Pengantar Matriks: Panduan untuk Pemula

Apa itu matriks?

Matriks adalah tabel persegi panjang yang berisi bilangan-bilangan, disebut elemen atau entri, yang disusun dalam baris dan kolom. Matriks dengan $m$ baris dan $n$ kolom disebut matriks berordo $m \times n$ (dibaca «m kali n»), dan banyaknya baris selalu disebut lebih dulu. Elemen pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ matriks $A$ dilambangkan $a_{ij}$. Contohnya:

Matriks dengan satu kolom disebut vektor kolom, dan matriks dengan satu baris disebut vektor baris. Matriks persegi memiliki banyak baris yang sama dengan banyak kolom; hanya matriks persegi yang dapat memiliki determinan dan invers. Dua matriks sama hanya jika ordonya sama dan semua elemen yang bersesuaian sama.

Penjumlahan matriks dan perkalian dengan skalar

Matriks yang berordo sama dijumlahkan elemen demi elemen: elemen pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ dari $A + B$ adalah $a_{ij} + b_{ij}$. Pengurangan dilakukan dengan cara yang sama. Matriks yang berordo berbeda tidak dapat dijumlahkan, karena tidak ada cara yang bermakna untuk memasangkan elemen-elemennya.

Jika sebuah matriks dikalikan dengan skalar, yaitu bilangan biasa, setiap elemennya dikalikan dengan bilangan itu. Operasi-operasi ini berperilaku persis seperti aritmetika biasa: penjumlahan bersifat komutatif dan asosiatif, dan juga $k(A + B) = kA + kB$.

Perkalian matriks: baris kali kolom

Dua matriks tidak dikalikan elemen demi elemen. Setiap elemen hasil kali $AB$ adalah hasil kali titik antara satu baris $A$ dan satu kolom $B$:

Untuk itu, banyak kolom $A$ harus sama dengan banyak baris $B$. Jika $A$ berordo $m \times n$ dan $B$ berordo $n \times p$, hasil kalinya berordo $m \times p$. Untuk pemeriksaan cepat, tulis ordo keduanya berdampingan: bilangan di bagian dalam harus sama, sedangkan bilangan di bagian luar memberikan ordo hasilnya. Matriks $2 \times 3$ dikali matriks $3 \times 4$ menghasilkan matriks $2 \times 4$; sedangkan hasil kali matriks $2 \times 3$ dengan matriks $2 \times 3$ lainnya tidak terdefinisi.

Urutan itu penting: AB jarang sama dengan BA

Jika urutan pada contoh sebelumnya ditukar, diperoleh $BA = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$: matriks yang berbeda. Perkalian matriks tidak bersifat komutatif. Pada matriks yang tidak persegi, keadaannya lebih buruk lagi: salah satu hasil kali bisa terdefinisi sementara yang lain tidak, atau kedua hasil kali bisa berbeda ordonya.

Aturan-aturan lain yang biasa tetap berlaku. Perkalian bersifat asosiatif, $(AB)C = A(BC)$, dan distributif terhadap penjumlahan, $A(B + C) = AB + AC$. Namun ada dua peringatan yang perlu diingat. Hasil kali dua matriks yang bukan nol bisa berupa matriks nol, dan jika $A$ tidak memiliki invers, $A$ tidak dapat dicoret dari kesamaan $AB = AC$. Karena itu berhitung dengan matriks menuntut kehati-hatian yang sedikit lebih besar daripada berhitung dengan bilangan.

Saat menjabarkan ekspresi seperti $(A + B)^2$, perhatikan urutannya: hasilnya bukan $A^2 + 2AB + B^2$, melainkan $A^2 + AB + BA + B^2$.

Matriks identitas dan matriks transpos

Matriks identitas $I$ adalah matriks persegi yang diagonal utamanya berisi angka satu dan semua tempat lainnya berisi nol. Matriks ini berperan seperti bilangan 1 dalam aritmetika: untuk setiap matriks persegi $A$ dengan ordo yang sesuai, $AI = IA = A$. Matriks nol, yang semua elemennya nol, berperan seperti 0.

Matriks transpos $A^T$ menukar baris dengan kolom: elemen pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ dari $A^T$ adalah $a_{ji}$. Matriks $2 \times 3$ berubah menjadi matriks $3 \times 2$. Aturan yang berguna: saat mentranspos suatu hasil kali, urutan faktor-faktornya terbalik.

Matriks yang sama dengan transposnya disebut matriks simetris. Matriks simetris terus-menerus muncul dalam statistika dan fisika, dan nilai eigen-nya berperilaku sangat baik: selalu real.

Matriks dan sistem persamaan

Salah satu penerapan matriks yang terpenting adalah menuliskan sistem persamaan linear secara ringkas. Sistem $2x + y = 5$ dan $x - 3y = -1$ menjadi:

Jika ruas kirinya dikalikan, kedua persamaan muncul kembali: pemeriksaan yang baik bahwa matriksnya disusun dengan benar. Penyelesaiannya: $x = 2$, $y = 1$. Dalam bentuk ini, metode yang sama, yaitu eliminasi Gauss atau invers matriks, dapat menyelesaikan dua persamaan maupun dua ribu persamaan. Panduan menyelesaikan sistem persamaan kami menjelaskan cara menerapkan metode-metode itu dengan tangan, sedangkan kalkulator sistem persamaan menyelesaikannya langkah demi langkah.

Mengapa matriks diperlukan?

• Grafika komputer: rotasi, penskalaan, dan proyeksi model 3D adalah perkalian matriks yang diterapkan pada setiap titik sudut.
• Analisis data: sebuah himpunan data adalah matriks dengan satu baris untuk setiap pengamatan dan satu kolom untuk setiap atribut; metode seperti analisis komponen utama bekerja langsung dengannya.
• Jaringan: matriks ketetanggaan menunjukkan simpul mana yang terhubung, dan pangkat-pangkatnya menghitung lintasan dengan panjang tertentu.
• Ekonomi dan teknik: model input-output dan perhitungan rangkaian listrik menghasilkan sistem persamaan linear yang besar.
• Pembelajaran mesin: lapisan-lapisan jaringan saraf pada dasarnya adalah perkalian matriks.

Kalkulator matriks menjumlahkan, mengalikan, dan mentranspos matriks dengan ordo yang sesuai; karena menampilkan setiap perhitungan «baris kali kolom», kalkulator ini praktis untuk memeriksa pekerjaan rumah.

Pangkat dan matriks diagonal

Matriks persegi dapat dikalikan dengan dirinya sendiri; karena itu pangkat seperti $A^2 = AA$ dan $A^3 = AAA$ bermakna. Matriks yang tidak persegi tidak memiliki pangkat, karena ordonya tidak cocok. Pangkat matriks muncul setiap kali suatu proses berulang: jika sebuah matriks menggambarkan perpindahan penduduk antarwilayah dalam setahun, pangkat kesepuluhnya menggambarkan perpindahan dalam sepuluh tahun.

Matriks diagonal, yang elemen bukan nolnya hanya terdapat pada diagonal utama, sangat praktis. Hasil kali dua matriks diagonal diperoleh dengan mengalikan elemen-elemen diagonalnya; jadi memangkatkan matriks diagonal berarti memangkatkan setiap elemen diagonalnya. Misalnya, kuadrat matriks diagonal dengan elemen 2 dan 3 adalah matriks diagonal dengan elemen 4 dan 9. Sebagian penting aljabar linear lanjut dicurahkan untuk mengubah matriks ke bentuk diagonal agar perhitungan semacam ini menjadi mudah.

Kesalahan umum seputar matriks

• Menukar baris dan kolom saat menyebutkan ordo. Baris selalu disebut lebih dulu.
• Mengalikan elemen demi elemen alih-alih «baris kali kolom».
• Menganggap $AB = BA$ atau menukar urutan faktor saat menyederhanakan ekspresi.
• Mencoba menjumlahkan matriks berordo berbeda atau mengalikan matriks yang ordo dalamnya tidak cocok.
• Lupa bahwa urutan faktor terbalik saat mentranspos suatu hasil kali.

Melirik ordo sebentar sebelum setiap perhitungan mencegah sebagian besar kesalahan ini. Tulis ordo di bawah setiap matriks, periksa apakah operasinya terdefinisi, dan perkirakan ordo hasilnya sebelum menghitung satu elemen pun.

Pertanyaan yang sering diajukan