Menyelesaikan Sistem Persamaan: Metode Grafik, Substitusi, dan Eliminasi

Apa artinya menyelesaikan sebuah sistem?

Sistem persamaan linear terdiri atas dua atau lebih persamaan linear yang memuat variabel yang sama. Penyelesaiannya adalah himpunan nilai variabel yang memenuhi semua persamaan sekaligus; misalnya $x = 2$ dan $y = 3$. Memenuhi satu persamaan saja tidak cukup.

Dalam sistem dua variabel, setiap persamaan menyatakan sebuah garis pada bidang; penyelesaiannya adalah titik yang terletak pada kedua garis. Gambaran ini menjelaskan tiga kemungkinan hasil:

• Garis-garisnya berpotongan sekali: tepat ada satu penyelesaian.
• Garis-garisnya sejajar: tidak ada penyelesaian. Sistem seperti ini disebut tidak konsisten.
• Garis-garisnya berimpit: ada tak hingga banyaknya penyelesaian. Sistemnya konsisten tetapi bergantung.

Metode 1: metode grafik

Ubah setiap persamaan ke bentuk $y = mx + b$, gambar kedua garis, lalu cari titik potongnya. Metode grafik paling baik memperlihatkan makna sebuah sistem, dan langsung terlihat apakah garis-garisnya sejajar atau berimpit. Namun metode ini tidak eksak: titik potong di $x = \frac{7}{3}$ sulit dibaca dari sketsa. Gunakan untuk memperkirakan, lalu pastikan hasilnya dengan perhitungan. Anda dapat menggambar kedua garis sekaligus di penggambar grafik.

Metode 2: substitusi

Nyatakan satu variabel dari salah satu persamaan, substitusikan bentuk itu ke persamaan lainnya, lalu selesaikan persamaan satu variabel yang dihasilkan. Jika koefisien suatu variabel sudah 1 atau $-1$, substitusi adalah pilihan yang wajar.

Selalu beri kurung pada bentuk yang disubstitusikan. Menulis $3x + 2x - 1$ kebetulan berhasil di sini, tetapi saat mensubstitusikan $y = 2x - 1$ ke $3x - y = 9$ Anda memerlukan $3x - (2x - 1)$, dan kurung itu mengubah tanda $-1$.

Metode 3: eliminasi

Jumlahkan atau kurangkan kelipatan persamaan-persamaan sehingga satu variabel hilang. Jika kedua persamaan ditulis dalam bentuk $ax + by = c$, eliminasi biasanya paling cepat.

Jika tidak ada koefisien yang cocok, kalikan dulu salah satu atau kedua persamaan agar cocok.

Mengenali sistem tanpa penyelesaian atau dengan tak hingga banyaknya penyelesaian

Jika kedua variabel hilang selama eliminasi, perhatikan apa yang tersisa.

• $x + y = 4$ dan $2x + 2y = 10$. Menggandakan persamaan pertama menghasilkan $2x + 2y = 8$; setelah pengurangan tersisa $0 = 2$, yang salah. Garis-garisnya sejajar: tidak ada penyelesaian.
• $x + y = 4$ dan $3x + 3y = 12$. Mengalikan persamaan pertama dengan tiga menghasilkan tepat persamaan kedua; setelah pengurangan tersisa $0 = 0$. Semua titik pada garis $x + y = 4$ adalah penyelesaian.

Hal ini dapat dilihat dari koefisiennya sebelum mulai menghitung: jika $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, kemiringan garis-garisnya sama dan sistem itu tidak memiliki penyelesaian atau memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian.

Aturan Cramer dengan determinan

Pada sistem dua persamaan dengan dua variabel, determinan memberikan setiap variabel secara langsung:

Untuk $2x + 3y = 12$ dan $5x - 3y = 9$: $D = 2(-3) - 3(5) = -21$, $D_x = 12(-3) - 3(9) = -63$, dan $D_y = 2(9) - 12(5) = -42$. Dari sini diperoleh $x = 3$ dan $y = 2$, sama seperti pada metode eliminasi. Jika $D = 0$, aturan ini tidak dapat diterapkan; itulah tepatnya kasus garis sejajar atau berimpit. Panduan determinan menjelaskan cara menghitungnya untuk sistem yang lebih besar.

Tiga persamaan dengan tiga variabel

Strateginya sama: eliminasi variabel yang sama dari dua pasangan persamaan yang berbeda untuk memperoleh sistem dua persamaan dengan dua variabel, selesaikan sistem itu, lalu lakukan substitusi balik.

Sistem yang lebih besar biasanya diselesaikan dengan matriks dan eliminasi Gauss; kalkulator matriks menampilkan tepat jalur penyelesaian tersebut.

Soal penerapan

Dua variabel memerlukan dua syarat yang saling bebas. Jika soal hanya memberikan satu syarat, soal itu tidak mungkin memiliki satu jawaban tunggal.

Memilih metode dan menghindari kesalahan

• Gunakan substitusi jika suatu variabel sudah dinyatakan atau koefisiennya 1.
• Gunakan eliminasi jika persamaan ditulis dalam bentuk umum, terutama bila koefisiennya sudah sama atau berlawanan.
• Gunakan aturan Cramer pada sistem dua persamaan dua variabel jika Anda ingin cepat sampai ke jawaban atau memperoleh rumus untuk setiap variabel.
• Selalu periksa hasilnya pada kedua persamaan asal, karena kesalahan hitung dapat menghasilkan titik yang hanya memenuhi salah satunya.

Bandingkan perhitungan Anda dengan kalkulator sistem persamaan, yang menampilkan setiap langkah metode eliminasi atau substitusi. Untuk mengulang langkah-langkah menyelesaikan satu persamaan, yang muncul di setiap metode, baca cara menyelesaikan persamaan linear.

Metode mana yang sebaiknya dipilih?

Semua metode menghasilkan penyelesaian yang sama, jadi pilihlah yang perhitungannya paling mudah. Jika variabel sudah dinyatakan dalam salah satu persamaan, seperti pada $y = 2x - 1$, atau koefisien variabelnya 1 atau $-1$, substitusi adalah pilihan ideal. Jika kedua persamaan ditulis dalam bentuk $ax + by = c$ dan belum ada variabel yang dinyatakan, eliminasi biasanya lebih cepat, karena pecahan baru muncul di akhir.

Metode grafik berguna untuk visualisasi: dua garis yang berpotongan, dua garis sejajar, atau garis yang sama yang digambar dua kali. Jika koordinat titik potongnya bukan bilangan bulat, metode ini kurang dapat diandalkan untuk nilai eksak. Aturan Cramer dan metode matriks cocok untuk sistem dengan tiga variabel atau lebih; kalkulator dan perangkat lunak pun menggunakan metode inilah di balik layar.

Pada sistem nonlinear, misalnya garis dan parabola, substitusi hampir selalu menjadi pilihan yang tepat. Dari $y = x^2$ dan $y = x + 2$ diperoleh $x^2 = x + 2$, yaitu $x^2 - x - 2 = 0$ dan $(x - 2)(x + 1) = 0$. Titik potongnya adalah $(2, 4)$ dan $(-1, 1)$, dan keduanya memenuhi setiap persamaan.

Memeriksa penyelesaian

Penyelesaian sebuah sistem harus memenuhi semua persamaan, bukan hanya persamaan yang terakhir dipakai. Substitusikan nilai-nilai Anda ke setiap persamaan asal. Pada contoh kedua metode eliminasi, $(2, 5)$ menghasilkan $3(2) + 2(5) = 16$ dan $4(2) - 5(5) = -17$: kedua persamaan terpenuhi. Nilai yang memenuhi satu persamaan tetapi tidak memenuhi yang lain menandakan adanya kesalahan selama eliminasi.

Dalam ujian, tuliskan pemeriksaan Anda. Waktunya kurang dari satu menit, dan jawaban yang sudah diperiksa sering kali mendapat nilai tambah dalam penilaian.

Kalkulator sistem persamaan menyelesaikan sistem dua dan tiga variabel serta menampilkan setiap langkah; ini berguna untuk membandingkan dengan penyelesaian Anda sendiri.

Pertanyaan yang sering diajukan