Menyelesaikan Pertidaksamaan dan Menuliskan Jawaban dengan Notasi Interval

Tanda pertidaksamaan dan bentuk jawaban

Pertidaksamaan membandingkan dua bentuk aljabar dengan salah satu dari empat tanda: $<$ (kurang dari), $>$ (lebih dari), $\le$ (kurang dari atau sama dengan), dan $\ge$ (lebih dari atau sama dengan). Penyelesaiannya biasanya berupa himpunan bilangan yang tak hingga: ditulis sebagai pertidaksamaan, digambarkan pada garis bilangan, atau ditulis sebagai interval.

• $x < 5$ sesuai dengan interval $(-\infty, 5)$; kurung biasa menunjukkan bahwa 5 tidak termasuk, dan pada garis bilangan titik itu ditandai dengan lingkaran kosong.
• $x \le 3$ sesuai dengan $(-\infty, 3]$; kurung siku menunjukkan bahwa 3 termasuk, dan titik itu ditandai dengan lingkaran penuh.
• Pertidaksamaan ganda $-2 \le x < 4$ sesuai dengan $[-2, 4)$.
• Tak hingga selalu ditulis dengan kurung biasa, karena tak hingga bukan bilangan yang dapat disertakan. Di beberapa buku pelajaran, ujung-ujung interval dipisahkan dengan titik koma, bukan koma; kedua penulisan menyatakan himpunan yang sama.

Satu-satunya aturan yang berbeda dari persamaan

Anda boleh menambahkan atau mengurangkan bilangan apa pun pada kedua ruas, serta mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif; persis seperti pada persamaan. Namun jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif, arah tanda pertidaksamaan berbalik.

Untuk melihat alasannya, ambil pertidaksamaan yang benar $-2 < 3$ lalu kalikan kedua ruas dengan $-1$. Diperoleh $2$ dan $-3$, dan $2 > -3$. Mengalikan dengan bilangan negatif mencerminkan garis bilangan; karena itu ruas yang lebih besar ikut bertukar. Hal yang sama terjadi jika kedua ruas pertidaksamaan ditukar: $5 > x$ berarti sama dengan $x < 5$.

Pertidaksamaan linear

Menguji satu nilai di setiap sisi titik batas hanya butuh sepuluh detik dan pasti menangkap pembalikan arah tanda yang terlupa.

Pertidaksamaan ganda: "dan" serta "atau"

Pertidaksamaan ganda seperti $-3 \le 2x + 1 < 9$ berarti kedua syarat berlaku sekaligus. Pertidaksamaan ini diselesaikan dengan menerapkan operasi yang sama pada ketiga bagiannya sekaligus.

Penyelesaiannya adalah $[-2, 4)$, yaitu irisan kedua syarat. Syarat yang memuat "atau", seperti $x < -1$ atau $x \ge 3$, adalah gabungan dua bagian dan ditulis sebagai $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$.

Pertidaksamaan nilai mutlak

Nilai mutlak $|A|$ adalah jarak $A$ ke nol. Jarak yang kurang dari $k$ berarti dekat dengan nol dan menghasilkan satu interval; jarak yang lebih dari $k$ berarti jauh dan menghasilkan dua bagian. Untuk $k > 0$:

Jika $k$ negatif, $|A| < k$ tidak memiliki penyelesaian, sedangkan $|A| > k$ benar untuk semua bilangan real, karena nilai mutlak tidak pernah negatif.

Pertidaksamaan kuadrat dan tabel tanda

Jangan mencoba menarik akar kuadrat pada pertidaksamaan. Sebagai gantinya, kumpulkan semua suku di satu ruas, cari tempat bentuk itu bernilai nol, lalu periksa tandanya di antara titik-titik tersebut.

Pada grafik, $y = x^2 - x - 6$ adalah parabola yang terbuka ke atas dan berada di atas sumbu x di luar akar-akarnya; ini sesuai dengan tabel tanda. Jika akar-akarnya sulit dicari dengan pemfaktoran, kalkulator persamaan kuadrat akan menemukannya.

Pertidaksamaan rasional

Jika variabel berada di penyebut, jangan pernah mengalikan kedua ruas dengan penyebut itu: Anda tidak tahu apakah penyebutnya positif atau negatif. Gunakan tabel tanda yang memuat titik nol pembilang dan penyebut.

Pertidaksamaan dua variabel

Pertidaksamaan seperti $y > 2x + 1$ menyatakan sebuah daerah pada bidang. Gambar garis batas $y = 2x + 1$ dengan garis putus-putus untuk pertidaksamaan tegas, atau garis penuh untuk $\le$ maupun $\ge$, lalu arsir setengah bidang yang memenuhi pertidaksamaan. Uji tercepat memakai titik asal: karena $0 > 1$ salah, arsir sisi yang tidak memuat $(0, 0)$. Penggambar grafik dapat menggambar pertidaksamaan seperti ini secara langsung.

Kesalahan yang sering terjadi

• Lupa membalik arah tanda setelah mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif.
• Mengalikan dengan bentuk bervariabel yang tandanya tidak diketahui.
• Menulis $|x - 4| < 3$ hanya sebagai $x - 4 < 3$ sehingga batas bawahnya hilang.
• Memberi kurung siku di samping tak hingga atau memakai kurung yang salah di titik batas.
• Memasukkan nilai yang membuat penyebut nol ke dalam penyelesaian.

Kalkulator pertidaksamaan menampilkan setiap langkah dan notasi intervalnya. Langkah-langkah menyelesaikan persamaan yang terus diperlukan di sini dijelaskan dalam artikel cara menyelesaikan persamaan linear.

Soal penerapan dengan pertidaksamaan

Pertidaksamaan muncul ketika suatu situasi memiliki batas, batas bawah, atau anggaran. Ungkapan seperti "paling sedikit", "paling banyak", "tidak lebih dari", dan "lebih dari" menunjukkan tanda yang tepat: "paling sedikit" berarti $\ge$, "paling banyak" dan "tidak lebih dari" berarti $\le$, sedangkan "lebih dari" atau "melebihi" berarti $>$.

Syarat dalam soal menambahkan batasan yang tidak diberikan oleh aljabar saja. Soal nyata sering memerlukan syarat $t \ge 0$ atau syarat bilangan bulat; karena itu, selalu tanyakan pada diri sendiri nilai mana yang masuk akal sebelum menuliskan interval akhir.

Memeriksa jawaban yang ditulis sebagai interval

Penyelesaian pertidaksamaan memiliki tiga komponen tempat kesalahan dapat menyusup: nilai-nilai batas, apakah setiap titik batas termasuk, dan di sisi mana titik batas penyelesaian itu berada. Periksa ketiganya menurut urutan ini. Substitusikan setiap titik batas ke pertidaksamaan asal dan lihat apakah terjadi kesamaan; ini menunjukkan apakah titik itu termasuk dalam penyelesaian. Kemudian uji satu nilai dari setiap interval penyelesaian Anda dan satu nilai dari luarnya.

Pada contoh pecahan, $x = 1$ menghasilkan $\frac{0}{3} = 0$, dan $0 \le 0$ benar; jadi 1 termasuk dalam penyelesaian. Di $x = -2$ bentuk itu tidak terdefinisi; karena itu $-2$ tetap dikecualikan meskipun pertidaksamaannya memperbolehkan kesamaan. Kedua pemeriksaan ini memastikan kurung pada $(-2, 1]$.

Pertanyaan yang sering diajukan