Kalkulator Melengkapkan Kuadrat Sempurna — Bentuk Puncak Langkah demi Langkah

Tentang kalkulator melengkapkan kuadrat sempurna

Melengkapkan kuadrat sempurna mengubah ekspresi seperti $2x^2 - 8x + 3$ menjadi $2(x - 2)^2 - 5$ . Bentuk kedua jauh lebih informatif: sekilas terlihat bahwa titik terendah parabola adalah $(2, -5)$ , bahwa parabolanya terbuka ke atas, dan seberapa sempit bentuknya. Rumus kuadrat (rumus ABC) pun diturunkan tepat dengan transformasi ini, dan persamaan lingkaran serta elips dibawa ke bentuk bakunya dengan cara yang sama.

Kalkulator menerima koefisien utama berapa pun, termasuk pecahan dan desimal seperti pada contoh $0.5x^2 + 3x - 1$ . Untuk ekspresi, kalkulator memberikan bentuk puncak dan titik puncaknya; untuk persamaan yang disamakan dengan $= 0$ atau nilai lain, kalkulator melanjutkan penyelesaian hingga akar-akar eksak atau menjelaskan mengapa tidak ada akar real jika parabolanya tidak memotong sumbu.

Apa itu bentuk kuadrat sempurna?

Kuadrat sempurna adalah trinomial yang sama dengan kuadrat suatu binomial, misalnya $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ . Suku konstantanya selalu sama dengan kuadrat dari setengah koefisien $x$ . Saat melengkapkan kuadrat, bilangan inilah yang ditambahkan lalu dikurangkan agar sebagian ekspresi menjadi kuadrat sempurna, yaitu dapat diringkas dengan rumus kuadrat jumlah atau selisih.

Dengan demikian diperoleh bentuk $a(x - h)^2 + k$ . Karena kuadrat tidak pernah negatif, $k$ adalah nilai terkecil (jika $a > 0$ ) atau terbesar (jika $a < 0$ ) dari ekspresi itu, dan nilai tersebut dicapai di $x = h$ .

Cara menggunakan kalkulator melengkapkan kuadrat sempurna

Masukkan trinomial kuadrat seperti 2x^2 - 8x + 3 atau persamaan seperti x^2 - 4x - 1 = 0.
Koefisiennya boleh berupa bilangan bulat, pecahan, atau desimal.
Tekan «Melengkapkan kuadrat». Kalkulator menentukan koefisien a, b, dan c, mengeluarkan a sebagai faktor dari suku-suku x, lalu menambahkan dan mengurangkan kuadrat dari setengah koefisien x.
Baca bentuk puncak dan titik puncaknya. Untuk persamaan, ikuti langkah penarikan akar kuadrat hingga penyelesaian eksaknya.

Rumus

Kuadrat sempurna

x^2 + bx + \left(\tfrac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2

Bentuk puncak umum

ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}

Titik puncak

(h, k) = \left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

Contoh soal dan pembahasan: 2x² − 8x + 3

Contoh soal melengkapkan kuadrat dari $2x^2 - 8x + 3$ . Karena $a = 2$ , kalkulator lebih dulu mengeluarkan koefisien 2 dari suku-suku $x$ : $2(x^2 - 4x) + 3$ . Setengah dari $-4$ adalah $-2$ , dan kuadratnya 4.

Setelah 4 ditambahkan dan dikurangkan di dalam tanda kurung, diperoleh $2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3 = 2(x - 2)^2 - 8 + 3$ : bentuk puncaknya $2(x - 2)^2 - 5$ dan titik puncaknya $(2, -5)$ .

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

2(x - 2)^{2} - 5

Cara kami membaca soal Anda

Tulis ulang bentuk kuadrat dalam bentuk titik puncak dengan melengkapkan kuadrat.

Pembahasan langkah demi langkah

Tentukan koefisien a, b, dan c
a = 2, b = -8, c = 3
$2x^{2} - 8x + 3$
Keluarkan a = 2 dari suku-suku x
$2\left(x^2 - 4x\right) + 3$
Ambil setengah dari koefisien linear lalu kuadratkan
Setengah dari -4 adalah -2; kuadratnya 4.
$\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$
Tambahkan lalu kurangkan kuadrat itu di dalam tanda kurung
Menambahkan 4 membentuk trinomial kuadrat sempurna; mengurangkannya menjaga nilai tetap sama (bagian yang dikurangkan dikalikan a = 2 saat keluar dari tanda kurung).
$2\left(x^2 -4x + 4\right) - 8 + 3$
Tulis kuadrat sempurnanya dan gabungkan konstanta
$2(x - 2)^{2} - 5$
Baca titik puncaknya
Pada bentuk a(x − h)² + k, titik puncaknya (h, k) = (2, -5); sumbu simetrinya x = 2. Karena a > 0, parabola terbuka ke atas dan k adalah nilai minimumnya.

Rumus yang digunakan

Melengkapkan kuadrat
$ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$
Titik puncak
$h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a}$

Bentuk titik puncak: 2(x - 2)^2 - 5. Titik puncak: (2, -5).

Pemeriksaan

Penjabaran 2(x - 2)^2 - 5 menghasilkan kembali 2x^2 - 8x + 3.

Penjelasan lengkap

Mengapa kuadrat dari setengah koefisien?

Jika $(x + p)^2$ dijabarkan, diperoleh $x^2 + 2px + p^2$ . Dibandingkan dengan $x^2 + bx$ , terlihat bahwa suku tengahnya cocok jika $2p = b$ , yaitu $p = b/2$ , dan suku konstanta yang kurang adalah $p^2 = (b/2)^2$ . Secara geometris, $x^2 + bx$ adalah sebuah persegi bersisi $x$ ditambah dua persegi panjang $x \times b/2$ ; persegi kecil di sudut dengan luas $(b/2)^2$ melengkapi bangun itu menjadi persegi besar, dan dari situlah nama metode ini berasal.

Jika koefisien utama bukan 1

Keluarkan $a$ sebagai faktor hanya dari suku $x^2$ dan $x$ , biarkan suku konstanta di luar. Lengkapkan kuadrat di dalam tanda kurung, lalu kalikan kuadrat yang dikurangkan itu dengan $a$ saat mengeluarkannya dari tanda kurung. Melupakan perkalian ini adalah kesalahan yang paling sering terjadi: pada contoh, $-4$ di dalam tanda kurung menjadi $-8$ di luar.

Jika $a$ negatif, parabolanya terbuka ke bawah dan titik puncaknya adalah titik maksimum. Kalkulator mengeluarkan koefisien negatif dengan cara yang sama; karena itu, tanda-tanda di dalam tanda kurung berubah.

Menyelesaikan persamaan dengan melengkapkan kuadrat

Untuk $x^2 - 4x - 1 = 0$ , melengkapkan kuadrat menghasilkan $(x - 2)^2 = 5$ . Setelah akar kuadrat kedua ruas diambil dengan kedua tanda, diperoleh $x - 2 = \pm\sqrt5$ , yaitu $x = 2 \pm \sqrt5$ . Jika langkah yang sama diulang dengan huruf sebagai pengganti bilangan, muncullah rumus kuadrat.

Jika ruas kanan negatif, seperti pada $(x + 3)^2 = -4$ yang diperoleh dari $x^2 + 6x + 13 = 0$ , tidak ada akar real. Kalkulator memberitahukan hal ini dan juga menampilkan pasangan kompleks $-3 \pm 2i$ yang diperoleh dengan memakai $\sqrt{-4} = 2i$ .

Cara membaca grafik dari bentuk puncak

Bentuk puncak menggambarkan parabola sebagai pergeseran grafik $y = x^2$ . Nilai $h$ menggeser kurva ke kanan (atau ke kiri jika $h$ negatif), $k$ menggesernya ke atas atau ke bawah, sedangkan $a$ meregangkannya secara vertikal dan mencerminkannya jika negatif. Sumbu simetrinya adalah garis vertikal $x = h$ : titik-titik yang berjarak sama di kedua sisi $h$ memiliki nilai y yang sama.

Hal ini sangat mempercepat sketsa grafik. Untuk $2(x - 2)^2 - 5$ , tandai titik puncak $(2, -5)$ lalu bergeser satu satuan ke setiap sisi: nilai y naik sebesar $a \cdot 1^2 = 2$ dan diperoleh titik $(1, -3)$ dan $(3, -3)$ . Range langsung terbaca, $y \ge -5$ ; karena itu bentuk puncak adalah titik awal alami untuk soal domain dan range.

Kesalahan yang sering terjadi

Menambahkan $(b/2)^2$ tetapi tidak mengurangkannya kembali, sehingga ekspresinya berubah.
Mengkuadratkan $b$ alih-alih $b/2$ .
Lupa mengalikan kuadrat yang dikurangkan dengan $a$ jika $a \ne 1$ .
Hanya memperhitungkan akar positif saat menyelesaikan persamaan.
Mengira titik puncak $a(x + 3)^2 + k$ berada di $x = 3$ ; sebenarnya di $x = -3$ .

Kiat

Tulis $x - h$ secara eksplisit: $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ , sehingga $h = -3$ .
Periksa bentuk puncak dengan menjabarkan tanda kurungnya kembali ke bentuk umum.
Jika $b$ ganjil, gunakan pecahan, bukan desimal; setengah dari 5 adalah $\tfrac52$ .
Untuk pemeriksaan cepat, bandingkan titik puncak yang Anda peroleh dengan $h = -b/(2a)$ .

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa itu bentuk puncak?

Penulisan trinomial kuadrat dalam bentuk a kali (x minus h) kuadrat ditambah k. Titik (h, k) adalah titik puncak parabola, sedangkan a menentukan arah bukaan dan regangannya.

Bagaimana melengkapkan kuadrat jika a tidak sama dengan 1?

Keluarkan a sebagai faktor dari suku x kuadrat dan suku x, lengkapkan kuadrat di dalam tanda kurung, lalu kalikan konstanta yang dikurangkan dengan a saat mengeluarkannya dari tanda kurung.

Mana yang lebih baik: melengkapkan kuadrat atau rumus kuadrat?

Keduanya menghasilkan akar yang sama. Melengkapkan kuadrat juga memberikan titik puncak yang membantu menggambar grafik, dan rumus kuadrat justru dibuktikan dengan metode ini.

Bagaimana jika koefisien x ganjil?

Gunakan pecahan. Untuk x kuadrat ditambah 5x, tambahkan dan kurangkan 25/4 sehingga diperoleh (x ditambah 5/2) kuadrat dikurangi 25/4.

Bisakah melengkapkan kuadrat menghasilkan akar kompleks?

Ya. Jika kuadratnya sama dengan bilangan negatif, tidak ada akar real. Kalkulator memberitahukan hal ini dan juga menampilkan pasangan akar kompleks sekawan berbentuk a plus minus bi.

Bagaimana metode ini diterapkan pada lingkaran?

Dengan melengkapkan kuadrat untuk x dan y secara terpisah, persamaan seperti x kuadrat ditambah y kuadrat dikurangi 4x ditambah 6y sama dengan 3 berubah menjadi persamaan baku lingkaran yang memperlihatkan pusat dan jari-jarinya.

Coba kalkulator melengkapkan kuadrat sempurna

Masukkan trinomial kuadrat; dapatkan bentuk puncak, titik puncak, dan akar-akar eksaknya.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI

Melengkapkan Kuadrat Sempurna