Kalkulator KPK

Q: Bagaimana cara mencari KPK tiga bilangan?

Gabungkan bilangan-bilangannya berpasangan: lcm(8, 12) = 24, lalu lcm(24, 15) = 120. Atau ambil setiap faktor prima dengan pangkat tertingginya: 2^3 × 3 × 5 = 120.

Tentang kalkulator KPK

Kelipatan persekutuan terkecil dari sekumpulan bilangan bulat adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi oleh setiap bilangan tersebut. Saat menjumlahkan pecahan, KPK berperan sebagai penyebut persekutuan terkecil; KPK juga menjawab banyak soal tentang jadwal dan kejadian yang berulang.

Alat ini menyusun KPK dari faktorisasi prima dan memeriksanya dengan identitas $\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{|ab|}{\gcd(a,b)}$ .

Apa itu kelipatan persekutuan terkecil?

Kelipatan suatu bilangan diperoleh dengan mengalikannya dengan 1, 2, 3, dan seterusnya: kelipatan 12 adalah 12, 24, 36, 48, dan seterusnya, sedangkan kelipatan 18 adalah 18, 36, 54, dan seterusnya. Kelipatan persekutuan muncul di kedua daftar; kelipatan persekutuan terkecil adalah yang pertama di antaranya, di sini 36.

Dua bilangan asli memiliki tak hingga banyaknya kelipatan persekutuan, dan semuanya merupakan kelipatan KPK. KPK tidak pernah lebih kecil daripada bilangan terbesar dalam daftar dan tidak pernah lebih besar daripada hasil kali semua bilangan; jika bilangan-bilangan itu tidak memiliki faktor prima persekutuan, KPK sama dengan hasil kali tersebut.

Cara menggunakan kalkulator KPK

Masukkan dua hingga sepuluh bilangan bulat, dipisahkan dengan koma atau spasi.
Tekan tombol «Cari KPK».
Pelajari faktorisasi prima setiap bilangan dan pangkat tertinggi setiap faktor prima yang diambil ke dalam jawaban.

Rumus

Dengan faktorisasi prima

\operatorname{lcm} = \prod p^{\max(e_1, e_2, \ldots)}

Dengan bantuan FPB

\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\gcd(a, b)}

Lebih dari dua bilangan

\operatorname{lcm}(a, b, c) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a, b), c)

Contoh soal dan pembahasan: 12, 18

Contoh soal mencari KPK dari 12 dan 18. Faktorisasi primanya: $12 = 2^2 \times 3$ dan $18 = 2 \times 3^2$ . Karena $\gcd(12, 18) = 6$ , identitas tersebut menghasilkan $\frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36$ . Jika setiap faktor prima diambil dengan pangkat tertingginya, $2^2 \times 3^2 = 36$ , diperoleh jawaban yang sama; pemeriksaan menegaskan bahwa 36 habis dibagi 12 maupun 18.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

36

Cara kami membaca soal Anda

Mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan-bilangan tersebut.

Pembahasan langkah demi langkah

Faktorisasi prima setiap bilangan
$12 = 2^{2} \times 3,\quad 18 = 2 \times 3^{2}$
Gunakan FPB untuk menggabungkan 12 dan 18
$\operatorname{lcm}(12, 18) = \frac{12 \times 18}{\gcd(12, 18)} = \frac{216}{6} = 36$
Periksa dengan faktor prima
Ambil setiap faktor prima yang muncul, masing-masing dengan pangkat terbesarnya.
$2^{2} \times 3^{2} = 36$

Rumus yang digunakan

KPK dari FPB
$\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\gcd(a, b)}$

36 adalah bilangan positif terkecil yang habis dibagi oleh setiap bilangan masukan.

Pemeriksaan

36 ÷ 12 = 3
36 ÷ 18 = 2

Penjelasan lengkap

Mengapa diambil pangkat tertinggi?

Kelipatan 12 harus memuat $2^2$ dan 3 di antara faktor primanya, sedangkan kelipatan 18 harus memuat 2 dan $3^2$ . Agar habis dibagi kedua bilangan, diperlukan $2^2$ untuk memenuhi 12 dan $3^2$ untuk memenuhi 18, dan tidak ada lagi yang lain. Karena itu, mengambil setiap faktor prima dengan pangkat tertingginya adalah pilihan terkecil yang memenuhi semua bilangan; itulah tepatnya definisi kelipatan persekutuan terkecil.

KPK untuk pecahan dan jadwal

Penyebut persekutuan terkecil dua pecahan adalah KPK dari penyebut-penyebutnya. Untuk menghitung $\frac{5}{12} + \frac{7}{18}$ , kedua pecahan diubah ke penyebut 36, dan bilangannya tetap lebih kecil dibandingkan dengan penyebut $12 \times 18 = 216$ . KPK juga menyelesaikan soal jadwal: jika satu bus berangkat setiap 8 menit, bus kedua setiap 12 menit, dan bus ketiga setiap 15 menit, ketiganya berangkat bersamaan lagi setelah $\operatorname{lcm}(8, 12, 15) = 120$ menit.

Jika daftar memuat 0, kalkulator mengembalikan 0 sebagai kesepakatan dan menjelaskan bahwa 0 adalah kelipatan setiap bilangan bulat, karena dalam hal ini tidak ada kelipatan persekutuan berupa bilangan asli.

Bagaimana hubungan KPK dan FPB?

Untuk dua bilangan asli, hasil kali FPB dan KPK selalu sama dengan hasil kali kedua bilangan itu sendiri. Alasannya terlihat pada faktorisasi prima: untuk setiap faktor prima, FPB mengambil pangkat yang lebih kecil dan KPK mengambil pangkat yang lebih besar, sehingga keduanya bersama-sama memakai setiap pangkat tepat satu kali. Untuk 12 dan 18, hasil kali FPB 6 dan KPK 36 adalah 216, yaitu $12 \times 18$ . Identitas ini tidak dapat langsung diperluas ke tiga bilangan atau lebih; karena itu kalkulator menggabungkan bilangan-bilangannya berpasangan.

Kesalahan yang sering terjadi

Mengalikan semua bilangan: cara ini memang menghasilkan kelipatan persekutuan, tetapi sering kali bukan yang terkecil.
Mengambil setiap faktor prima dengan pangkat terkecilnya; untuk KPK diperlukan pangkat tertinggi.
Mencampuradukkan KPK dengan FPB: KPK tidak mungkin lebih kecil daripada bilangan terbesar.
Hanya menuliskan kelipatan bilangan terbesar lalu mengambil yang pertama tanpa memeriksa apakah habis dibagi bilangan lainnya.

Kiat

Jika satu bilangan merupakan kelipatan semua bilangan lainnya, bilangan itulah KPK-nya.
Jika bilangan-bilangannya saling prima, KPK sama dengan hasil kalinya.
Saat menjumlahkan pecahan, gunakan KPK penyebut sebagai penyebut persekutuan terkecil.
Periksa KPK dengan membaginya dengan setiap bilangan: semua hasil baginya harus bilangan bulat.
Untuk dua bilangan, cari dulu FPB-nya; membagi hasil kali kedua bilangan dengan FPB itu biasanya cara tercepat.
Untuk bilangan kecil, tulis beberapa kelipatan bilangan terbesar dan periksa apakah masing-masing habis dibagi bilangan lainnya; kelipatan pertama yang cocok adalah KPK.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa itu kelipatan persekutuan terkecil?

Bilangan asli terkecil yang habis dibagi oleh setiap bilangan. KPK dari 4, 6, dan 10 adalah 60.

Bagaimana hubungan KPK dan FPB?

Hasil kali dua bilangan asli sama dengan hasil kali FPB dan KPK-nya, sehingga $\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{ab}{\gcd(a,b)}$ .

Kapan KPK diperlukan?

Saat menjumlahkan atau mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda dan dalam soal yang menanyakan kapan kejadian berulang akan bertepatan lagi.

Berapa KPK jika salah satu bilangannya 0?

Nol adalah kelipatan setiap bilangan, tetapi KPK didefinisikan sebagai kelipatan persekutuan positif terkecil; karena itu sebagai kesepakatan ditetapkan $\operatorname{lcm}(a, 0) = 0$ .

Bisakah KPK lebih kecil daripada bilangan-bilangannya?

Tidak. KPK selalu lebih besar daripada atau sama dengan nilai mutlak terbesar dalam daftar (jika daftar tidak memuat 0).

Apakah kalkulator menerima bilangan negatif?

Ya. Tanda tidak mengubah kelipatan: KPK dicari dari nilai mutlak bilangan-bilangannya dan ditulis sebagai bilangan positif.

Bagaimana cara mencari KPK tiga bilangan?

Gabungkan bilangan-bilangannya berpasangan: $\operatorname{lcm}(8, 12) = 24$ , lalu $\operatorname{lcm}(24, 15) = 120$ . Atau ambil setiap faktor prima dengan pangkat tertingginya: $2^3 \times 3 \times 5 = 120$ .

Apa beda KPK dan penyebut persekutuan terkecil?

Penyebut persekutuan terkecil tidak lain adalah KPK dari penyebut-penyebut pecahan. Untuk $\frac{5}{12}$ dan $\frac{7}{18}$ , $\operatorname{lcm}(12, 18) = 36$ .

Coba kalkulator KPK

Masukkan bilangan Anda sendiri; lihat faktorisasi prima dan pemeriksaannya.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI

Tentang kalkulator KPK

Apa itu kelipatan persekutuan terkecil?

Cara menggunakan kalkulator KPK

Rumus

Dengan faktorisasi prima

Dengan bantuan FPB

Lebih dari dua bilangan

Contoh soal dan pembahasan: 12, 18

Jawaban akhir

Cara kami membaca soal Anda

Pembahasan langkah demi langkah

Rumus yang digunakan

Pemeriksaan

Penjelasan lengkap

Mengapa diambil pangkat tertinggi?

KPK untuk pecahan dan jadwal

Bagaimana hubungan KPK dan FPB?

Kesalahan yang sering terjadi

Kiat

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa itu kelipatan persekutuan terkecil?

Bagaimana hubungan KPK dan FPB?

Kapan KPK diperlukan?

Berapa KPK jika salah satu bilangannya 0?

Bisakah KPK lebih kecil daripada bilangan-bilangannya?

Apakah kalkulator menerima bilangan negatif?

Bagaimana cara mencari KPK tiga bilangan?

Apa beda KPK dan penyebut persekutuan terkecil?

Coba kalkulator KPK

Kalkulator matematika lainnya