Komposisi Fungsi: Cara Menghitung dan Memakai f(g(x))

Apa itu komposisi?

Untuk dua fungsi $f$ dan $g$, komposisi $f \circ g$, dibaca "f komposisi g", adalah fungsi yang menerapkan $g$ lebih dahulu, lalu menerapkan $f$ pada hasilnya:

Urutan adalah sumber kebingungan terbesar. Fungsi yang ditulis di sebelah kanan, yang paling dekat dengan $x$, bekerja lebih dahulu. Bayangkan sebuah ban berjalan di pabrik: $x$ masuk ke mesin $g$, hasil $g(x)$ diteruskan ke mesin $f$, dan di ujungnya keluar $f(g(x))$. Agar ini berjalan, setiap nilai $g$ yang dipakai harus merupakan masukan yang sah bagi $f$.

Komposisi bukan perkalian. Hasil kali $(fg)(x)$ berarti $f(x) \cdot g(x)$, yaitu mengalikan dua nilai; sedangkan $(f \circ g)(x)$ menempatkan satu fungsi di dalam fungsi lainnya. Lingkaran kecil itulah yang menentukan segalanya.

Komposisi dua rumus

Untuk mencari $f(g(x))$, ambil rumus $f$ dan ganti setiap $x$ dengan seluruh rumus $g(x)$ di dalam tanda kurung. Kemudian sederhanakan.

Kedua urutan menghasilkan fungsi yang sama sekali berbeda. Secara umum komposisi tidak bersifat komutatif: $f \circ g$ dan $g \circ f$ hampir selalu berbeda, dan jangan pernah menganggap keduanya sama. Sebaliknya, komposisi bersifat asosiatif: $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$; rantai tiga fungsi dapat dihitung dari dalam ke luar.

Saat mensubstitusi, selalu tempatkan fungsi dalam di dalam tanda kurung. Tanpa kurung, untuk $g(x) = x^2$, bentuk $g(2x + 3)$ mudah berubah menjadi $2x + 3^2$, dan itu salah.

Menghitung komposisi dari bilangan dan tabel

Sering kali yang diperlukan hanya satu nilai tertentu. Bekerjalah dari dalam ke luar: hitung dulu fungsi dalam, lalu pakai hasilnya sebagai masukan fungsi luar. Untuk itu Anda tidak perlu mencari rumus komposisinya.

Misalkan sebuah tabel memberikan nilai $g(1) = 4$, $g(2) = 0$, $g(3) = 2$ dan $f(0) = 5$, $f(2) = -1$, $f(4) = 3$. Maka $f(g(1)) = f(4) = 3$, $f(g(2)) = f(0) = 5$, dan $f(g(3)) = f(2) = -1$. Seandainya tabel tidak memuat nilai $f$ untuk bilangan yang diperoleh dari $g$, komposisinya tidak terdefinisi pada masukan itu.

Pada grafik, urutan kerjanya juga sama. Untuk mencari $f(g(3))$ dari dua grafik, baca $g(3)$ dari grafik $g$, cari nilai itu pada sumbu x grafik $f$, lalu baca nilai fungsinya.

Domain fungsi komposisi

Domain $f \circ g$ terdiri tepat atas nilai-nilai $x$ yang memenuhi dua syarat: $x$ berada dalam domain $g$, dan $g(x)$ berada dalam domain $f$. Menyederhanakan rumus komposisi dapat menyembunyikan syarat pertama; karena itu, carilah domain dari fungsi-fungsi aslinya.

Sebuah contoh singkat menunjukkan mengapa hal ini penting. Jika $f(x) = x^2$ dan $g(x) = \sqrt{x}$, maka $f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$, tetapi hanya untuk $x \ge 0$. Rumus $x$ saja memberi kesan bahwa setiap bilangan real dapat diterima, padahal tidak demikian. Panduan domain dan range membahas pembatasan yang dipakai di sini secara lebih rinci.

Menguraikan suatu fungsi

Penguraian berjalan ke arah sebaliknya: untuk fungsi rumit $h$, dicari fungsi-fungsi yang lebih sederhana sehingga $h = f \circ g$. Carilah bentuk dalam yang dikenai operasi paling luar.

• $h(x) = (3x - 1)^5$: fungsi dalam $g(x) = 3x - 1$, fungsi luar $f(u) = u^5$.
• $h(x) = \sqrt{x^2 + 4}$: fungsi dalam $g(x) = x^2 + 4$, fungsi luar $f(u) = \sqrt{u}$.
• $h(x) = e^{\sin x}$: fungsi dalam $g(x) = \sin x$, fungsi luar $f(u) = e^u$.
• $h(x) = \frac{1}{(x + 2)^2}$: fungsi dalam $g(x) = x + 2$, fungsi luar $f(u) = \frac{1}{u^2}$; atau rantai tiga langkah $u = x + 2$, $v = u^2$, $w = \frac{1}{v}$.

Penguraian tidak tunggal, tetapi penguraian yang paling berguna biasanya memiliki fungsi dalam yang sederhana. Menyatakan bagian dalam dengan $u$ adalah keterampilan yang tepat diperlukan untuk aturan rantai dan integral substitusi.

Komposisi dalam kalkulus dan fungsi invers

Dua topik besar dibangun di atas komposisi. Yang pertama adalah aturan rantai: turunan $f(g(x))$ sama dengan $f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Untuk $(3x - 1)^5$, ini memberikan $5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 15(3x - 1)^4$. Topik ini dibahas secara rinci dalam panduan aturan turunan.

Yang kedua: dua fungsi saling invers jika dan hanya jika komposisi dalam kedua urutan mengembalikan masukannya: pada himpunan yang bersangkutan, $f(f^{-1}(x)) = x$ dan $f^{-1}(f(x)) = x$. Untuk $f(x) = 2x + 3$ dan $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$, kita memperoleh $f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = x - 3 + 3 = x$. Seperti dijelaskan dalam panduan fungsi invers, fungsi invers biasanya diperiksa dengan cara ini.

Contoh dari kehidupan nyata: diskon dan kupon

Sebuah toko memberi diskon 20% dan Anda juga memiliki kupon senilai 10 dolar. Misalkan $d(p) = 0.8p$ adalah penerapan diskon pada harga $p$, dan $c(p) = p - 10$ adalah pemakaian kupon. Urutannya penting.

• Kupon dulu, lalu diskon: $d(c(p)) = 0.8(p - 10) = 0.8p - 8$.
• Diskon dulu, lalu kupon: $c(d(p)) = 0.8p - 10$.
• Untuk barang seharga 50 dolar, urutan pertama menjadi 32 dolar, sedangkan urutan kedua 30 dolar.

Jika diskon persen diterapkan lebih dahulu, di sini Anda selalu menghemat 2 dolar, karena kupon tidak ikut mengecil oleh persentase. Situasi ketika satu proses menjadi masukan proses lain seperti ini adalah komposisi, dan menunjukkan bahwa urutan $f$ dan $g$ bukan sekadar rincian teknis.

Kesalahan yang sering terjadi

• Menerapkan fungsi dalam urutan yang salah: dalam $f(g(x))$, $g$ bekerja lebih dahulu.
• Mengalikan $f(x)$ dengan $g(x)$ alih-alih mensubstitusi.
• Mensubstitusi tanpa tanda kurung, terutama pada pangkat dan tanda minus.
• Mencari domain hanya dari rumus yang sudah disederhanakan dan melupakan nilai-nilai yang dikecualikan oleh fungsi dalam.
• Menganggap $f \circ g = g \circ f$.

Anda dapat memeriksa kedua urutan dan domainnya dengan kalkulator komposisi fungsi, yang memperlihatkan langkah substitusi secara jelas.

Mengapa komposisi layak dipelajari?

Hampir semua fungsi yang Anda temui setelah aljabar diperoleh melalui komposisi. Rumus untuk suhu minuman yang mendingin, simpangan bandul yang berayun, atau nilai sebuah tabungan biasanya berupa fungsi luar sederhana, seperti eksponen, sinus, atau pangkat, yang diterapkan pada bentuk dalam yang bahkan lebih sederhana. Orang yang melihat struktur ini dapat menebak bentuk grafiknya, tahu di mana fungsi terdefinisi, dan memilih teknik yang tepat untuk turunan dan integral.

Komposisi juga menjelaskan transformasi grafik. Menggeser grafik $f$ tiga satuan ke kanan menghasilkan $f(x - 3)$, yaitu komposisi $f$ dengan fungsi dalam $x - 3$. Meregangkan sepanjang sumbu y dengan faktor 2 menghasilkan $2f(x)$, yaitu komposisi fungsi luar $2u$ dengan $f$. Dari sudut pandang ini, transformasi di dalam tanda kurung mengubah masukan dan bekerja secara mendatar, sedangkan transformasi di luar mengubah keluaran dan bekerja secara tegak. Pengamatan ini saja sudah menjelaskan mengapa pergeseran mendatar tampak bergerak ke arah yang berlawanan.

Latihan beserta penyelesaiannya

Kerjakan di kertas, lalu cocokkan. Setiap soal memakai satu gagasan dari bagian-bagian sebelumnya.

1. Jika $f(x) = x^2 + 1$ dan $g(x) = x - 3$, tentukan $f(g(x))$. Penyelesaian: $(x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10$.
2. Dengan fungsi yang sama, tentukan $g(f(x))$. Penyelesaian: $x^2 + 1 - 3 = x^2 - 2$.
3. Jika $f(x) = \sqrt{x}$ dan $g(x) = 4 - x$, tentukan domain $f(g(x))$. Penyelesaian: $4 - x \ge 0$, jadi $(-\infty, 4]$.
4. Uraikan $h(x) = \ln(x^2 + 1)$. Penyelesaian: fungsi dalam $x^2 + 1$, fungsi luar $\ln u$.
5. Jika $f(x) = 3x - 2$, tentukan $f(f(2))$. Penyelesaian: $f(2) = 4$ dan $f(4) = 10$.

Jika pada soal pertama Anda memperoleh $x^2 - 2$, Anda menerapkan fungsi dalam urutan yang salah: itu jawaban soal kedua. Tertukar urutan adalah kesalahan yang paling sering, dan pemeriksaan dengan bilangan seperti $x = 0$ langsung mengungkapnya: $f(g(0)) = f(-3) = 10$, sedangkan $g(f(0)) = g(1) = -2$.

Pertanyaan yang sering diajukan