Aljabar linear adalah matematika vektor dan matriks. Panduan ini menjelaskan operasi-operasinya, makna geometrisnya, dan cara mengerjakannya secara manual tanpa kesalahan karena kurang teliti.
Matriks tampak seperti tabel bilangan, tetapi masing-masing menggambarkan suatu transformasi: rotasi, peregangan, proyeksi. Jika gambaran ini selalu Anda ingat, menjadi jelas mengapa perkalian matriks tidak komutatif, mengapa determinan nol berarti tidak ada matriks invers, dan apa sebenarnya vektor eigen itu.
Setiap panduan di bagian ini mengaitkan perhitungan dengan maknanya. Anda akan melihat aturan dalam bentuk rumus, contoh soal dengan matriks 2×2 dan 3×3 yang setiap perkaliannya dituliskan, serta pemeriksaan seperti fakta bahwa mengalikan matriks dengan inversnya harus menghasilkan matriks identitas. Kalkulator matriks, determinan, matriks invers, nilai eigen, hasil kali titik, dan hasil kali silang menampilkan langkah-langkah yang sama.
Meskipun perangkat lunak apa pun dapat mengalikan matriks seketika, perhitungan manual tetap penting: perhitungan ini muncul dalam ujian, dan siapa pun yang memahami kasus 2×2 atau 3×3 di atas kertas dapat menafsirkan apa yang diberikan komputer untuk matriks 100×100. Semua contoh di bagian ini cukup kecil untuk dikerjakan dengan kertas dan pensil.
Mulailah dengan dasar-dasar matriks, lalu lanjutkan ke determinan dan matriks invers; vektor dan nilai eigen bertumpu pada keduanya.
Aljabar linear
Matriks adalah tabel bilangan berbentuk persegi panjang yang tersusun atas baris dan kolom. Matriks menyimpan data secara ringkas dan, yang terpenting, merepresentasikan transformasi linear dan sistem persamaan. Panduan ini memperkenalkan notasi dan operasi dasar, dengan penekanan khusus pada perkalian matriks.
Aljabar linear
Determinan adalah satu bilangan yang dihitung dari matriks persegi. Determinan menunjukkan apakah matriks itu memiliki invers, bagaimana matriks itu mengubah skala luas dan volume, dan apakah matriks itu membalik orientasi. Panduan ini menghimpun semua metode perhitungan yang umum, lengkap dengan contoh rinci.
Aljabar linear
Invers suatu matriks persegi membatalkan pengaruh matriks itu, sama seperti pembagian membatalkan perkalian. Suatu matriks memiliki invers jika dan hanya jika determinannya bukan nol. Panduan ini menunjukkan rumus cepat untuk matriks 2 kali 2, metode Gauss-Jordan yang umum, dan cara invers matriks menyelesaikan sistem persamaan.
Aljabar linear
Vektor eigen suatu matriks adalah arah yang hanya diregangkan atau dibalik oleh matriks itu tanpa diputar sedikit pun; nilai eigen adalah faktor regangannya. Keduanya mengungkap inti perilaku matriks dan menjadi dasar diagonalisasi, analisis kestabilan, rantai Markov, dan kompresi data.
Aljabar linear
Hasil kali titik, yang juga disebut hasil kali skalar, memasangkan dua vektor dengan satu bilangan yang menunjukkan seberapa searah keduanya. Dengannya kita mencari sudut antara vektor, memeriksa apakah vektor-vektor saling tegak lurus, memproyeksikan satu vektor pada vektor lain, dan dalam fisika menghitung usaha yang dilakukan suatu gaya.
Aljabar linear
Hasil kali silang mengalikan dua vektor dalam ruang dan menghasilkan vektor baru yang tegak lurus terhadap keduanya. Besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh kedua vektor itu; karena itu hasil kali silang menjadi alat baku untuk vektor normal, luas, momen gaya, dan volume.