Penjelasan Hasil Kali Titik (Hasil Kali Skalar) Vektor

Rumus dengan komponen

Hasil kali titik mengambil dua vektor yang banyak komponennya sama dan menghasilkan satu bilangan, bukan vektor. Untuk menghitungnya, kalikan komponen-komponen yang bersesuaian lalu jumlahkan hasilnya:

Rumus ini berlaku dalam dimensi berapa pun; karena itu hasil kali titik sangat lazim dalam analisis data, tempat vektor bisa memiliki ribuan komponen. Hasil kali titik juga merupakan bahan dasar perkalian matriks: setiap elemen hasil kali matriks adalah hasil kali titik antara satu baris dan satu kolom.

Rumus geometris dan sudut antara vektor

Hasil kali titik memiliki definisi kedua yang bersifat geometris. Jika $\theta$ adalah sudut antara dua vektor yang digambar dari titik yang sama:

Di sini $|\mathbf{a}|$ adalah panjang atau besar vektor $\mathbf{a}$. Kedua rumus selalu memberikan hasil yang sama; hal ini mengikuti dari aturan kosinus yang diterapkan pada segitiga bersisi $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, dan $\mathbf{a} - \mathbf{b}$. Dengan menggabungkan keduanya, kita memperoleh cara praktis untuk mencari sudut antara dua vektor mana pun:

Apa yang ditunjukkan tandanya?

Karena panjang selalu positif, hasil kali titik bertanda sama dengan $\cos\theta$. Dengan begitu Anda dapat menaksir sudutnya dengan cepat tanpa menghitungnya:

• Positif: sudutnya lancip, kurang dari 90 derajat, dan kedua vektor kurang lebih searah.
• Nol: kedua vektor tegak lurus, atau ortogonal.
• Negatif: sudutnya tumpul, lebih dari 90 derajat, dan kedua vektor kurang lebih berlawanan arah.

Kasus yang paling berguna adalah kasus nol. Misalnya, $(3, 4) \cdot (4, -3) = 12 - 12 = 0$: jadi kedua vektor ini tegak lurus. Di bidang, jika Anda menukar komponen-komponen suatu vektor lalu mengubah tanda salah satunya, Anda selalu memperoleh vektor yang tegak lurus: cara praktis untuk mencari vektor normal suatu garis.

Besar vektor dan vektor satuan

Hasil kali titik suatu vektor dengan dirinya sendiri sama dengan kuadrat besarnya, karena sudutnya nol dan $\cos 0 = 1$:

Jadi besar $(2, -1, 3)$ adalah $\sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742$. Dengan membagi vektor dengan besarnya, kita memperoleh vektor satuan yang searah dan panjangnya 1. Vektor satuan praktis, karena hasil kali titik dua vektor satuan langsung sama dengan kosinus sudut di antara keduanya.

Proyeksi satu vektor pada vektor lain

Proyeksi ortogonal $\mathbf{a}$ pada $\mathbf{b}$ adalah bayangan yang dijatuhkan $\mathbf{a}$ pada garis vektor $\mathbf{b}$ ketika cahaya jatuh tegak lurus pada garis itu. Hasil kali titik memberikannya secara langsung:

Di sini bilangan $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$, yang kira-kira 4,427, adalah proyeksi skalar $\mathbf{a}$ pada $\mathbf{b}$, yaitu panjang bertanda bayangannya. Proyeksi menguraikan vektor menjadi komponen sepanjang suatu arah dan komponen yang tegak lurus arah itu; langkah ini muncul di mana-mana, dari fisika sampai metode kuadrat terkecil dalam statistika.

Usaha yang dilakukan suatu gaya

Dalam fisika, usaha hanya dilakukan oleh bagian gaya yang bekerja searah gerak. Karena itu usaha gaya tetap $\mathbf{F}$ sepanjang perpindahan $\mathbf{d}$ adalah hasil kali titik: $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$.

Sifat dan penerapan

• Komutatif: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$.
• Distributif: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$.
• Faktor skalar dapat dikeluarkan: $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$.
• Ketaksamaan Cauchy-Schwarz: $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|$; ketaksamaan ini menjamin rumus kosinus selalu menghasilkan nilai antara $-1$ dan 1.

Di luar geometri, hasil kali titik menjadi dasar dari: kemiripan kosinus, yang dipakai sistem pencarian dan rekomendasi untuk mengukur seberapa mirip dua dokumen atau dua pengguna; pencahayaan dalam grafika 3D, tempat kecerahan bergantung pada hasil kali titik normal permukaan dengan arah cahaya; dan jaringan saraf, yang neuronnya menghitung hasil kali titik masukan dengan bobot. Kalkulator hasil kali titik menghitung hasil kali, sudut, dan proyeksi langkah demi langkah; sedangkan kalkulator hasil kali silang menangani cara lain mengalikan vektor yang dijelaskan dalam panduan hasil kali silang kami.

Soal geometri klasik

Hasil kali titik menyelesaikan sejumlah soal geometri dengan kecepatan yang mengejutkan. Berapa sudut antara diagonal ruang sebuah kubus dan salah satu rusuknya? Letakkan kubus sehingga salah satu titik sudutnya berada di titik asal dan rusuk-rusuknya, yang panjangnya 1, terbentang di sepanjang sumbu. Diagonalnya terbentang dari titik asal ke $(1, 1, 1)$, sedangkan rusuknya ke $(1, 0, 0)$.

Hasil kali titiknya 1, panjang diagonalnya $\sqrt{3}$, dan panjang rusuknya 1; jadi $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ dan $\theta \approx 54.7^\circ$. Dalam geometri klasik kita harus membangun segitiga siku-siku di dalam kubus dan bernalar dengan cermat tentang sisi-sisinya; dengan vektor, tiga baris sudah cukup. Sudut antara dua garis, bidang, atau ikatan kimia mana pun dapat dicari dengan penalaran yang sama, selama arahnya dapat dinyatakan dengan vektor.

Kesalahan khas

• Menuliskan hasilnya sebagai vektor seperti $(8, 0, -6)$, bukan sebagai jumlah 2.
• Lupa mengambil akar kuadrat saat menghitung besar vektor untuk rumus sudut.
• Pada rumus proyeksi ortogonal, membagi dengan $|\mathbf{b}|$ alih-alih $|\mathbf{b}|^2$.
• Mencampuradukkan derajat dan radian pada kalkulator saat menghitung $\cos\theta$ atau fungsi inversnya.
• Menyimpulkan bahwa dua vektor tegak lurus padahal salah satunya sebenarnya vektor nol.

Tanda adalah pemeriksaan kewajaran yang baik. Jika pada gambar Anda kedua vektor jelas mengarah ke arah yang mirip, hasil kali titiknya harus positif; jika perhitungan menghasilkan bilangan negatif, carilah kesalahan tanda pada salah satu komponen.

Latihan

Kerjakan soal-soal ini, lalu bandingkan dengan pembahasan berikut. Pertama, hitung $(1, 3, -2) \cdot (4, -1, 5)$; hasil kalinya 4, $-3$, dan $-10$, jadi hasilnya $-9$, dan nilai negatif itu menunjukkan bahwa sudutnya tumpul. Kemudian cari $k$ yang membuat $(2, k)$ tegak lurus $(3, -6)$: dari $6 - 6k = 0$ diperoleh $k = 1$. Terakhir, cari sudut antara $(1, 0)$ dan $(1, 1)$: hasil kali titiknya 1, besarnya 1 dan $\sqrt{2}$; jadi sudutnya 45 derajat, dan sketsa singkat memastikannya.

Sedikit sejarah

Notasi vektor lebih muda daripada hampir seluruh matematika sekolah. Pada tahun 1840-an William Rowan Hamilton menemukan kuaternion, bilangan dengan satu bagian real dan tiga bagian imajiner; hasil kali dua kuaternion murni memuat bagian skalar sekaligus bagian vektor. Pada tahun 1880-an Josiah Willard Gibbs dan Oliver Heaviside memisahkan kedua bagian itu menjadi hasil kali skalar dan hasil kali vektor, dan memberi para fisikawan aljabar vektor yang lebih sederhana yang masih diajarkan hingga kini. Gibbs memilih titik sebagai lambang operasi itu; itulah sebabnya dalam banyak bahasa, termasuk bahasa Indonesia, hasil kali ini disebut «hasil kali titik».

Pertanyaan yang sering diajukan