Bagaimana Mencari Invers Suatu Matriks?

Apa itu invers matriks?

Pada bilangan, kebalikan dari 5 adalah $\frac{1}{5}$, karena $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$. Pada matriks tidak ada pembagian, tetapi gagasan yang sama tetap berlaku. Invers matriks persegi $A$ adalah matriks $A^{-1}$ yang memenuhi kesamaan berikut:

Di sini $I$ adalah matriks identitas, padanan bilangan 1 pada matriks. Jika $A$ menggambarkan suatu transformasi, misalnya rotasi dan peregangan bidang, maka $A^{-1}$ adalah transformasi yang mengembalikan semuanya ke posisi semula. Hanya matriks persegi yang dapat memiliki invers, dan tidak semuanya memilikinya. Matriks yang memiliki invers disebut matriks invertibel atau nonsingular; matriks yang tidak memiliki invers disebut matriks singular.

Kriterianya adalah determinan: $A$ memiliki invers jika dan hanya jika $\det(A) \ne 0$. Determinan nol berarti matriks memampatkan ruang ke dimensi yang lebih rendah: masukan yang berbeda jatuh ke keluaran yang sama, dan transformasinya tidak dapat dibatalkan.

Rumus untuk matriks 2 kali 2

Untuk matriks $2 \times 2$ ada rumus singkat: tukar elemen-elemen diagonal utama, ubah tanda kedua elemen lainnya, lalu bagi dengan determinannya.

Sebaliknya, determinan matriks $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ adalah $4 - 4 = 0$. Baris pertamanya dua kali baris kedua: matriks ini tidak memiliki invers, dan rumusnya akan memaksa Anda membagi dengan nol.

Metode Gauss-Jordan untuk segala ordo

Untuk matriks $3 \times 3$ dan yang lebih besar, metode bakunya adalah metode Gauss-Jordan. Susun matriks yang diperbesar $[A \mid I]$ dengan menuliskan $A$ dan matriks identitas berdampingan. Dengan operasi baris elementer, ubah bagian kiri menjadi $I$. Operasi yang sama mengubah bagian kanan menjadi $A^{-1}$. Jika di bagian kiri muncul baris nol, matriks itu singular dan tidak memiliki invers.

Kebetulan determinan matriks ini 1; karena itu inversnya hanya memuat bilangan bulat. Sebagian besar invers matriks memuat pecahan: selama perhitungan, bekerjalah dengan pecahan, bukan dengan desimal yang dibulatkan.

Rumus dengan matriks adjoin

Ada juga rumus yang memperumum aturan $2 \times 2$. Ganti setiap elemen dengan kofaktornya, yaitu minor bertanda yang diperoleh dengan menghapus baris dan kolom elemen tersebut: dengan begitu Anda memperoleh matriks kofaktor. Kemudian ambil transposnya untuk memperoleh matriks adjoin $\operatorname{adj}(A)$:

Rumus ini berguna dalam teori dan untuk matriks $3 \times 3$ yang elemennya sederhana, tetapi untuk matriks $3 \times 3$ diperlukan sembilan determinan $2 \times 2$, dan beban kerjanya bertambah sangat cepat seiring membesarnya ordo. Untuk matriks yang sedikit lebih besar, pilihan praktisnya tetap metode Gauss-Jordan.

Menyelesaikan sistem dengan invers matriks

Sistem persamaan linear berbentuk $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ diselesaikan dengan mengalikan kedua ruas dari kiri dengan $A^{-1}$; hasilnya $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$. Ini padanan dari menyelesaikan persamaan $5x = 10$ dengan membagi kedua ruas dengan 5.

Cara ini terutama praktis ketika beberapa sistem dengan koefisien yang sama tetapi ruas kanan berbeda harus diselesaikan: inversnya cukup dihitung sekali. Untuk satu sistem saja, eliminasi Gauss biasanya lebih cepat, seperti yang dijelaskan dalam panduan menyelesaikan sistem persamaan.

Sifat-sifat invers matriks

• Invers suatu hasil kali membalik urutannya: sama seperti saat melepas pakaian Anda melepas sepatu dulu, baru kaus kaki, kebalikan dari urutan memakainya.
• Jika $A$ memiliki invers, inversnya tunggal.
• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$.
• Untuk bilangan $k$ yang bukan nol berlaku $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$.
• Invers matriks diagonal yang elemen diagonalnya bukan nol diperoleh dengan mengambil kebalikan setiap elemen diagonalnya.

Invers matriks dalam praktik

Invers matriks tak tergantikan dalam teori dan muncul di bidang-bidang berikut: grafika komputer, tempat membatalkan transformasi kamera sama dengan menerapkan inversnya; kriptografi, tempat sandi Hill mendekripsi pesan dengan bantuan invers matriks; dan statistika, tempat rumus kuadrat terkecil untuk regresi memuat invers matriks.

Meski begitu, perangkat lunak numerik jarang menghitung invers secara eksplisit hanya untuk menyelesaikan satu sistem. Metode yang berbasis eliminasi Gauss lebih cepat dan kurang terpengaruh galat pembulatan, terutama pada matriks yang hampir singular, yang determinannya mendekati nol. Kalkulator invers matriks menampilkan setiap langkah metode Gauss-Jordan dengan pecahan eksak; dengan bantuan kalkulator matriks Anda juga dapat memeriksa apakah $AA^{-1}$ benar-benar sama dengan matriks identitas.

Mengapa rumus 2 kali 2 berlaku?

Rumusnya mudah diperiksa; memahami mengapa rumus itu berlaku membuatnya lebih mudah diingat. Kalikan matriks semula dengan matriks yang diagonalnya ditukar dan elemen lainnya diberi tanda berlawanan:

Hasilnya adalah determinan dikali matriks identitas. Setelah dibagi dengan determinan, kita memperoleh tepat matriks identitas, dan itulah yang harus dihasilkan oleh invers. Perhitungan ini juga menunjukkan mengapa determinan nol berakibat fatal: hasil kalinya menjadi matriks nol, dan tidak ada penskalaan yang dapat mengubahnya menjadi matriks identitas.

Kesalahan khas saat mencari invers

• Pada rumus $2 \times 2$, mengubah tanda elemen diagonal alih-alih menukar posisinya.
• Lupa membagi dengan determinan di akhir.
• Menerapkan operasi baris pada bagian kiri $[A \mid I]$ tetapi tidak pada bagian kanannya.
• Mengalikan $\mathbf{b}$ dari sisi yang salah: penyelesaiannya $A^{-1}\mathbf{b}$, sedangkan $\mathbf{b}A^{-1}$ secara umum bahkan tidak terdefinisi.
• Membulatkan pecahan menjadi desimal terlalu dini, sehingga pemeriksaan terakhir tidak lagi tepat menghasilkan matriks identitas.

Semua kesalahan ini terungkap oleh kebiasaan yang sama: sebelum melanjutkan, kalikan hasilnya dengan matriks semula. Pemeriksaan ini hanya makan waktu satu menit dan jauh lebih murah daripada mengulang seluruh perhitungan di kemudian hari.

Latihan

Cobalah kerjakan sebelum melihat jawabannya. Pertama, cari invers matriks dengan baris-baris $(2, 1)$ dan $(5, 3)$. Determinannya $6 - 5 = 1$: jadi inversnya adalah matriks yang diagonalnya ditukar dan tanda elemen lainnya dibalik; baris-barisnya $(3, -1)$ dan $(-5, 2)$. Kemudian tentukan apakah matriks dengan baris-baris $(3, 6)$ dan $(1, 2)$ memiliki invers. Determinannya $6 - 6 = 0$: matriks ini singular. Lalu cari invers matriks diagonal yang diagonalnya berisi 2, 4, dan 5: diagonal inversnya berisi setengah, seperempat, dan seperlima. Terakhir, gunakan jawaban pertama untuk menyelesaikan sistem $2x + y = 4$ dan $5x + 3y = 11$: dengan mengalikan invers matriks dengan ruas kanan kita peroleh $x = 3(4) - 11 = 1$ dan $y = -5(4) + 2(11) = 2$, dan kedua persamaan terpenuhi.

Pertanyaan yang sering diajukan