Kalkulator Bentuk Rasional

Tentang kalkulator bentuk rasional

Bentuk rasional, atau pecahan aljabar, adalah pecahan yang pembilang dan penyebutnya berupa polinomial; misalnya $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ . Bentuk ini berperilaku seperti pecahan biasa: semua yang Anda ketahui tentang menyederhanakan, menyamakan penyebut, dan membagi dengan pecahan tetap berlaku. Bedanya, sekarang Anda perlu memfaktorkan polinomial dan mencatat nilai-nilai $x$ yang membuat penyebutnya nol.

Kalkulator melakukan lima operasi pada bentuk rasional satu variabel: penyederhanaan, penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kalkulator memfaktorkan semua pembilang dan penyebut atas bilangan rasional, mencari penyebut persekutuan bila diperlukan, mencoret faktor-faktor yang sama, dan menyebutkan nilai yang dikecualikan dari jawaban akhir, yang sering terlupa dalam penyelesaian.

Apa itu bentuk rasional?

Bentuk rasional adalah perbandingan dua polinomial $\frac{P(x)}{Q(x)}$ , dengan $Q$ bukan polinomial nol. Bentuk ini tidak terdefinisi ketika $Q(x) = 0$ : daerah asalnya adalah semua bilangan real kecuali akar-akar penyebut.

Dua bentuk rasional sama jika nilainya berimpit di setiap titik tempat keduanya terdefinisi. Menyederhanakan suatu bentuk berarti menggantinya dengan bentuk yang setara dan paling sederhana, yang pembilang dan penyebutnya tidak memiliki faktor persekutuan. Karena suatu faktor dapat hilang dari penyebut selama penyederhanaan, nilai yang dikecualikan dari bentuk semula harus dipertahankan secara eksplisit.

Cara menggunakan kalkulator bentuk rasional

Pilih penyederhanaan, penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian.
Masukkan bentuk pertama pada kolom A dengan pembilang dan penyebut di dalam kurung; misalnya (x^2 - 9)/(x^2 + 5x + 6).
Untuk keempat operasi hitung, masukkan bentuk kedua pada kolom B; misalnya 2/(x + 1).
Tekan «Hitung» dan ikuti langkah pemfaktoran, penyamaan penyebut, dan penyederhanaannya.
Tuliskan jawabannya beserta nilai-nilai yang dikecualikan.

Rumus

Penyederhanaan

\frac{P\,R}{Q\,R} = \frac{P}{Q},\quad R \neq 0

Penjumlahan bentuk berpenyebut sama

\frac{P}{D} + \frac{R}{D} = \frac{P + R}{D}

Perkalian

\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{PR}{QS}

Pembagian

\frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q} \cdot \frac{S}{R},\quad R \neq 0

Contoh soal dan pembahasan: Sederhanakan (x² − 9)/(x² + 5x + 6)

Contoh soal mengubah $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ ke bentuk paling sederhana. Kalkulator mengenali selisih dua kuadrat pada pembilang dan trinomial kuadrat yang dapat difaktorkan pada penyebut; faktor persekutuan keduanya adalah $x + 3$ .

Setelah penyederhanaan, kalkulator menyebutkan dua nilai yang dikecualikan: $-3$ dan $-2$ . Nilai $-3$ tidak lagi membuat penyebut yang sudah disederhanakan bernilai nol, tetapi nilai itu terlarang pada bentuk semula; karena itu nilai tersebut tetap dikecualikan.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

\frac{x - 3}{x + 2}

Cara kami membaca soal Anda

Sederhanakan bentuk rasional ke bentuk paling sederhana.

\frac{{x}^{2}-9}{{x}^{2}+5x+6}

Pembahasan langkah demi langkah

Tulis sebagai satu pecahan
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}$
Faktorkan pembilang dan penyebut
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)}$
Coret faktor persekutuan
Faktor x + 3 muncul di pembilang maupun penyebut. Mencoretnya tidak mengubah nilai di mana pun ekspresi awal terdefinisi.
$\frac{x - 3}{x + 2}$
Sebutkan nilai yang dikecualikan
Ekspresi awal tidak terdefinisi jika salah satu penyebut (atau pembagi) bernilai nol: x ≠ -3, x ≠ -2. Batasan ini tetap berlaku meskipun suatu faktor telah dicoret.

Rumus yang digunakan

Pencoretan
$\frac{a\,c}{b\,c} = \frac{a}{b}\quad (c \neq 0)$

Dalam bentuk paling sederhana, hasilnya (x - 3)/(x + 2). Nilai yang dikecualikan: x ≠ -3, x ≠ -2.

Pemeriksaan

Bentuk yang disederhanakan dibandingkan dengan ekspresi awal di empat titik uji dan hasilnya sesuai.

Penjelasan lengkap

Penjumlahan dan pengurangan

Untuk menjumlahkan bentuk rasional, samakan dulu penyebutnya. Penyebut persekutuan terkecil adalah hasil kali semua faktor berbeda dari penyebut-penyebutnya, masing-masing dengan pangkat terbesar yang muncul. Untuk $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$ , penyebut persekutuannya $(x - 1)(x + 1)$ ; setiap pembilang dikalikan dengan faktor yang tidak ada pada penyebutnya sendiri, sehingga diperoleh $\frac{(x + 1) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$ .

Pengurangan dilakukan dengan cara yang sama, tetapi seluruh pembilang kedua dikurangkan: letakkan pembilang itu di dalam kurung sebelum mendistribusikan tanda minusnya. Setelah menjumlahkan suku-suku sejenis, faktorkan pembilang yang baru dan periksa apakah ada faktor yang dapat dicoret dengan penyebut persekutuan.

Perkalian dan pembagian

Perkalian tidak memerlukan penyebut persekutuan. Faktorkan semuanya terlebih dulu, coret setiap faktor yang muncul di pembilang dan penyebut, lalu kalikan sisanya. Mencoret sebelum mengalikan mencegah polinomialnya membengkak.

Untuk membagi, kalikan dengan kebalikan bentuk kedua. Ini menambah satu batasan baru: pembilang pembagi tidak boleh nol, karena setelah dibalik ia menjadi penyebut. Hasil bagi $\frac{x}{x + 2}$ oleh $\frac{x - 1}{x + 2}$ adalah $\frac{x}{x - 1}$ , dengan nilai yang dikecualikan $x \neq -2$ dan $x \neq 1$ .

Mengapa nilai yang dikecualikan penting?

Nilai yang dikecualikan bukan sekadar formalitas. Grafik $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ menyerupai grafik $\frac{x - 3}{x + 2}$ , tetapi memiliki titik lubang di $x = -3$ dan asimtot tegak di $x = -2$ . Saat menyelesaikan persamaan rasional, calon penyelesaian yang sama dengan nilai yang dikecualikan bukan penyelesaian sebenarnya dan harus dibuang.

Kesalahan yang sering terjadi

Mencoret suku alih-alih faktor; misalnya mencoret $x$ pada $\frac{x + 2}{x}$ .
Menjumlahkan pembilang dan penyebut secara terpisah: $\frac1x + \frac1y$ tidak sama dengan $\frac{2}{x + y}$ .
Lupa menerapkan tanda minus pada seluruh pembilang kedua saat mengurangkan.
Kehilangan nilai yang dikecualikan setelah mencoret faktor persekutuan.
Saat membagi, membalik bentuk pertama alih-alih bentuk kedua.

Kiat

Sebelum melakukan apa pun, faktorkan semua pembilang dan penyebut sepenuhnya.
Biarkan penyebut persekutuan dalam bentuk hasil kali; jika kurung dijabarkan terlalu cepat, penyederhanaan menjadi lebih sulit.
Sebelum menyederhanakan, catat nilai yang dikecualikan dari semua penyebut, termasuk pembilang pembagi.
Periksa jawaban dengan menyubstitusikan nilai seperti $x = 5$ ke bentuk semula dan bentuk yang sudah disederhanakan.
Gunakan kalkulator daerah asal dan daerah hasil untuk melihat daerah asal hasilnya secara lengkap.

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana cara menyederhanakan bentuk rasional?

Faktorkan pembilang dan penyebut sepenuhnya, coret faktor-faktor persekutuannya, dan sebutkan nilai x yang membuat penyebut semula nol sebagai nilai yang dikecualikan.

Apa itu nilai yang dikecualikan?

Nilai variabel yang membuat penyebut nol, sehingga bentuk itu tidak terdefinisi di titik tersebut. Nilai yang dikecualikan dari bentuk semula tetap dikecualikan setelah penyederhanaan.

Bagaimana cara mencari penyebut persekutuan?

Faktorkan setiap penyebut, lalu kalikan semua faktor yang berbeda, masing-masing dengan pangkat terbesar yang muncul pada sedikitnya satu penyebut.

Mengapa x pada (x + 2)/x tidak dapat dicoret?

x pada pembilang adalah suku, bukan faktor dari seluruh pembilang. Hanya faktor dari seluruh pembilang dan seluruh penyebut yang dapat dicoret.

Bagaimana cara membagi bentuk rasional?

Kalikan bentuk pertama dengan kebalikan bentuk kedua, lalu faktorkan dan sederhanakan. Pembilang bentuk kedua menambah nilai yang dikecualikan baru, karena ia menjadi penyebut.

Apakah kalkulator dapat bekerja dengan lebih dari satu variabel?

Kalkulator bekerja dengan bentuk rasional satu variabel. Untuk polinomial banyak variabel, gunakan kalkulator penyederhanaan bentuk aljabar.

Apa beda titik lubang dengan asimtot?

Titik lubang muncul ketika suatu faktor tercoret di antara pembilang dan penyebut. Asimtot tegak muncul ketika suatu faktor tetap berada di penyebut setelah penyederhanaan.

Coba kalkulator bentuk rasional

Sederhanakan, jumlahkan, kurangkan, kalikan, dan bagi bentuk rasional dengan nilai yang dikecualikan pada setiap langkah.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI