Komposisi Fungsi — Menghitung f(g(x)) Langkah demi Langkah

Tentang kalkulator komposisi fungsi

Komposisi menyambungkan dua fungsi seperti rantai, sehingga hasil fungsi yang satu menjadi masukan bagi fungsi lainnya. Dengan cara inilah fungsi yang rumit dibangun dari fungsi-fungsi sederhana: $\sqrt{x - 4}$ adalah akar kuadrat yang diterapkan setelah mengurangkan 4, sedangkan $(2x - 3)^2 + 1$ adalah pengkuadratan dan penambahan satu setelah suatu fungsi linear. Kemampuan melihat lapisan-lapisan ini diperlukan untuk aturan rantai, fungsi invers, dan pemodelan proses yang berlangsung dalam beberapa tahap.

Kalkulator menyisipkan satu fungsi ke dalam fungsi lainnya, menjabarkan kurung, menyederhanakan hasilnya, dan mencari daerah asal komposisi, termasuk syarat-syarat yang berasal dari fungsi dalam. Jika Anda memasukkan suatu nilai, kalkulator juga menghitung komposisinya di titik itu dari dalam ke luar; dengan begitu Anda melihat bagaimana bilangan tersebut melewati setiap fungsi.

Apa itu komposisi fungsi?

Komposisi $f$ dan $g$ , yang ditulis $(f \circ g)(x)$ dan dibaca «f bundaran g», didefinisikan sebagai $f(g(x))$ : $g$ diterapkan lebih dulu, lalu $f$ diterapkan pada hasilnya. Fungsi di sebelah kanan bekerja lebih dulu, berlawanan dengan arah membaca.

Operasi komposisi tidak bersifat komutatif. Untuk $f(x) = x^2$ dan $g(x) = x + 1$ , diperoleh $f(g(x)) = (x + 1)^2$ , sedangkan $g(f(x)) = x^2 + 1$ . Suatu fungsi juga dapat dikomposisikan dengan dirinya sendiri: $f \circ f$ menerapkan $f$ dua kali.

Cara menggunakan kalkulator komposisi fungsi

Masukkan fungsi luar f(x) dan fungsi kedua g(x), keduanya dalam variabel $x$ .
Pilih komposisinya: f∘g, g∘f, f∘f, atau g∘g.
Jika mau, masukkan nilai $x$ untuk menghitung komposisi di titik itu.
Tekan «Komposisikan» untuk melihat substitusinya, hasil yang sudah disederhanakan, dan daerah asalnya.
Bandingkan dengan urutan terbalik untuk melihat bagaimana hasilnya berubah.

Rumus

Definisi

(f \circ g)(x) = f(g(x))

Daerah asal komposisi

\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{x \in \operatorname{Dom}(g) : g(x) \in \operatorname{Dom}(f)\}

Sifat asosiatif

f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h

Pemeriksaan fungsi invers

f(f^{-1}(x)) = x

Contoh soal dan pembahasan: f(g(x)), f = x² + 1, g = 2x − 3, di x = 2

Contoh soal memakai $f(x) = x^2 + 1$ dan $g(x) = 2x - 3$ lalu membentuk $f \circ g$ . Setiap $x$ pada $f$ diganti dengan seluruh bentuk $2x - 3$ ; hasilnya $(2x - 3)^2 + 1$ , dan setelah kurungnya dijabarkan menjadi $4x^2 - 12x + 10$ .

Contoh ini juga menghitung nilainya untuk $x = 2$ . Langkah demi langkah diperoleh $g(2) = 1$ dan $f(1) = 2$ ; rumus yang sudah disederhanakan juga menghasilkan nilai yang sama, $16 - 24 + 10 = 2$ . Karena kedua fungsi berupa polinomial, daerah asalnya adalah semua bilangan real.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10

Cara kami membaca soal Anda

Tentukan (f ∘ g)(x) = f(g(x)) dan hitung nilainya.

f(x) = {x}^{2}+1,\ g(x) = 2x-3

Pembahasan langkah demi langkah

Tulis fungsi-fungsinya
$f(x) = {x}^{2}+1,\quad g(x) = 2x-3$
(f ∘ g)(x) berarti f(g(x)): ganti setiap x dalam f dengan g(x)
$(f \circ g)(x) = f\big(2x-3\big)$
Substitusikan
$(f \circ g)(x) = {\left(2x-3\right)}^{2}+1$
Buka tanda kurung dan kumpulkan suku sejenis
$(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10$
Domain: x harus diperbolehkan dalam g, dan g(x) harus diperbolehkan dalam f
$\text{Domain dari } f \circ g:\ (-\infty, \infty)$
Hitung dari dalam ke luar di x = 2: pertama g(2) = 1
$g(2) = 1$
Lalu f(1) = 2
$f\big(1\big) = 2$

Rumus yang digunakan

Komposisi
$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$

Komposisi memasukkan keluaran g ke dalam f. Urutannya penting: f∘g menerapkan g lebih dulu dan biasanya berbeda dari g∘f. Domain ditentukan sebelum penyederhanaan, karena mencoret faktor dapat menyembunyikan nilai yang tidak dapat diterima fungsi komposisi.

Pemeriksaan

Diperiksa: f(g(x)) dan rumus akhirnya sesuai di titik-titik sampel.
Diperiksa: rumus yang disederhanakan juga menghasilkan 2 di x = 2.

Penjelasan lengkap

Substitusi yang benar

Cara paling aman membentuk komposisi adalah menuliskan fungsi luar dengan kurung kosong sebagai pengganti $x$ , misalnya $f(\;) = (\;)^2 + 1$ , lalu memasukkan seluruh bentuk dalam ke setiap pasangan kurung. Kurung itu penting: ketika $x$ pada $x^2$ diganti dengan $2x - 3$ , Anda memperoleh $(2x - 3)^2$ , bukan $2x - 3^2$ .

Setelah substitusi, jabarkan kurungnya dan jumlahkan suku-suku sejenis. Kalkulator lebih dulu menampilkan substitusi yang belum disederhanakan agar Anda dapat membandingkannya dengan tulisan Anda sendiri, lalu menampilkan bentuk yang sudah disederhanakan.

Mencari daerah asal

Suatu masukan termasuk daerah asal $f \circ g$ hanya jika $g$ menerimanya dan $f$ juga menerima hasil yang diberikan $g$ . Untuk $f(x) = \sqrt{x}$ dan $g(x) = x - 4$ , $g$ menerima semua bilangan, tetapi $f$ memerlukan masukan yang tidak negatif; karena itu $x - 4 \geq 0$ , dan daerah asalnya $[4, \infty)$ .

Syarat dari fungsi dalam tetap berlaku walaupun penyederhanaan menyembunyikannya. Jika $f(x) = x^2$ dan $g(x) = \sqrt{x}$ , komposisinya dapat disederhanakan menjadi $x$ , tetapi hanya nilai $x \geq 0$ yang diterima, karena $g$ harus terdefinisi lebih dulu. Karena itu daerah asal dicari berdasarkan kedua tahap, bukan hanya berdasarkan rumus akhirnya.

Di mana komposisi dipakai?

Turunan fungsi komposisi dicari dengan aturan rantai $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$ . Mengenali fungsi dalam dan fungsi luar adalah langkah pertama untuk menerapkan aturan ini. Komposisi juga menggambarkan konversi satuan, perubahan persentase yang berturut-turut, dan pergeseran grafik: $f(x - 2)$ adalah komposisi $f$ dengan pergeseran dua satuan ke kanan.

Penguraian adalah keterampilan kebalikannya: untuk $h(x) = \sqrt{3x + 7}$ dipilih fungsi dalam $g(x) = 3x + 7$ dan fungsi luar $f(x) = \sqrt{x}$ , sehingga $h = f \circ g$ . Sering kali ada beberapa penguraian yang mungkin, dan yang terbaik adalah yang mempermudah langkah berikutnya, seperti menurunkan atau mencari invers. Dengan berlatih ke dua arah menggunakan kalkulator, Anda akan terbiasa melihat lapisan-lapisan dalam fungsi.

Kesalahan yang sering terjadi

Menerapkan fungsi dengan urutan yang salah; pada $f(g(x))$ , fungsi dalam $g$ bekerja lebih dulu.
Mengalikan fungsi alih-alih mengomposisikannya: $f(g(x))$ bukan $f(x)\,g(x)$ .
Lupa memasang kurung saat menyubstitusi; ini mengubah pangkat dan tanda.
Mencari daerah asal hanya dari rumus yang sudah disederhanakan sehingga syarat fungsi dalam hilang.
Menganggap $f \circ g = g \circ f$ ; periksa kedua urutannya.

Kiat

Periksa komposisi yang sudah disederhanakan dengan menghitung langkah demi langkah untuk suatu bilangan sederhana.
Sebelum menyubstitusi, tuliskan fungsi luar dengan kurung kosong.
Tuliskan syarat fungsi dalam lebih dulu, lalu syarat fungsi luar.
Cari fungsi invers dengan kalkulator fungsi invers, lalu komposisikan untuk memastikan bahwa $f(f^{-1}(x)) = x$ .
Sebelum menurunkan fungsi komposisi, tentukan fungsi dalam dan fungsi luarnya.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa arti f(g(x))?

Artinya g diterapkan pada x lebih dulu, lalu f diterapkan pada hasilnya. Komposisi ditulis f∘g («f bundaran g»), dan fungsi di sebelah kanan selalu bekerja lebih dulu.

Apakah f∘g sama dengan g∘f?

Umumnya tidak. Untuk f(x) = x² dan g(x) = x + 1, diperoleh f(g(x)) = (x + 1)², tetapi g(f(x)) = x² + 1. Dengan kalkulator, Anda dapat menghitung kedua urutannya.

Bagaimana cara mencari daerah asal komposisi?

Ambil masukan yang diterima fungsi dalam, lalu sisakan hanya masukan yang keluarannya diterima fungsi luar. Syarat fungsi dalam tetap berlaku walaupun rumus yang sudah disederhanakan menyembunyikannya.

Apakah suatu fungsi dapat dikomposisikan dengan dirinya sendiri?

Bisa. Pilih f∘f atau g∘g. Untuk f(x) = 2x + 1 diperoleh f(f(x)) = 4x + 3; karena itu f(f(3)) = 15.

Bagaimana hubungan komposisi dengan turunan?

Menurut aturan rantai, turunan f(g(x)) sama dengan hasil kali f′(g(x)) dan g′(x). Mengenali fungsi dalam dan fungsi luar adalah langkah pertamanya.

Apakah kalkulator menghitung komposisi di suatu titik?

Ya. Masukkan nilai x; kalkulator bekerja dari dalam ke luar: mula-mula fungsi dalam pada nilai itu, lalu fungsi luar pada hasilnya. Menyubstitusikan nilai yang sama ke rumus yang sudah disederhanakan juga harus menghasilkan bilangan yang sama.

Bagaimana memeriksa bahwa dua fungsi saling invers?

Komposisikan keduanya dengan kedua urutan. Jika f(g(x)) maupun g(f(x)) dapat disederhanakan menjadi x pada daerah asalnya masing-masing, kedua fungsi itu saling invers.

Coba kalkulator komposisi fungsi

Masukkan f dan g; dapatkan komposisi yang sudah disederhanakan, daerah asalnya, dan nilainya di suatu titik.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI

Kalkulator Komposisi Fungsi