Kalkulator FPB

Q: Berapa FPB suatu bilangan dan 0?

Setiap bilangan bulat membagi 0, sehingga gcd(a, 0) = |a|. FPB dari 0 dan 0 tidak terdefinisi.

Tentang kalkulator FPB

Faktor persekutuan terbesar dari sekumpulan bilangan bulat adalah bilangan asli terbesar yang habis membagi setiap bilangan tersebut. FPB diperlukan untuk menyederhanakan pecahan, mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, dan membagi benda ke dalam kelompok yang sama banyak.

Kalkulator memfaktorkan setiap bilangan menjadi faktor prima dan sekaligus menjalankan algoritma Euklides, sehingga Anda dapat membandingkan metode yang visual dengan metode yang paling cepat.

Apa itu faktor persekutuan terbesar?

Faktor suatu bilangan bulat membaginya tanpa sisa: faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Faktor persekutuan beberapa bilangan membagi semuanya; faktor persekutuan terbesar adalah yang paling besar di antaranya. Karena faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, dan 18, faktor persekutuan 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, dan 6; FPB-nya adalah 6.

Mendaftar faktor satu per satu praktis untuk bilangan kecil, tetapi cepat menjadi melelahkan. Faktorisasi prima dan algoritma Euklides menemukan FPB tanpa membuat daftar, dan kedua metode berlaku untuk berapa pun banyaknya bilangan: FPB tiga bilangan adalah FPB dari FPB dua bilangan pertama dengan bilangan ketiga.

Cara menggunakan kalkulator FPB

Masukkan dua hingga sepuluh bilangan bulat, dipisahkan dengan koma atau spasi.
Tekan tombol «Cari FPB».
Pelajari faktorisasi prima setiap bilangan, faktor prima persekutuannya, dan pembagian-pembagian dalam algoritma Euklides.

Rumus

Algoritma Euklides

\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b),\quad \gcd(a, 0) = a

Dengan faktorisasi prima

\gcd = \prod p^{\min(e_1, e_2, \ldots)}

Setiap faktor prima persekutuan diambil dengan pangkat terkecilnya.

Hubungan dengan KPK

\gcd(a, b) \cdot \operatorname{lcm}(a, b) = |ab|

Contoh soal dan pembahasan: 48, 180

Contoh soal mencari FPB dari 48 dan 180. Faktorisasi prima menghasilkan $48 = 2^4 \times 3$ dan $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ . Algoritma Euklides membagi 180 dengan 48 (sisa 36), lalu 48 dengan 36 (sisa 12), lalu 36 dengan 12 (sisa 0); jadi FPB-nya 12. Faktor prima persekutuan dengan pangkat terkecilnya, $2^2 \times 3 = 12$ , menegaskan hal ini, dan langkah pemeriksaan menunjukkan bahwa 48 dan 180 dibagi 12 menghasilkan 4 dan 15.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

12

Cara kami membaca soal Anda

Mencari faktor persekutuan terbesar (FPB) dari bilangan-bilangan tersebut.

Pembahasan langkah demi langkah

Faktorisasi prima setiap bilangan
$48 = 2^{4} \times 3,\quad 180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5$
Algoritma Euklides untuk GCF(48, 180)
180 = 3 × 48 + 36; 48 = 1 × 36 + 12; 36 = 3 × 12 + 0
$180 = 3 \times 48 + 36 \\ 48 = 1 \times 36 + 12 \\ 36 = 3 \times 12 + 0$
Sisa tak nol terakhir adalah FPB
$\gcd(48, 180) = 12$
Periksa dengan faktor prima bersama
Kalikan faktor prima yang dimiliki semua bilangan, masing-masing dengan pangkat terkecilnya.
$2^{2} \times 3 = 12$

Rumus yang digunakan

Algoritma Euklides
$\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b),\quad \gcd(a, 0) = a$

12 adalah bilangan cacah terbesar yang habis membagi setiap bilangan.

Pemeriksaan

48 ÷ 12 = 4
180 ÷ 12 = 15

Penjelasan lengkap

Mengapa algoritma Euklides berhasil?

Setiap bilangan yang membagi $a$ dan $b$ juga membagi selisih $a - b$ , sehingga juga membagi sisa pembagian $a$ oleh $b$ . Karena itu pasangan $(a, b)$ dan pasangan $(b, a \bmod b)$ memiliki faktor persekutuan yang sama. Setiap langkah memperkecil bilangannya; ketika sisanya 0, bilangan yang tersisa membagi dirinya sendiri dan 0, sehingga merupakan faktor persekutuan terbesar. Bahkan untuk bilangan yang sangat besar, algoritma ini hanya memerlukan beberapa pembagian; karena itulah ia dipakai dalam aritmetika komputer dan kriptografi.

Di mana FPB digunakan?

Jika pembilang dan penyebut dibagi dengan FPB-nya, pecahan langsung menjadi bentuk paling sederhana dalam satu langkah: $\frac{48}{180} = \frac{4}{15}$ . Dalam aljabar, FPB koefisien dikeluarkan lebih dulu dari tanda kurung, misalnya $12x + 18 = 6(2x + 3)$ . Dalam soal sehari-hari, FPB menjawab berapa paling banyak kelompok identik yang dapat dibentuk: 24 pensil, 36 penghapus, dan 60 stiker dapat dibagi menjadi paling banyak 12 paket identik, karena $\gcd(24, 36, 60) = 12$ .

Faktorisasi atau algoritma Euklides?

Faktorisasi prima memperlihatkan strukturnya: terlihat dengan tepat faktor prima apa yang dimiliki bilangan-bilangan itu dan mengapa hasilnya demikian. Ini berguna saat mempelajari topiknya atau saat KPK juga dibutuhkan. Kelemahannya, memfaktorkan bilangan besar memakan waktu lama. Algoritma Euklides tidak memfaktorkan apa pun: ia hanya membagi dan mencatat sisanya, sehingga tetap cepat bahkan untuk bilangan dengan puluhan digit. Kalkulator menampilkan kedua metode sehingga yang satu memeriksa yang lain.

Kesalahan yang sering terjadi

Mengalikan semua faktor prima yang muncul, bukan hanya faktor prima persekutuannya.
Mengambil faktor prima persekutuan dengan pangkat terbesarnya; untuk FPB diperlukan pangkat terkecil.
Mengira bilangan yang saling prima tidak memiliki FPB; dalam hal ini FPB-nya 1.
Menghentikan algoritma Euklides satu langkah terlalu cepat dan menuliskan hasil bagi terakhir alih-alih sisa tak nol terakhir.

Kiat

Jika satu bilangan membagi semua bilangan lainnya, bilangan itulah FPB-nya.
FPB dua bilangan bulat berurutan selalu 1.
Sederhanakan pecahan dalam satu langkah dengan membagi pembilang dan penyebut dengan FPB-nya.
Periksa hasil dengan membagi setiap bilangan dengannya: hasil baginya tidak boleh memiliki faktor persekutuan selain 1.
Untuk tiga bilangan atau lebih, cari dulu FPB dua bilangan, lalu gabungkan hasilnya dengan bilangan berikutnya.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa itu faktor persekutuan terbesar?

Bilangan asli terbesar yang habis membagi semua bilangan dalam kumpulan tersebut. Untuk 48 dan 180, FPB-nya 12.

Apakah FPB sama dengan GCD, GCF, dan HCF?

Ya. Dalam bahasa Indonesia disebut FPB (faktor persekutuan terbesar); sumber berbahasa Inggris menuliskan bilangan yang sama sebagai GCD, GCF, atau HCF.

Bagaimana cara kerja algoritma Euklides?

Bagi bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil dan catat sisanya. Ganti pasangan itu dengan (bilangan yang lebih kecil, sisa) dan ulangi hingga sisanya 0; pembagi tak nol terakhir adalah FPB.

Berapa FPB dari bilangan yang tidak memiliki faktor persekutuan?

FPB-nya 1. Bilangan seperti ini disebut saling prima, misalnya 8 dan 15.

Bisakah FPB bilangan negatif dicari?

Bisa. Keterbagian tidak bergantung pada tanda: FPB dicari dari nilai mutlak bilangan-bilangan tersebut dan selalu positif.

Berapa FPB suatu bilangan dan 0?

Setiap bilangan bulat membagi 0, sehingga $\gcd(a, 0) = |a|$ . FPB dari 0 dan 0 tidak terdefinisi.

Bagaimana cara mencari FPB tiga bilangan?

Cari FPB dua bilangan, lalu cari FPB hasil tersebut dengan bilangan ketiga. Untuk 24, 36, dan 60: $\gcd(24, 36) = 12$ dan $\gcd(12, 60) = 12$ .

Bagaimana FPB membantu menyederhanakan pecahan?

Bagi pembilang dan penyebut dengan FPB-nya; pecahan langsung menjadi bentuk paling sederhana dalam satu langkah. Karena $\gcd(48, 180) = 12$ , diperoleh $\frac{48}{180} = \frac{4}{15}$ .

Coba kalkulator FPB

Masukkan bilangan Anda sendiri dan bandingkan faktorisasi prima dengan algoritma Euklides.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI

Tentang kalkulator FPB

Apa itu faktor persekutuan terbesar?

Cara menggunakan kalkulator FPB

Rumus

Algoritma Euklides

Dengan faktorisasi prima

Hubungan dengan KPK

Contoh soal dan pembahasan: 48, 180

Jawaban akhir

Cara kami membaca soal Anda

Pembahasan langkah demi langkah

Rumus yang digunakan

Pemeriksaan

Penjelasan lengkap

Mengapa algoritma Euklides berhasil?

Di mana FPB digunakan?

Faktorisasi atau algoritma Euklides?

Kesalahan yang sering terjadi

Kiat

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa itu faktor persekutuan terbesar?

Apakah FPB sama dengan GCD, GCF, dan HCF?

Bagaimana cara kerja algoritma Euklides?

Berapa FPB dari bilangan yang tidak memiliki faktor persekutuan?

Bisakah FPB bilangan negatif dicari?

Berapa FPB suatu bilangan dan 0?

Bagaimana cara mencari FPB tiga bilangan?

Bagaimana FPB membantu menyederhanakan pecahan?

Coba kalkulator FPB

Kalkulator matematika lainnya