Bagaimana Mencari Determinan Suatu Matriks?

Apa yang diukur oleh determinan?

Setiap matriks persegi memiliki determinan, yang dilambangkan $\det(A)$ atau $|A|$. Matriks yang tidak persegi tidak memiliki determinan. Determinan langsung menjawab satu pertanyaan kunci: matriks persegi memiliki invers jika dan hanya jika determinannya bukan nol. Determinan nol berarti matriks itu memampatkan ruang ke dimensi yang lebih rendah; dengan demikian sebagian informasi hilang tanpa dapat dikembalikan.

Secara geometris, nilai mutlak determinan adalah faktor yang menunjukkan berapa kali matriks memperbesar luas dalam kasus dua dimensi, atau volume dalam kasus tiga dimensi. Tandanya menunjukkan apakah transformasi itu mempertahankan orientasi, atau membaliknya seperti cermin yang menukar kanan dan kiri.

Rumus untuk matriks 2 kali 2

Untuk matriks $2 \times 2$, kalikan elemen-elemen diagonal utama lalu kurangi dengan hasil kali elemen-elemen diagonal samping:

Di sini tafsiran luas mudah dilihat. Kolom-kolom $(3, 1)$ dan $(1, 2)$ dari matriks $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ membentuk jajaran genjang dengan luas $|3 \cdot 2 - 1 \cdot 1| = 5$, dan itulah tepatnya determinannya.

Ekspansi Laplace untuk matriks 3 kali 3

Pada matriks yang lebih besar, ekspansi Laplace mereduksi soal menjadi determinan berorde lebih kecil. Pilih satu baris, misalnya baris pertama. Untuk setiap elemennya, hapus baris dan kolom elemen itu untuk memperoleh matriks yang lebih kecil; determinan matriks ini disebut minor, lalu kalikan elemen tersebut dengan minornya. Kemudian gabungkan hasil-hasilnya mengikuti pola tanda papan catur $+, -, +$:

Ekspansi dapat dilakukan menurut baris atau kolom mana pun; hasilnya selalu sama. Pilih yang paling banyak memuat nol: setiap nol menghilangkan satu suku sepenuhnya.

Aturan Sarrus: jalan pintas khusus 3 kali 3

Untuk matriks $3 \times 3$ ada jalan pintas yang mudah diingat. Jumlahkan tiga hasil kali yang menurun ke kanan, yang berlanjut melewati tepi matriks, lalu kurangi dengan tiga hasil kali yang menurun ke kiri. Untuk matriks pada Contoh 2, hasil kali yang menurun adalah $2 \cdot 0 \cdot 5 = 0$, $(-3)(-1)(1) = 3$, dan $1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$; jumlahnya 11. Hasil kali yang naik adalah $1 \cdot 0 \cdot 1 = 0$, $2 \cdot (-1) \cdot 4 = -8$, dan $(-3) \cdot 2 \cdot 5 = -30$; jumlahnya $-38$. Determinannya, sama seperti pada ekspansi Laplace, adalah $11 - (-38) = 49$.

Perhatian: aturan Sarrus hanya berlaku untuk matriks $3 \times 3$. Jika pola diagonal yang sama diterapkan pada matriks $4 \times 4$, hasilnya salah; ini kesalahan umum yang sering mahal akibatnya dalam ujian.

Eliminasi Gauss untuk matriks besar

Ekspansi Laplace dengan cepat menjadi melelahkan: matriks $10 \times 10$ akan memerlukan jutaan perkalian. Eliminasi Gauss jauh lebih efisien. Determinan matriks segitiga hanyalah hasil kali elemen-elemen diagonalnya; karena itu matriks diubah ke bentuk segitiga sambil memperhitungkan bagaimana setiap operasi baris elementer mengubah determinannya:

• Jika suatu baris ditambah kelipatan baris lain, determinannya tidak berubah.
• Jika dua baris ditukar, determinannya dikalikan $-1$.
• Jika suatu baris dikalikan bilangan $k$, determinannya dikalikan $k$.

Sifat-sifat yang menghemat waktu

• Determinan matriks yang memiliki baris nol atau kolom nol adalah 0.
• Determinan matriks yang dua barisnya sama, atau salah satu barisnya kelipatan baris lain, adalah 0.
• Untuk matriks $n \times n$ berlaku $\det(kA) = k^n\det(A)$, bukan $k\det(A)$.
• Determinan matriks identitas adalah 1.

Dengan aturan-aturan ini, banyak determinan dapat ditemukan tanpa perhitungan sama sekali. Jika Anda melihat bahwa satu baris adalah dua kali baris lain, Anda tahu bahwa determinannya nol dan matriks inversnya tidak ada; hal ini dapat Anda pastikan dengan panduan invers matriks.

Aturan Cramer: menyelesaikan sistem dengan determinan

Dengan bantuan determinan, sistem persamaan linear yang kecil dapat diselesaikan secara langsung. Untuk $2x + y = 5$ dan $x - 3y = -1$, determinan koefisiennya adalah $D = 2(-3) - 1(1) = -7$. Ganti kolom pertama dengan ruas kanan untuk memperoleh $D_x = 5(-3) - 1(-1) = -14$, lalu ganti kolom kedua untuk memperoleh $D_y = 2(-1) - 5(1) = -7$. Jadi $x = \frac{D_x}{D} = 2$ dan $y = \frac{D_y}{D} = 1$.

Aturan Cramer elegan dan praktis untuk sistem $2 \times 2$ dan $3 \times 3$, tetapi kurang efisien untuk sistem besar, yang lebih cepat diselesaikan dengan eliminasi Gauss. Jika $D = 0$, sistemnya tidak memiliki penyelesaian atau memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian. Kalkulator determinan menampilkan langkah-langkah ekspansi Laplace dan eliminasi Gauss untuk matriks berordo berapa pun, sedangkan kalkulator matriks menangani perhitungan terkait.

Contoh 4 kali 4: biarkan nol yang bekerja

Jika nol dimanfaatkan, determinan yang besar pun menjadi mudah dikelola. Perhatikan matriks dengan baris-baris $(1, 0, 2, 0)$, $(3, 1, 0, 0)$, $(0, 0, 2, 1)$, dan $(0, 0, 0, 4)$. Baris terakhir memuat tiga nol: ekspansi menurut baris itu hanya menyisakan satu suku: elemen 4 pada posisi bertanda plus dikali determinan matriks $3 \times 3$ yang diperoleh dengan menghapus baris terakhir dan kolom terakhir.

Baris-baris matriks yang lebih kecil ini adalah $(1, 0, 2)$, $(3, 1, 0)$, dan $(0, 0, 2)$. Baris terakhirnya juga memuat dua nol, jadi kita ekspansikan lagi: elemen 2 dikali $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1$, hasilnya 2. Jadi determinan keseluruhannya $4 \cdot 2 = 8$. Tanpa nol-nol itu, perhitungan yang sama akan memerlukan dua puluh empat hasil kali yang masing-masing terdiri atas empat bilangan.

Kesalahan khas yang perlu dihindari

• Lupa bahwa tanda pada ekspansi Laplace berganti-ganti, terutama tanda minus pada posisi kedua baris pertama.
• Menerapkan aturan diagonal Sarrus pada matriks $4 \times 4$ atau yang lebih besar.
• Pada eliminasi Gauss, mengalikan suatu baris dengan bilangan tanpa mengoreksi determinannya.
• Menukar dua baris tetapi lupa mengubah tandanya.
• Menganggap $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$, yang secara umum salah; hanya hasil kali yang terpisah dengan rapi.

Menghitung determinan $3 \times 3$ dengan dua cara adalah kebiasaan yang baik: misalnya, ekspansikan dulu menurut suatu baris, lalu menurut kolom yang memuat nol. Jika hasilnya sama, Anda dapat memercayainya; jika tidak, selisihnya akan menuntun Anda ke kesalahan tanda.

Determinan dalam tiga dimensi

Dalam ruang tiga dimensi, nilai mutlak determinan $3 \times 3$ adalah volume paralelepipedum yang rusuk-rusuknya adalah ketiga vektor kolom. Karena itu matriks pada Contoh 2 mengubah kubus satuan menjadi bangun bervolume 49. Gagasan yang sama memberikan cara cepat untuk memeriksa apakah tiga vektor terletak pada satu bidang: hal itu terjadi jika dan hanya jika determinannya nol, karena paralelepipedum yang gepeng tidak memiliki volume. Hasil kali silang, yang berkaitan erat dengan ini, biasanya dihitung sebagai determinan $3 \times 3$ simbolis.

Pertanyaan yang sering diajukan