Menyelesaikan Persamaan Linear Langkah demi Langkah

Apa itu persamaan linear?

Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang dapat diubah ke bentuk $ax + b = 0$ dengan $a$ dan $b$ bilangan serta $a \neq 0$. Variabelnya hanya muncul berpangkat satu: tidak ada $x^2$, tidak ada $\sqrt{x}$, dan tidak ada $x$ di penyebut. Karena grafik $y = ax + b$ berupa garis lurus, persamaan ini memiliki tepat satu penyelesaian: $x = -\frac{b}{a}$, yaitu titik tempat garis itu memotong sumbu x.

Persamaan $3x + 7 = 22$, $5(x - 2) = 3x + 4$, dan $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ semuanya linear, meskipun belum terlihat seperti $ax + b = 0$. Tugas kita adalah menulis ulang persamaan itu dengan transformasi yang sah setiap kali, sampai variabelnya tinggal sendirian.

Model timbangan di balik setiap langkah

Bayangkan persamaan sebagai timbangan yang seimbang. Anda boleh melakukan apa saja pada satu lengan selama Anda melakukan hal yang persis sama pada lengan lainnya, karena dua besaran yang sama tetap sama jika diubah dengan cara yang sama. Anda memerlukan empat transformasi:

• menambahkan bilangan atau bentuk yang sama ke kedua ruas;
• mengurangkan bilangan atau bentuk yang sama dari kedua ruas;
• mengalikan kedua ruas dengan bilangan tak nol yang sama;
• membagi kedua ruas dengan bilangan tak nol yang sama.

Mengalikan dengan nol atau membagi dengan nol adalah satu-satunya hal yang dilarang: mengalikan dengan nol mengubah setiap persamaan menjadi $0 = 0$ dan menghapus informasinya, sedangkan pembagian dengan nol tidak terdefinisi.

Metode lima langkah

1. Jabarkan kurung dengan sifat distributif: $5(x - 2)$ menjadi $5x - 10$.
2. Hilangkan pecahan atau desimal dengan mengalikan kedua ruas dengan KPK penyebut-penyebutnya atau dengan pangkat dari 10.
3. Gabungkan suku-suku sejenis di masing-masing ruas.
4. Dengan penjumlahan atau pengurangan, kumpulkan suku yang memuat x di satu ruas dan bilangan di ruas lainnya.
5. Bagi dengan koefisien variabel, lalu substitusikan penyelesaian ke persamaan asal untuk memeriksanya.

Tidak setiap persamaan memerlukan semua langkah. Metode ini hanya menetapkan urutan yang membantu menghindari kekeliruan paling umum, misalnya membagi sebelum suku-suku sejenis digabungkan.

Contoh terselesaikan dari yang mudah ke yang sulit

Perhatikan urutannya. Saat bentuk $3x + 7$ disusun, tujuh ditambahkan paling akhir, jadi tujuh pula yang dihilangkan lebih dulu. Menyelesaikan persamaan berarti melakukan operasi dalam urutan terbalik.

Jika Anda lebih nyaman dengan koefisien positif, kumpulkan suku yang memuat x di ruas yang koefisiennya memang lebih besar. Pada contoh 3, menambahkan $4x$ ke kedua ruas menghasilkan $9 = 6x - 15$, lalu $24 = 6x$, dan $x = 4$; tanpa pernah membagi dengan bilangan negatif.

Persamaan dengan pecahan dan desimal

Kesalahan paling banyak terjadi pada pecahan, jadi hilangkan pecahan sejak awal. Kalikan setiap suku di kedua ruas dengan KPK penyebut-penyebutnya. Setiap suku benar-benar berarti setiap suku, termasuk bilangan bulat yang tidak memiliki penyebut yang terlihat.

Desimal ditangani dengan cara yang sama menggunakan pangkat dari sepuluh. Pilih pangkat yang menghilangkan desimal dengan angka di belakang koma terbanyak.

Persamaan yang penuh pecahan dapat Anda periksa dengan kalkulator pecahan, atau bandingkan setiap langkah dengan penyelesai persamaan.

Tidak ada penyelesaian atau tak hingga banyaknya penyelesaian

Kadang-kadang variabelnya hilang sama sekali selama penyelesaian. Apa yang tersisa menunjukkan kasus khusus mana yang sedang terjadi.

Kesamaan yang benar seperti $6 = 6$ berarti kedua ruas adalah bentuk yang sama: setiap bilangan real adalah penyelesaian. Persamaan seperti ini disebut identitas.

Kesamaan yang salah seperti $6 = 5$ berarti tidak ada nilai $x$ yang membuat kedua ruas sama: persamaan itu tidak memiliki penyelesaian. Pada grafik, kedua ruas adalah garis sejajar dengan kemiringan sama tetapi titik potong sumbu y yang berbeda; karena itu keduanya tidak pernah berpotongan.

Menyatakan satu variabel dari sebuah rumus

Model timbangan yang sama juga membantu menyatakan satu variabel dari sebuah rumus, yaitu menyelesaikan persamaan banyak variabel terhadap salah satunya. Perlakukan setiap huruf selain yang dicari seperti bilangan.

Mengubah persamaan ke bentuk ini adalah langkah pertama untuk menggambar grafiknya; grafik itu dapat Anda pelajari dengan kalkulator kemiringan garis.

Menyusun persamaan dari soal cerita

Ketika suatu besaran berubah dengan laju tetap, soal sehari-hari mengarah ke persamaan linear. Beri nama pada variabelnya, terjemahkan setiap kalimat menjadi sebuah bentuk aljabar, lalu samakan dua uraian tentang besaran yang sama.

Anda dapat terus berlatih menerjemahkan kalimat menjadi persamaan dengan penyelesai soal cerita.

Kesalahan yang sering terjadi dan cara menghindarinya

• Hanya mengalikan suku pertama: $3(x + 4)$ sama dengan $3x + 12$, bukan $3x + 4$.
• Kehilangan tanda minus: $-(x - 5)$ sama dengan $-x + 5$. Kalikan tanda minus dengan setiap suku di dalam kurung.
• Hanya mengalikan pecahan dengan penyebut bersama dan melupakan suku-suku bilangan bulat.
• Memindahkan suku ke ruas lain tanpa mengubah tandanya. Ungkapan "memindahkan suku ke ruas seberang" hanyalah singkatan dari mengurangkannya dari kedua ruas.
• Berhenti pada $-x = 3$. Bagi dengan $-1$ untuk memperoleh $x = -3$.
• Melewatkan pemeriksaan. Jika Anda mensubstitusikan ke persamaan asal, bukan ke baris perantara, Anda akan menemukan kesalahan di langkah mana pun.

Apa selanjutnya?

Setelah menguasai persamaan linear, keterampilan yang sama langsung terpakai pada pertidaksamaan linear, yang hanya menambahkan satu aturan, dan pada sistem persamaan, tempat dua persamaan linear berbagi dua variabel. Jika persamaannya memuat $x^2$, baca panduan cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Untuk berlatih, masukkan salah satu contoh di atas ke kalkulator mencari nilai x dan bandingkan langkah-langkahnya dengan langkah Anda.

Pertanyaan yang sering diajukan