Kalkulator Fungsi Invers

Tentang kalkulator fungsi invers

Fungsi invers membatalkan apa yang dilakukan suatu fungsi. Jika $f$ mengubah derajat Celsius menjadi Fahrenheit, inversnya mengubah Fahrenheit kembali menjadi Celsius; jika $f$ menggandakan suatu bilangan lalu menambahkan tiga, inversnya mengurangkan tiga lalu membagi dua. Secara manual, peran masukan dan keluaran ditukar lalu persamaannya diselesaikan: untuk fungsi linear ini pekerjaan rutin, tetapi dengan pecahan, akar, dan fungsi eksponen pekerjaannya cepat menjadi rumit.

Kalkulator mencari $f^{-1}(x)$ untuk fungsi linear, rasional, pangkat, akar, eksponen, dan logaritma, serta fungsi trigonometri dasar. Kalkulator menampilkan langkah penukaran dan langkah menyatakan variabel secara tersendiri, menyebutkan daerah asal fungsi invers, dan jika $f$ tidak satu-satu, memilih cabang baku serta memberitahukannya. Setiap hasil diperiksa secara numerik: pada titik-titik uji, $f$ dan $f^{-1}$ dikomposisikan.

Apa itu fungsi invers?

Invers dari $f$ adalah fungsi $f^{-1}$ yang memenuhi $f^{-1}(f(x)) = x$ untuk setiap $x$ di daerah asal $f$ dan $f(f^{-1}(y)) = y$ untuk setiap $y$ di daerah hasil $f$ . Penulisan $f^{-1}$ menyatakan fungsi invers, bukan kebalikan perkalian $\frac{1}{f}$ .

Hanya fungsi satu-satu yang memiliki invers, karena setiap keluaran harus berasal dari tepat satu masukan. Pada grafik, hal ini diperiksa dengan uji garis mendatar: tidak ada garis mendatar yang memotong kurva dua kali. Grafik $f^{-1}$ adalah pencerminan grafik $f$ terhadap garis $y = x$ ; daerah asal dan daerah hasil pun bertukar peran.

Cara menggunakan kalkulator fungsi invers

Masukkan fungsi dalam variabel $x$ ; misalnya (2x + 3)/(x - 1), x^3 + 1, atau e^x.
Tekan «Cari invers».
Baca langkah-langkahnya: f(x) diganti dengan y, x dan y ditukar, lalu y dinyatakan tersendiri.
Perhatikan daerah asal f⁻¹ dan, jika dilakukan oleh kalkulator, pembatasan pada suatu cabang.
Pastikan melalui baris-baris pemeriksaan bahwa f dan f⁻¹ saling meniadakan.

Rumus

Sifat pendefinisi

f^{-1}(f(x)) = x,\quad f(f^{-1}(x)) = x

Tukar lalu nyatakan tersendiri

y = f(x) \;\to\; x = f(y) \;\to\; y = f^{-1}(x)

Pertukaran daerah asal dan daerah hasil

\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \operatorname{Ran}(f)

Invers fungsi pecahan linear

f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{a - cx}

Contoh soal dan pembahasan: (2x + 3)/(x − 1)

Contoh soal mencari invers $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ . Setelah penukaran, pada persamaan $x = \frac{2y + 3}{y - 1}$ penyebutnya dihilangkan, semua suku yang memuat $y$ dikumpulkan di satu ruas, lalu $y$ difaktorkan keluar.

Hasilnya $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ . Daerah asalnya tidak memuat 2, karena $f$ tidak pernah bernilai 2: ketika $x$ membesar, nilai $f(x)$ mendekati asimtot datar $y = 2$ tetapi tidak mencapainya.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}

Cara kami membaca soal Anda

Tentukan f⁻¹, yaitu fungsi yang membatalkan f(x) = (2 x + 3) / (x - 1).

f(x) = \frac{2x+3}{x-1}

Pembahasan langkah demi langkah

Ganti f(x) dengan y
$y = \frac{2x+3}{x-1}$
Kalikan kedua ruas dengan penyebutnya
$y(1x+-1) = 2x+3$
Kumpulkan suku-suku x di satu ruas lalu keluarkan x
$x(1y-2) = 3--1y$
Bagi untuk menyisakan x sendirian
$x = \frac{y+3}{y-2}$
Diselesaikan untuk x
$x = \frac{y+3}{y-2}$
Tukar x dan y untuk menamai inversnya
$f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$
Domain f⁻¹ adalah range dari f
$\text{Domain dari } f^{-1}:\ (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

Rumus yang digunakan

Invers
$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$

Untuk mencari invers fungsi, tulis y = f(x), batalkan operasinya dalam urutan terbalik hingga x tersisa sendirian, lalu tukar hurufnya.

Pemeriksaan

Diperiksa: f(f⁻¹(y)) = y di 12 titik sampel.
Diperiksa: f⁻¹(f(x)) = x di 12 titik sampel.

Penjelasan lengkap

Mengapa metode «tukar lalu nyatakan tersendiri» berhasil?

Persamaan $y = f(x)$ menentukan semua titik $(x, y)$ pada grafik. Ketika hurufnya ditukar, Anda mendefinisikan himpunan titik-titik hasil pencerminan, yaitu tepat grafik fungsi invers. Ketika $y$ dinyatakan tersendiri dalam persamaan baru, himpunan titik itu diubah kembali menjadi rumus fungsi. Metode ini hanya gagal ketika langkah tersebut menghasilkan lebih dari satu penyelesaian; artinya $f$ tidak satu-satu.

Setiap jenis fungsi memiliki operasi kebalikannya: pengurangan membatalkan penjumlahan, pembagian membatalkan perkalian, akar pangkat tiga membatalkan pemangkatan tiga, $\ln$ membatalkan $e^x$ , dan $\log_2$ membatalkan $2^x$ . Untuk mencari invers $x^3 + 1$ , batalkan operasi-operasi ini dengan urutan terbalik: kurangkan 1 lebih dulu, lalu ambil akar pangkat tiga; diperoleh $\sqrt[3]{x - 1}$ .

Membatasi daerah asal

Fungsi seperti $x^2$ tidak lolos uji garis mendatar: baik $2$ maupun $-2$ menghasilkan nilai 4. Agar memiliki invers, hanya sebagian daerah asalnya yang diambil. Kalkulator memakai cabang lazim $x \geq 0$ , yang menghasilkan $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ , dan menyebutkan pembatasan itu dalam jawaban. Untuk $x^2 + 1$ , cabang yang sama menghasilkan fungsi $\sqrt{x - 1}$ dengan daerah asal $[1, \infty)$ .

Fungsi trigonometri juga dibatasi secara baku. Untuk $\sin x$ , kalkulator memakai interval $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ ; interval ini menghasilkan fungsi $\arcsin x$ pada $[-1, 1]$ .

Bagaimana hasilnya diperiksa?

Setelah menemukan calon fungsi invers, algoritma menghitung $f(f^{-1}(y))$ untuk nilai-nilai uji $y$ dari daerah hasil $f$ dan mensyaratkan bahwa hasilnya kembali $y$ ; jika tidak, fungsi invers tidak diberikan. Algoritma juga menghitung $f^{-1}(f(x))$ : jika $x$ hanya kembali untuk sebagian masukan, $f$ tidak satu-satu dan cabang yang dipakai disebutkan dalam jawaban. Dengan begitu, kesalahan tanda dan cabang yang keliru, yang mudah terlewat bila hanya mengandalkan manipulasi aljabar, dapat tertangkap.

Kesalahan yang sering terjadi

Mengartikan $f^{-1}(x)$ sebagai $\frac{1}{f(x)}$ ; pangkat di sini menyatakan fungsi invers, bukan kebalikan perkalian.
Lupa menukar $x$ dan $y$ lalu hanya menyatakan $x$ dari persamaan $y = f(x)$ ; akibatnya jawaban bergantung pada $y$ .
Mengatakan bahwa invers $x^2$ adalah $\pm\sqrt x$ ; fungsi hanya memberikan satu nilai, sehingga satu cabang harus dipilih.
Tidak menyebutkan daerah asal fungsi invers, yang sama dengan daerah hasil fungsi semula.
Membatalkan operasi dengan urutan semula, bukan dengan urutan terbalik.

Kiat

Periksa satu nilai: jika $f(2) = 7$ , maka nilai $f^{-1}(7)$ harus 2.
Sebelum mencari invers, gambar grafik $f$ dengan kalkulator grafik dan periksa dengan uji garis mendatar.
Untuk perbandingan dua bentuk linear, hilangkan penyebutnya, kumpulkan suku-suku yang memuat $y$ , lalu faktorkan $y$ keluar.
Cari daerah hasil $f$ dengan kalkulator daerah asal dan daerah hasil; itulah tepatnya daerah asal fungsi invers.
Gunakan kalkulator komposisi fungsi untuk memastikan bahwa $f(f^{-1}(x))$ dapat disederhanakan menjadi $x$ .

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana cara mencari invers suatu fungsi?

Ganti f(x) dengan y, tukar x dan y, nyatakan y secara tersendiri dalam persamaan baru, lalu tuliskan hasilnya sebagai f⁻¹(x). Setelah itu sebutkan daerah asalnya: daerah asal ini sama dengan daerah hasil fungsi semula.

Apakah setiap fungsi memiliki invers?

Tidak, hanya fungsi satu-satu. Fungsi seperti x² atau sin x yang tidak lolos uji garis mendatar harus dibatasi agar memiliki invers.

Cabang mana yang dipilih kalkulator untuk x²?

Kalkulator memakai cabang x ≥ 0; karena itu fungsi inversnya adalah akar kuadrat. Pembatasan ini disebutkan dalam jawaban agar Anda tahu cabang mana yang dipakai.

Apakah f⁻¹(x) sama dengan 1/f(x)?

Tidak. Pangkat −1 menyatakan fungsi invers. Kebalikan perkalian 1/f(x) adalah fungsi lain dan biasanya ditulis sebagai pecahan atau dalam bentuk (f(x))⁻¹.

Apa invers dari e^x?

Logaritma natural ln x, yang terdefinisi untuk x > 0. Dengan cara yang sama, invers dari 2^x adalah logaritma x dengan basis 2.

Bagaimana hubungan grafik f dan f⁻¹?

Keduanya simetris terhadap garis y = x: titik (a, b) pada grafik yang satu bersesuaian dengan titik (b, a) pada grafik yang lain.

Bagaimana kalkulator memeriksa fungsi invers?

Kalkulator menghitung f(f⁻¹(y)) pada beberapa titik uji dan hanya memberikan fungsi invers jika semua nilai kembali tanpa berubah. Kalkulator juga menghitung komposisi dengan urutan sebaliknya untuk mengenali keadaan yang memerlukan pembatasan pada suatu cabang.

Coba kalkulator fungsi invers

Masukkan fungsi; dapatkan inversnya, daerah asal f⁻¹, dan pemeriksaannya langkah demi langkah.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI