor koefisien utama.

Contoh soal dan pembahasan: Suku tiga 6x² + 11x − 10

Contoh soal memfaktorkan trinomial $6x^2 + 11x - 10$ ; ini kasus khas ketika koefisien utamanya bukan 1 dan coba-coba memakan waktu lama. Kalkulator menghitung $a \cdot c = 6 \cdot (-10) = -60$ dan mencari dua bilangan bulat yang hasil kalinya $-60$ dan jumlahnya $11$ .

Bilangan-bilangan itu adalah $15$ dan $-4$ . Jika suku tengah ditulis sebagai $15x - 4x$ , keempat suku dapat dikelompokkan berpasangan dan pada setiap pasangan muncul binomial persekutuan. Untuk memastikan, buka tanda kurung hasilnya.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

(3x - 2)(2x + 5)

Cara kami membaca soal Anda

Faktorkan polinomial atas bilangan rasional

6x^{2} + 11x - 10

Pembahasan langkah demi langkah

Tulis polinomial dalam bentuk baku
$6x^{2} + 11x - 10$
Gunakan metode AC
Kalikan a·c = 6·-10 = -60. Cari dua bilangan yang hasil kalinya -60 dan jumlahnya b = 11: 15 dan -4.
$6x^{2} + 11x - 10 = 6x^2 + 15x - 4x - 10$
Faktorkan dengan pengelompokan
Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir, faktorkan setiap kelompok, lalu keluarkan binomial persekutuannya. Akar-akarnya adalah -5/2 dan 2/3.
Tulis faktorisasi lengkapnya
$(3x - 2)(2x + 5)$

Rumus yang digunakan

Selisih kuadrat
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Trinomial kuadrat sempurna
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
Jumlah dan selisih pangkat tiga
$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
Teorema Akar Rasional
$a_n x^n + \dots + a_0 = 0,\ \tfrac{p}{q} \text{ akar} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n$

6x^2 + 11x - 10 terfaktorkan sepenuhnya atas bilangan rasional sebagai (3x - 2)(2x + 5).

Pemeriksaan

Penjabaran (3x - 2)(2x + 5) menghasilkan kembali 6x^2 + 11x - 10.

Penjelasan lengkap

Urutan metode itu penting

Pemfaktoran yang andal selalu dimulai dengan faktor persekutuan. Jika $2$ dikeluarkan dari $2x^2 - 18$ , tersisa $x^2 - 9$ dan di sini selisih kuadrat langsung dikenali. Jika langkah ini dilewati, bentuk istimewanya terlewat dan diperoleh jawaban yang belum lengkap seperti $(2x - 6)(x + 3)$ yang masih menyimpan faktor persekutuan 2.

Setelah faktor persekutuan, bentuk ekspresilah yang menentukan semuanya. Dua suku mengarah ke selisih kuadrat atau jumlah maupun selisih pangkat tiga; tiga suku mengarah ke kuadrat jumlah atau kuadrat selisih, atau ke metode AC; empat suku sering difaktorkan dengan pengelompokan. Mulai derajat tiga, kalkulator menguji kandidat rasional dan membagi dengan setiap akar yang ditemukan menggunakan metode Horner; setiap kali derajatnya turun satu dan hasilnya sama dengan pengelompokan, misalnya $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = (x + 2)(x^2 + 3)$ .

Mengapa metode AC berhasil?

Jika $ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)$ , setelah tanda kurung dibuka diperoleh $pr = a$ , $qs = c$ , dan $ps + qr = b$ . Hasil kali bilangan $ps$ dan $qr$ adalah $pq rs = ac$ , sedangkan jumlahnya $b$ . Jadi, mencari dua bilangan yang hasil kalinya $ac$ dan jumlahnya $b$ sama persis dengan mencari suku-suku silangnya; pengelompokan lalu mengembalikan binomial-binomialnya.

Jika tidak ada pasangan bilangan bulat yang cocok, trinomial kuadrat itu tidak memiliki akar rasional dan tak tereduksi atas bilangan rasional. Hal ini dapat dipastikan dengan diskriminan $b^2 - 4ac$ : faktor rasional ada jika dan hanya jika diskriminannya kuadrat sempurna.

Polinomial berderajat tinggi

Untuk polinomial pangkat tiga seperti $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ , teorema akar rasional membatasi kandidatnya pada $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Pengujian menunjukkan bahwa $x = 1$ adalah akar; metode Horner menyisakan $x^2 - 5x + 6$ , dan trinomial ini difaktorkan menjadi $(x - 2)(x - 3)$ .

Polinomial pangkat empat tanpa akar rasional masih dapat difaktorkan menjadi hasil kali dua trinomial kuadrat, misalnya $x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$ . Kalkulator mencari pasangan trinomial seperti ini dengan koefisien bulat sebelum menyatakan polinomial pangkat empat tak tereduksi.

Kesalahan yang sering terjadi

Lupa mengeluarkan faktor persekutuan lebih dulu, sehingga pemfaktorannya belum lengkap.
Mengira $a^2 + b^2$ dapat difaktorkan atas bilangan real. Jumlah kuadrat tidak dapat difaktorkan tanpa bilangan kompleks.
Salah tanda pada bentuk pangkat tiga: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ ; suku tengah faktor kedua bertanda plus.
Berhenti setelah satu langkah, misalnya membiarkan $x^4 - 16$ sebagai $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$ padahal $x^2 - 4$ masih dapat difaktorkan.
Kehilangan faktor $-1$ saat mengeluarkan koefisien utama yang negatif.

Kiat

Selalu periksa hasilnya dengan mengalikan faktor-faktornya.
Tulis polinomial menurut pangkat turun sebelum memilih metode.
Pada metode AC, tulis pasangan faktor dari $ac$ secara berurutan dari kecil ke besar.
Diskriminan dengan cepat menunjukkan apakah trinomial kuadrat dapat difaktorkan atas bilangan rasional.
Jika yang diperlukan akar, bukan faktor, samakan setiap faktor dengan nol.

Pertanyaan yang sering diajukan

Dari mana memulai pemfaktoran polinomial?

Keluarkan faktor yang dimiliki semua suku, termasuk pangkat variabel yang sama. Semua metode lain bekerja lebih baik pada ekspresi yang tersisa.

Bagaimana memfaktorkan trinomial yang koefisien utamanya bukan 1?

Gunakan metode AC: kalikan a dengan c, cari dua bilangan yang hasil kalinya sama dengan bilangan itu dan jumlahnya sama dengan b, pecah suku tengah menjadi dua bagian tersebut, lalu faktorkan dengan pengelompokan.

Apa arti «tak tereduksi»?

Polinomial tak tereduksi atas bilangan rasional jika tidak dapat ditulis sebagai hasil kali polinomial berderajat lebih kecil dengan koefisien rasional. Misalnya, x kuadrat tambah 1 dan x kuadrat kurang 2 tak tereduksi atas bilangan rasional.

Apakah kalkulator memfaktorkan polinomial berderajat tiga dan empat?

Ya. Kalkulator menguji akar rasional dengan teorema akar rasional dan membagi dengan metode Horner; untuk derajat empat, kalkulator juga mencari pemfaktoran menjadi hasil kali dua trinomial kuadrat dengan koefisien bulat.

Apakah ekspresi dua variabel juga difaktorkan?

Bentuk dua variabel yang umum didukung: faktor suku tunggal persekutuan, polinomial homogen seperti x kuadrat kurang 5xy tambah 6y kuadrat, selisih kuadrat, dan pengelompokan menurut satu variabel. Ekspresi dengan tiga variabel atau lebih tidak didukung.

Apa hubungan pemfaktoran dengan menyelesaikan persamaan?

Hasil kali bernilai nol jika dan hanya jika paling sedikit satu faktornya nol. Karena itu, memfaktorkan polinomial yang disamakan dengan nol mengubah satu persamaan sulit menjadi beberapa persamaan sederhana.

Mengapa jawaban saya tampak berbeda dari buku teks?

Faktor-faktornya boleh dalam urutan apa pun, dan faktor minus dapat berpindah dari satu tanda kurung ke tanda kurung lain. Buka tanda kurung kedua jawaban: jika hasilnya polinomial yang sama, keduanya benar.

Coba kalkulator pemfaktoran

Masukkan polinomial dan ikuti setiap metode, dari faktor persekutuan hingga faktorisasi lengkap.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI

Pemfaktoran Polinomial