Penjelasan Hasil Kali Silang Dua Vektor

Apa yang dihasilkan hasil kali silang?

Hasil kali titik mengubah dua vektor menjadi sebuah bilangan. Sebaliknya, hasil kali silang mengubah dua vektor menjadi vektor ketiga. Hasil kali ini hanya didefinisikan dalam ruang tiga dimensi, dan hasilnya memiliki dua sifat pokok. Arahnya tegak lurus terhadap kedua vektor semula, sedangkan besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh keduanya:

Di sini $\theta$ adalah sudut antara kedua vektor, yang nilainya antara 0 dan 180 derajat. Karena sinus 0 dan 180 derajat sama dengan nol, hasil kali silang dua vektor sejajar selalu berupa vektor nol; sedangkan vektor-vektor yang tegak lurus memberikan besar terbesar yang mungkin untuk panjang-panjang tersebut.

Rumus dengan komponen

Untuk $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ dan $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$, komponen-komponennya adalah sebagai berikut:

Rumus ini sulit dihafal; karena itu kebanyakan orang memakai determinan simbolis. Tuliskan vektor-vektor satuan $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, dan $\mathbf{k}$ pada baris pertama, komponen-komponen $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ di bawahnya, lalu ekspansikan menurut baris pertama:

Selalu akhiri dengan dua pemeriksaan hasil kali titik. Pemeriksaan ini hanya makan beberapa detik dan menangkap hampir setiap kesalahan tanda, terutama pada komponen tengah.

Kaidah tangan kanan dan urutan faktor

Ada dua arah berlawanan yang tegak lurus terhadap kedua vektor, dan kaidah tangan kanan memilih salah satunya. Luruskan jari-jari tangan kanan Anda sepanjang $\mathbf{a}$, lalu tekuk ke arah $\mathbf{b}$; ibu jari Anda menunjukkan arah $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$. Untuk vektor-vektor satuan basis baku kita peroleh $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$, $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$, dan $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$.

Jika urutannya ditukar, ibu jari menunjuk ke arah sebaliknya: hasil kali silang bersifat antikomutatif:

Hasil kali ini juga tidak asosiatif: $(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) \times \mathbf{j} = \mathbf{0}$, sedangkan $\mathbf{i} \times (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) = \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$. Sebaliknya, hasil kali silang bersifat distributif terhadap penjumlahan, dan faktor skalar dapat dikeluarkan: $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$.

Luas jajaran genjang dan segitiga

Karena besar hasil kali silang adalah luas jajaran genjang, hasil kali ini memberikan luas langsung dari komponen-komponennya. Vektor-vektor pada Contoh 1 membentuk jajaran genjang dengan luas $|(-3, 6, -3)| = \sqrt{54} \approx 7.35$; luas segitiga dengan kedua sisi ini adalah setengahnya, kira-kira 3,67.

Vektor normal dan persamaan bidang

Sebuah bidang ditentukan oleh satu titik pada bidang itu dan sebuah vektor normal yang tegak lurus terhadapnya. Hasil kali silang dua vektor pada bidang tegak lurus terhadap keduanya, sehingga tepat merupakan vektor normal seperti itu. Pada Contoh 2, vektor $(6, 3, 2)$ adalah normal bidang yang melalui $P$, $Q$, dan $R$; jadi persamaan bidangnya berbentuk $6x + 3y + 2z = d$. Dengan menyubstitusikan $P(1, 0, 0)$ kita peroleh $d = 6$.

Bidangnya adalah $6x + 3y + 2z = 6$, dan titik $Q$ serta $R$ juga memenuhinya: $3 \cdot 2 = 6$ dan $2 \cdot 3 = 6$. Gagasan yang sama terus-menerus dipakai dalam grafika 3D: vektor normal diperlukan untuk menentukan pencahayaan setiap segitiga suatu model dan untuk menentukan sisi mana yang menghadap kamera.

Momen gaya dan penerapan lain dalam fisika

Momen gaya (torsi), yang mengukur efek putar suatu gaya, adalah hasil kali silang: $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$; di sini $\mathbf{r}$ mengarah dari sumbu putar ke titik tempat gaya bekerja. Besarnya $|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\sin\theta$.

Momentum sudut dan gaya magnet pada muatan yang bergerak juga merupakan hasil kali silang, dan dalam setiap kasus arah hasilnya ditentukan oleh kaidah tangan kanan.

Hasil kali tripel skalar dan volume

Dengan menggabungkan kedua hasil kali, kita memperoleh hasil kali tripel skalar $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$, yang sama dengan determinan $3 \times 3$ dengan baris-baris $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, dan $\mathbf{c}$. Nilai mutlaknya adalah volume paralelepipedum yang dibentuk oleh ketiga vektor. Untuk $(1, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$, dan $(0, 0, 3)$, paralelepipedumnya adalah balok biasa, dan hasil kali tripel skalarnya sama dengan $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Hasil kali tripel skalar yang nol berarti ketiga vektor terletak pada satu bidang.

Kalkulator hasil kali silang menghitung hasil kali silang dengan setiap langkah determinannya, serta mencari luas dan sudut antara vektor. Gunakan bersama kalkulator hasil kali titik untuk memeriksa ketegaklurusan.

Jarak titik ke garis

Tafsiran luas juga menyelesaikan soal jarak yang klasik. Ambil garis yang melalui titik $A$ dengan vektor arah $\mathbf{u}$, dan titik $P$ di luar garis itu. Luas jajaran genjang yang dibentuk oleh $\overrightarrow{AP}$ dan $\mathbf{u}$ adalah $|\overrightarrow{AP} \times \mathbf{u}|$, dan karena panjang alasnya $|\mathbf{u}|$, tingginya, yaitu jarak $P$ ke garis, sama dengan luas dibagi alas.

Misalnya, ambil garis yang melalui titik asal dengan vektor arah $(1, 2, 2)$ dan titik $P(2, 1, 3)$. Besar hasil kali silang $(2, 1, 3) \times (1, 2, 2) = (-4, -1, 3)$ adalah $\sqrt{26}$, sedangkan besar vektor arahnya 3; jadi jaraknya $\frac{\sqrt{26}}{3} \approx 1.70$. Sebagai pemeriksaan, dapat digunakan proyeksi: titik itu berjarak $\sqrt{14}$ dari titik asal, proyeksinya pada garis $\frac{10}{3}$, dan teorema Pythagoras memberikan jarak yang sama.

Kesalahan khas dan latihan

• Lupa tanda minus pada komponen tengah saat mengekspansikan determinan.
• Menukar urutan vektor, yang membalik arah hasilnya.
• Mengambil besar hasil kali silang itu sendiri sebagai luas segitiga, bukan setengahnya.
• Mencoba mencari hasil kali silang vektor-vektor di bidang tanpa terlebih dahulu menambahkan komponen ketiga yang bernilai nol.

Sebagai latihan, buktikan bahwa $(1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)$, yaitu kaidah $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$. Kemudian pastikan bahwa $(1, 2, 3) \times (2, 4, 6)$ adalah vektor nol, karena vektor kedua adalah dua kali vektor pertama. Terakhir, hitung $(1, 1, 0) \times (0, 1, 1)$; hasilnya harus $(1, -1, 1)$, dan kedua pemeriksaan hasil kali titik juga harus menghasilkan nol.

Mengapa rumusnya menghasilkan vektor yang tegak lurus?

Daripada memercayai rumus komponen secara membabi buta, ada gunanya memahami mengapa rumus itu berlaku. Ambil hasil kali titik hasilnya dengan $\mathbf{a}$ sendiri: diperoleh $a_1(a_2b_3 - a_3b_2) + a_2(a_3b_1 - a_1b_3) + a_3(a_1b_2 - a_2b_1)$. Jika tanda kurungnya dijabarkan, setiap suku muncul dua kali dengan tanda berlawanan; karena itu jumlahnya tepat nol. Penghapusan yang sama terjadi dengan $\mathbf{b}$. Dalam bahasa determinan, hasil kali titik dengan $\mathbf{a}$ mengganti baris vektor satuan dengan $\mathbf{a}$; ini menghasilkan determinan yang dua barisnya sama, dan determinan seperti itu selalu nol. Dalam kedua cara, ketegaklurusan sudah tertanam dalam rumusnya sendiri dan tidak bergantung pada kebetulan dalam beberapa contoh khusus.

Pertanyaan yang sering diajukan