Nilai Eigen dan Vektor Eigen dengan Contoh

Persamaan yang mendefinisikan

Sebagian besar vektor berubah arah ketika dikalikan dengan suatu matriks. Beberapa vektor istimewa tidak berubah arah: matriks hanya meregangkan, menyusutkan, atau mencerminkannya sepanjang garis yang sama. Vektor-vektor itulah vektor eigen, dan faktor pengali masing-masing adalah nilai eigennya. Dalam simbol, vektor $\mathbf{v}$ yang bukan nol adalah vektor eigen matriks persegi $A$ dengan nilai eigen $\lambda$ jika kesamaan berikut terpenuhi:

Vektor nol dikecualikan, karena vektor itu memenuhi persamaan untuk setiap $\lambda$. Sebaliknya, nilai eigen boleh nol, negatif, bahkan kompleks. Nilai eigen 2 berarti panjang vektor-vektor pada arah itu menjadi dua kali lipat, $-1$ berarti vektor-vektor itu dibalik, sedangkan 0 berarti vektor-vektor itu disusutkan menjadi vektor nol; hal ini terjadi jika dan hanya jika matriksnya singular.

Mencari nilai eigen dengan persamaan karakteristik

Tulis persamaannya dalam bentuk $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Agar ada penyelesaian yang bukan nol, matriks $A - \lambda I$ harus singular, artinya determinannya harus sama dengan nol. Dengan demikian diperoleh persamaan karakteristik:

Untuk matriks $n \times n$, ini adalah persamaan polinomial berderajat $n$ dalam $\lambda$: jadi, jika dihitung beserta multiplisitasnya dan nilai kompleks diperbolehkan, terdapat $n$ nilai eigen. Untuk matriks $2 \times 2$, polinomialnya berderajat dua dan dapat diselesaikan dengan metode dalam artikel cara menyelesaikan persamaan kuadrat.

Contoh 2 kali 2 yang lengkap

Setiap kelipatan vektor eigen yang bukan nol juga merupakan vektor eigen: $(3, 3)$ atau $(-2, 4)$ pun sama benarnya sebagai jawaban. Yang penting adalah arahnya, bukan panjangnya. Perhatikan juga bahwa dalam kedua kasus baris-baris $A - \lambda I$ sebanding. Jika $\lambda$ memang nilai eigen, hal ini pasti terjadi, dan itu merupakan pemeriksaan perhitungan yang sangat baik.

Dua jalan pintas: trace dan determinan

Nilai-nilai eigen setiap matriks persegi berkaitan dengan dua bilangan yang mudah dicari. Jumlahnya sama dengan trace, yaitu jumlah elemen-elemen diagonal, sedangkan hasil kalinya sama dengan determinan:

Pada Contoh 1, trace-nya $4 + 3 = 7 = 5 + 2$, sedangkan determinannya $12 - 2 = 10 = 5 \cdot 2$. Untuk matriks $2 \times 2$, ini berarti persamaan karakteristiknya selalu berbentuk $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$; jadi determinannya tidak perlu diekspansikan dengan tangan. Dengan matriks segitiga, pekerjaannya lebih mudah lagi: nilai-nilai eigennya langsung berupa elemen-elemen diagonalnya.

Nilai eigen kompleks dan berulang

Matriks rotasi $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ memutar setiap vektor sebesar 90 derajat: tidak ada arah real yang tetap berada pada garisnya sendiri. Persamaan karakteristiknya $\lambda^2 + 1 = 0$ memberikan nilai eigen kompleks $\lambda = \pm i$. Nilai eigen kompleks dari matriks real selalu muncul berpasangan sebagai sekawan dan menandakan adanya rotasi.

Nilai eigen juga dapat berulang. Matriks $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ memiliki nilai eigen ganda 2, tetapi $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ memaksa $y = 0$: satu-satunya vektor eigen adalah kelipatan $(1, 0)$. Matriks seperti ini, yang banyak vektor eigennya yang bebas linear kurang dari ordonya, tidak dapat didiagonalkan. Sebaliknya, matriks identitas juga memiliki nilai eigen berulang 1, tetapi setiap vektor yang bukan nol adalah vektor eigennya.

Matriks simetris terhindar dari kedua kesulitan ini. Nilai eigennya selalu real, dan vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen berbeda saling tegak lurus. Untuk $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, nilai eigennya 3 dan 1; vektor eigennya $(1, 1)$ dan $(1, -1)$, yang hasil kali titik-nya nol.

Diagonalisasi dan pangkat matriks

Jika matriks $n \times n$ memiliki $n$ vektor eigen yang bebas linear, matriks itu dapat didiagonalkan. Tuliskan vektor-vektor eigen sebagai kolom-kolom $P$ dan nilai-nilai eigen pada diagonal $D$; maka:

Pangkat matriks diagonal diperoleh dengan memangkatkan setiap elemen diagonalnya: dengan begitu menghitung $A^{100}$ menjadi mudah. Nilai eigen juga meramalkan perilaku jangka panjang: jika nilai mutlak satu nilai eigen lebih besar secara tegas daripada nilai mutlak semua nilai eigen lainnya, mengalikan berulang-ulang dengan $A$ akan memutar hampir setiap vektor awal ke arah vektor eigen yang bersesuaian.

Di mana nilai eigen penting?

• Mesin pencari: algoritma peringkat halaman Google yang pertama mengurutkan halaman web berdasarkan vektor eigen dominan dari matriks tautan.
• Teknik: frekuensi alami jembatan dan gedung ditentukan oleh nilai eigen, dan para insinyur menjauhkannya dari frekuensi eksitasi yang diperkirakan.
• Analisis data: analisis komponen utama memakai vektor eigen matriks kovarians untuk menemukan arah sebaran terbesar.
• Persamaan diferensial: tanda-tanda nilai eigen menentukan apakah suatu kesetimbangan stabil atau tidak stabil.
• Mekanika kuantum: besaran yang dapat diukur, seperti tingkat energi, adalah nilai eigen operator.

Kalkulator nilai eigen mencari nilai eigen, termasuk yang kompleks, beserta vektor eigennya dan menampilkan polinomial karakteristiknya langkah demi langkah. Kalkulator determinan membantu memeriksa $\det(A - \lambda I)$ untuk suatu nilai calon.

Contoh 3 kali 3

Matriks yang besar ditangani dengan cara yang sama, dan nol-nol sama bergunanya seperti pada determinan. Ambil matriks dengan baris-baris $(2, 0, 0)$, $(0, 3, 4)$, dan $(0, 4, 9)$. Mengekspansikan $\det(A - \lambda I)$ menurut baris pertama menghasilkan $(2 - \lambda)$ dikali polinomial karakteristik blok dengan baris-baris $(3, 4)$ dan $(4, 9)$. Trace blok ini 12 dan determinannya $27 - 16 = 11$; jadi polinomialnya $\lambda^2 - 12\lambda + 11 = (\lambda - 1)(\lambda - 11)$.

Dengan demikian nilai-nilai eigennya 2, 1, dan 11. Pemeriksaan: jumlahnya, 14, adalah trace seluruh matriks, dan hasil kalinya, 22, adalah determinannya. Vektor-vektor eigennya: $(1, 0, 0)$ untuk nilai eigen 2, $(0, -2, 1)$ untuk 1, dan $(0, 1, 2)$ untuk 11. Matriksnya simetris, dan sesuai janji, ketiga vektor ini saling tegak lurus dua-dua.

Kesalahan khas

• Mengurangkan $\lambda$ dari semua elemen, bukan hanya dari elemen-elemen diagonal.
• Menganggap vektor nol sebagai vektor eigen setelah menyelesaikan $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$.
• Menganggap nilai eigen berulang selalu memiliki dua vektor eigen yang bebas linear.
• Lupa memeriksa hasil dengan menghitung $A\mathbf{v}$ lalu membandingkannya dengan $\lambda\mathbf{v}$.

Pemeriksaan terakhir adalah kebiasaan yang paling berharga. Pemeriksaan ini hanya memerlukan satu perkalian matriks dengan vektor, dan jika $A\mathbf{v}$ bukan kelipatan $\mathbf{v}$, maka nilai eigennya atau vektor eigennya salah.

Gambaran geometris

Bayangkan matriks pada Contoh 1 diterapkan pada setiap titik selembar kertas berpetak. Sebagian besar panah yang berpangkal di titik asal memanjang sekaligus berputar. Namun panah-panah pada garis yang melalui $(1, 1)$ hanya memanjang lima kali lipat, sedangkan panah-panah pada garis yang melalui $(1, -2)$ panjangnya menjadi dua kali lipat tanpa meninggalkan garisnya. Vektor eigen adalah kerangka transformasi: jika Anda tahu apa yang terjadi di sepanjang kedua garis ini, Anda tahu apa yang terjadi di mana-mana, karena setiap vektor dapat diuraikan menjadi komponen-komponen di sepanjang garis-garis itu.

Pertanyaan yang sering diajukan