Penyelesai Pertidaksamaan

Tentang penyelesai pertidaksamaan

Persamaan menanyakan di mana dua ekspresi sama; pertidaksamaan menanyakan di mana yang satu lebih besar atau lebih kecil daripada yang lain. Jawabannya jarang berupa satu bilangan, biasanya berupa himpunan bilangan seperti semua nilai $x$ di antara 2 dan 3. Menuliskan himpunan ini dengan tanda kurung dan titik ujung yang tepat adalah bagian yang paling sering membuat nilai berkurang.

Kalkulator menyelesaikan pertidaksamaan linear seperti $3x - 5 \ge 7$ , polinomial seperti $x^2 - 5x + 6 < 0$ , rasional seperti $\frac{x+1}{x-2} \le 0$ , bertingkat seperti $-3 < 2x + 1 \le 9$ , dan nilai mutlak seperti $|x - 4| < 3$ . Kalkulator selalu menunjukkan titik-titik yang membagi garis bilangan dan memeriksa setiap selang, sehingga Anda memahami mengapa jawabannya demikian.

Apa itu pertidaksamaan?

Pertidaksamaan membandingkan dua ekspresi dengan salah satu tanda $<$ , $>$ , $\le$ , atau $\ge$ . Himpunan penyelesaiannya terdiri atas semua nilai variabel yang membuat perbandingan itu benar. Untuk $x + 2 > 5$ , himpunan penyelesaiannya adalah semua bilangan yang lebih besar dari 3 dan ditulis $(3, \infty)$ .

Kurung biasa menunjukkan bahwa titik ujung tidak termasuk dalam selang, sedangkan kurung siku menunjukkan bahwa titik ujung termasuk. Tak hingga tidak pernah termasuk karena bukan bilangan yang dapat dicapai. Bagian-bagian yang terpisah dihubungkan dengan tanda gabungan, seperti pada contoh $(-\infty, 1) \cup [4, \infty)$ .

Cara menggunakan penyelesai pertidaksamaan

Masukkan pertidaksamaan dengan <, >, <=, atau >=, misalnya x^2 - 5x + 6 < 0 atau 2x + 3 >= 7.
Tulis pertidaksamaan bertingkat dalam satu baris, misalnya -3 < 2x + 1 <= 9.
Gunakan abs() untuk nilai mutlak, misalnya abs(x - 4) < 3.
Tekan «Selesaikan». Periksa titik-titik kritis dan tanda pada setiap selang, lalu baca himpunan penyelesaiannya dalam notasi selang.

Rumus

Pembalikan arah pertidaksamaan

a < b \text{ dan } k < 0 \Rightarrow ka > kb

Jika dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif, arah pertidaksamaan dibalik.

Nilai mutlak kurang dari suatu bilangan

|u| < c \iff -c < u < c \quad (c > 0)

Nilai mutlak lebih dari suatu bilangan

|u| > c \iff u < -c \ \text{atau}\ u > c

Tanda hasil kali

(x - r_1)(x - r_2) < 0 \iff r_1 < x < r_2 \quad (r_1 < r_2)

Contoh soal dan pembahasan: x² − 5x + 6 < 0

Contoh soal memfaktorkan pertidaksamaan $x^2 - 5x + 6 < 0$ menjadi $(x - 2)(x - 3) < 0$ . Titik kritis 2 dan 3 membagi garis bilangan menjadi tiga selang, dan kalkulator menguji satu nilai pada setiap selang.

Hasil kalinya negatif hanya pada selang tengah; karena pertidaksamaannya tegas, titik ujung tidak termasuk: jawabannya selang $(2, 3)$ .

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

(2, 3)

Cara kami membaca soal Anda

Selesaikan pertidaksamaan dan berikan jawabannya dalam notasi selang.

{x}^{2}-5x+6 < 0

Pembahasan langkah demi langkah

Pindahkan semuanya ke satu ruas dan faktorkan
Tabel tanda memerlukan bentuk f(x) yang dibandingkan dengan 0, ditulis sebagai hasil kali/hasil bagi faktor-faktor.
$(x - 3)(x - 2) < 0$
Cari titik-titik kritis
Tanda hanya dapat berubah di 2 (nol), 3 (nol).
Uji satu titik di setiap selang (tabel tanda)
(-∞, 2): uji x = 1 → tanda + → tidak termasuk; (2, 3): uji x = 2.5 → tanda − → termasuk; (3, ∞): uji x = 4 → tanda + → tidak termasuk
Tentukan titik ujungnya
2: tidak termasuk; 3: tidak termasuk
Tulis himpunan penyelesaiannya
$x \in (2, 3)$

Rumus yang digunakan

Tanda pertidaksamaan dibalik
$a < b,\; c < 0 \Rightarrow ac > bc$
Nilai mutlak
$|A| < c \iff -c < A < c,\qquad |A| > c \iff A < -c \text{ atau } A > c$

Pertidaksamaan berlaku tepat untuk x dalam (2, 3). Titik tempat ekspresi tidak terdefinisi tidak pernah disertakan, dan titik ujung disertakan hanya untuk ≤ atau ≥ saat ekspresi bernilai nol.

Pemeriksaan

x = 1: tidak memenuhi pertidaksamaan.
x = 2.5: memenuhi pertidaksamaan.
x = 4: tidak memenuhi pertidaksamaan.

Penjelasan lengkap

Pertidaksamaan linear

Pertidaksamaan linear diselesaikan seperti persamaan, tetapi dengan satu aturan tambahan: setiap kali kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif, arah pertidaksamaan dibalik. Dari $-2x > 6$ diperoleh $x < -3$ , karena mengalikan dengan $-\tfrac12$ membalik urutan pada garis bilangan.

Alasannya, mengubah tanda suatu bilangan sama dengan mencerminkan garis bilangan. Jika $5 > 2$ , maka $-5 < -2$ . Menambahkan atau mengurangkan bilangan yang sama pada kedua ruas tidak pernah mengubah arah pertidaksamaan.

Metode tabel tanda

Pada pertidaksamaan polinomial dan rasional, pindahkan semua suku ke satu ruas sehingga ruas lainnya nol. Lalu cari titik-titik kritis: pembuat nol pembilang dan, untuk pecahan, juga pembuat nol penyebut. Polinomial hanya dapat berganti tanda di titik nolnya, sehingga di antara dua titik kritis yang berurutan tandanya tetap.

Ambil sembarang nilai uji dari setiap selang dan tentukan tandanya. Pertahankan selang yang tandanya sesuai dengan pertidaksamaan. Terakhir, tentukan status setiap titik ujung: pembuat nol pembilang termasuk dalam jawaban jika tandanya $\le$ atau $\ge$ , sedangkan pembuat nol penyebut tidak pernah termasuk karena ekspresinya tidak terdefinisi di sana.

Akar berulang perlu diperhatikan. Pada $(x - 1)^2 (x + 2) > 0$ , faktor $(x - 1)^2$ tidak pernah berganti tanda, sehingga di kedua sisi titik $x = 1$ ekspresinya bertanda sama. Tabel tanda dengan titik uji memperhitungkan hal ini dengan sendirinya; sedangkan jalan pintas «tanda selalu berselang-seling» keliru di sini.

Pertidaksamaan bertingkat dan nilai mutlak

Pertidaksamaan bertingkat seperti $-3 < 2x + 1 \le 9$ diselesaikan dengan menerapkan operasi yang sama pada ketiga bagian sekaligus, sehingga diperoleh $-2 < x \le 4$ . Pertidaksamaan nilai mutlak diubah menjadi pertidaksamaan bertingkat: $|x - 4| < 3$ berarti jarak antara $x$ dan 4 kurang dari 3, yaitu $1 < x < 7$ .

Kesalahan yang sering terjadi

Lupa membalik arah pertidaksamaan setelah mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif.
Mengalikan kedua ruas dengan ekspresi yang tandanya tidak diketahui seperti $x - 2$ . Gunakan tabel tanda.
Memasukkan nilai yang membuat penyebut nol ke dalam jawaban.
Menutup selang dengan kurung siku di sisi tak hingga.
Menulis $|x| > 3$ sebagai $-3 > x > 3$ yang tidak dipenuhi bilangan mana pun; maksudnya adalah $x < -3$ atau $x > 3$ .

Kiat

Pastikan salah satu ruas bernilai nol sebelum memfaktorkan.
Selalu gambar garis bilangan beserta titik-titik kritisnya: ini mencegah sebagian besar kesalahan pada titik ujung.
Uji satu nilai dari jawaban dan satu nilai di luar jawaban pada pertidaksamaan awal.
Pertidaksamaan tegas menghasilkan titik ujung yang tidak termasuk; pertidaksamaan tidak tegas menyertakan pembuat nol pembilang.

Pertanyaan yang sering diajukan

Mengapa arah pertidaksamaan berubah jika dibagi dengan bilangan negatif?

Mengalikan dengan bilangan negatif membalik urutan pada garis bilangan. 5 lebih besar dari 2, tetapi minus 5 lebih kecil dari minus 2; karena itu perbandingannya harus dibalik agar tetap benar.

Apa itu notasi selang?

Cara menuliskan himpunan penyelesaian dengan kurung biasa dan kurung siku. Kurung biasa tidak menyertakan titik ujung, kurung siku menyertakannya, dan bagian-bagiannya dihubungkan dengan tanda gabungan.

Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat?

Pindahkan semua suku ke satu ruas, faktorkan atau cari akar-akarnya, tandai akar-akar itu pada garis bilangan, uji satu nilai pada setiap selang, lalu pertahankan selang yang tandanya sesuai.

Mengapa beberapa titik ujung pada pertidaksamaan rasional tidak termasuk dalam jawaban?

Nilai yang membuat penyebut nol menjadikan ekspresinya tidak terdefinisi; karena itu nilai tersebut tidak pernah termasuk dalam penyelesaian, bahkan untuk tanda «kurang dari atau sama dengan» dan «lebih dari atau sama dengan».

Mungkinkah pertidaksamaan tidak memiliki penyelesaian?

Ya. Misalnya, pertidaksamaan x kuadrat tambah 1 kurang dari 0 tidak memiliki penyelesaian real, karena x kuadrat tambah 1 selalu positif. Kalkulator memberikan himpunan kosong.

Mungkinkah pertidaksamaan berlaku untuk semua bilangan real?

Ya. Misalnya, x kuadrat lebih dari atau sama dengan 0 benar untuk setiap x real, dan kalkulator memberikan seluruh garis bilangan sebagai jawabannya.

Coba penyelesai pertidaksamaan

Masukkan pertidaksamaan; dapatkan titik-titik kritis, tanda pada setiap selang, dan jawaban dalam notasi selang.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI