Kalkulus

Aturan Turunan dengan Penjelasan dan Contoh Soal

Q: Apakah aturan pangkat berlaku untuk eksponen negatif dan pecahan?

Ya. Aturan ini berlaku untuk setiap eksponen real: d/(dx)x^(-1) = -x^(-2) dan d/(dx)x^(1/3) = 1/3x^(-2/3). Tulis ulang akar dan kebalikan dalam bentuk pangkat terlebih dahulu.

Q: Bisakah tanpa aturan pembagian?

Sering kali bisa. Tulis f/g sebagai f · g^(-1) lalu terapkan aturan perkalian dan aturan rantai, atau sederhanakan pecahannya lebih dulu. Kedua cara menghasilkan hasil yang sama; tetapi terkadang diperlukan penyederhanaan tambahan agar hasilnya tampak sama.

Q: Bagaimana mengetahui bahwa aturan rantai diperlukan?

Selalu, ketika fungsi memuat sesuatu selain x saja: pangkat dari suatu kurung, fungsi trigonometri dari 2x, e yang dipangkatkan dengan sesuatu selain x, atau logaritma suatu ekspresi. Jika fungsi dalamnya hanya x, turunannya 1 dan aturan rantai tidak mengubah apa pun.

Q: Mengapa turunan e pangkat x sama dengan fungsinya sendiri?

Bilangan e ≈ 2.71828 adalah tepat basis yang membuat gradien a^x di titik x = 0 bernilai 1. Berkat sifat ini, definisi limit menunjukkan bahwa gradien di setiap titik sama dengan nilai fungsi di titik itu.

Penulis MathSolver Pro Editorial Team · Diterbitkan 25 Oktober 2026

Menghitung turunan dengan definisi limit itu melelahkan. Sekumpulan kecil aturan, yang masing-masing cukup dibuktikan sekali dari definisi tersebut, memungkinkan Anda menurunkan hampir semua rumus dalam beberapa baris. Panduan ini memperkenalkan setiap aturan, menjelaskan mengapa aturan itu berlaku, dan menunjukkan cara menggabungkannya.

Mengapa aturan, bukan limit?

Turunan didefinisikan sebagai limit, $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ , dan artikel apa itu turunan menerapkan definisi ini pada fungsi-fungsi sederhana. Melakukannya untuk setiap soal akan sangat melelahkan. Karena itu, para matematikawan membuktikan sekali untuk selamanya aturan-aturan umum yang kini mencakup polinomial, akar, fungsi eksponensial, logaritma, fungsi trigonometri, dan semua gabungannya.

Anggaplah aturan-aturan ini sebagai dua kelompok: turunan fungsi-fungsi elementer dasar, dan aturan untuk menggabungkannya dalam jumlah, perkalian, pembagian, dan fungsi komposisi.

Aturan dasar: konstanta, pangkat, dan jumlah

\frac{d}{dx}c = 0, \qquad \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}, \qquad \frac{d}{dx}\big[c f(x)\big] = c f'(x), \qquad \frac{d}{dx}\big[f + g\big] = f' + g'

Konstanta tidak pernah berubah: laju perubahannya nol. Aturan pangkat berlaku bukan hanya untuk bilangan asli, melainkan untuk setiap eksponen real $n$ ; karena itu aturan ini jauh lebih berguna daripada kelihatannya. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari turunan, dan turunan suatu jumlah sama dengan jumlah turunannya.

Contoh 1: sebuah polinomial

Turunkan $5x^4 - 3x^2 + 7x - 2$ suku demi suku.
$5 \cdot 4x^3 - 3 \cdot 2x + 7 - 0 = 20x^3 - 6x + 7$ .

Contoh 2: akar dan kebalikan

Tulis ulang lebih dulu dalam bentuk pangkat: $\frac{4}{x^3} = 4x^{-3}$ dan $6\sqrt{x} = 6x^{1/2}$ .
$\frac{d}{dx}4x^{-3} = -12x^{-4} = -\frac{12}{x^4}$ .
$\frac{d}{dx}6x^{1/2} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{x}}$ .

Sebelum menurunkan, tulis akar dan pecahan yang penyebutnya memuat $x$ sebagai pangkat. Sebagian besar kesalahan terkait aturan pangkat terjadi ketika langkah ini dilewatkan.

Fungsi eksponensial, logaritma, dan trigonometri

Turunan-turunan ini layak dihafal, karena semua soal yang lebih panjang bertumpu padanya:

\frac{d}{dx}e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x\ln a}

\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x

Fungsi $e^x$ sama dengan turunannya sendiri; inilah sebabnya $e$ muncul di mana-mana dalam kalkulus. Aturan trigonometri mensyaratkan sudut dalam radian; jika memakai derajat, muncul faktor tambahan $\frac{\pi}{180}$ . Turunan trigonometri lainnya adalah: $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$ , $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$ , dan $\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x$ ; semuanya diturunkan dari aturan pembagian yang diberikan di bawah.

Turunan perkalian

\frac{d}{dx}\big[f(x)g(x)\big] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Turunan perkalian bukanlah perkalian turunan. Untuk memahami alasannya, bayangkan persegi panjang dengan sisi $f$ dan $g$ . Jika kedua sisi sedikit memanjang, luasnya bertambah sebesar satu pita berukuran $f' \cdot g$ di sepanjang satu sisi dan satu pita berukuran $f \cdot g'$ di sepanjang sisi lainnya; ditambah sepotong kecil di sudut yang lenyap dalam limit.

Contoh 3: $y = x^2\sin x$

Misalkan $f = x^2$ dan $g = \sin x$ ; maka $f' = 2x$ dan $g' = \cos x$ .
$y' = 2x\sin x + x^2\cos x$ .
Untuk $x = \pi$ : $y' = 2\pi \cdot 0 + \pi^2(-1) = -\pi^2$ .

Turunan pembagian

\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Di sini urutannya penting karena ada pengurangan. Aturan ini mudah diingat dengan kalimat: turunan pembilang kali penyebut dikurangi pembilang kali turunan penyebut, semuanya dibagi kuadrat penyebut.

Contoh 4: $y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$

$f = x^2 + 1$ , $f' = 2x$ ; $g = x - 1$ , $g' = 1$ .
$y' = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}$ .
Sederhanakan pembilangnya: $2x^2 - 2x - x^2 - 1 = x^2 - 2x - 1$ ; jadi $y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$ .

Jika diterapkan pada $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , aturan ini menghasilkan $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ ; hal ini menegaskan tabel di atas.

Aturan rantai

Aturan rantai memberikan turunan komposisi, yaitu fungsi-fungsi yang satu ditempatkan di dalam yang lain. Jika $y = f(g(x))$ , maka:

\frac{dy}{dx} = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)

Dengan kata-kata: turunan fungsi luar dikali turunan fungsi dalam. Turunkan fungsi luar tanpa mengubah fungsi dalamnya, lalu kalikan dengan turunan fungsi dalam. Dalam notasi Leibniz, untuk $u = g(x)$ ditulis $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ . Laju-lajunya dikalikan: jika $u$ berubah 3 kali lebih cepat daripada $x$ dan $y$ berubah 2 kali lebih cepat daripada $u$ , maka $y$ berubah 6 kali lebih cepat daripada $x$ . Cara mengenali fungsi dalam dan fungsi luar diajarkan dalam topik komposisi fungsi.

Contoh 5: empat turunan dengan aturan rantai

$\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^5 = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 1)^4$ .
$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x$ .
$\frac{d}{dx}e^{-2x} = -2e^{-2x}$ .
$\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 4) = \frac{2x}{x^2 + 4}$ .

Menggabungkan aturan

Dalam soal nyata, aturan-aturan saling bertumpuk. Bekerjalah dari luar ke dalam: tentukan operasi terakhir dalam ekspresi, terapkan aturan yang sesuai, lalu tangani setiap bagian secara terpisah.

Contoh 6: $y = xe^{3x}$

Operasi terluarnya adalah perkalian: kita terapkan aturan perkalian.
Turunan $e^{3x}$ memerlukan aturan rantai: $3e^{3x}$ .
$y' = 1 \cdot e^{3x} + x \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(1 + 3x)$ .

Contoh 7: turunan logaritmik $y = x^x$

Aturan pangkat maupun aturan fungsi eksponensial tidak cocok, karena basis dan eksponennya sama-sama variabel.
Ambil logaritmanya: $\ln y = x\ln x$ .
Turunkan kedua ruas, ruas kiri dengan aturan rantai: $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$ .
Jadi, untuk $x > 0$ , $y' = x^x(\ln x + 1)$ .

Jika $y$ tidak dapat dipisahkan, seperti pada $x^2 + y^2 = 25$ , aturan rantai tetap berlaku berkat turunan implisit.

Kesalahan yang sering terjadi

Melupakan turunan fungsi dalam; misalnya menulis $\cos(x^2)$ sebagai turunan $\sin(x^2)$ .
Mengalikan turunan faktor-faktornya alih-alih menerapkan aturan perkalian.
Menukar letak suku-suku pada pembilang aturan pembagian; ini mengubah tandanya.
Menerapkan aturan pangkat pada $e^x$ atau $2^x$ ; keduanya fungsi eksponensial, bukan fungsi pangkat.
Menghitung turunan trigonometri dalam derajat.

Untuk memeriksa hasilnya, kalkulator turunan menunjukkan aturan mana yang diterapkannya pada setiap langkah; sedangkan pada penggambar grafik, Anda dapat membandingkan gradien kurva dengan nilai-nilai turunannya.

Fungsi trigonometri invers

Turunan fungsi trigonometri invers berbentuk aljabar; hal ini awalnya mengejutkan banyak orang. Turunan itu diperoleh dengan menurunkan hubungan inversnya secara implisit; misalnya jika $y = \arcsin x$ , maka $\sin y = x$ , dan menurunkan kedua ruas menghasilkan $\cos y \cdot y' = 1$ . Karena pada range arcsinus berlaku $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ , kita sampai pada hasil berikut:

\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

Kedua hasil ini lebih penting untuk integral daripada untuk penurunan: keduanya menjelaskan mengapa arctangen muncul pada integral seperti $\int \frac{dx}{1 + x^2}$ .

Turunan orde tinggi

Menurunkan turunan menghasilkan turunan kedua, dan aturan yang sama tetap berlaku. Untuk $y = x^4$ , turunan-turunannya adalah $4x^3$ , lalu $12x^2$ , lalu $24x$ , lalu 24; semua turunan berikutnya 0. Polinomial berderajat $n$ selalu menjadi nol setelah diturunkan $n + 1$ kali.

Sebaliknya, sinus dan kosinus berputar dalam siklus: turunan-turunan $\sin x$ adalah $\cos x$ , $-\sin x$ , $-\cos x$ , lalu kembali $\sin x$ ; pola ini berulang setiap empat langkah. Fungsi eksponensial $e^x$ tidak pernah berubah. Keteraturan ini adalah titik awal deret Taylor, yang menghampiri fungsi dengan bantuan semua turunannya di satu titik.

Latihan dengan pembahasan

Cobalah kerjakan setiap soal sebelum membaca jawabannya. Tentukan dulu aturan terluarnya.

$\frac{d}{dx}\left(2x^3 - \frac{1}{x}\right)$ . Jawaban: $6x^2 + \frac{1}{x^2}$ .
$\frac{d}{dx}\left(x^3 e^x\right)$ . Jawaban: dengan aturan perkalian, $x^2e^x(3 + x)$ .
$\frac{d}{dx}\cos(5x + 1)$ . Jawaban: dengan aturan rantai, $-5\sin(5x + 1)$ .
$\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x}$ . Jawaban: dengan aturan pembagian, $\frac{1 - \ln x}{x^2}$ .
$\frac{d}{dx}\sqrt{1 + x^2}$ . Jawaban: dengan aturan rantai dan eksponen $\frac{1}{2}$ , $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$ .

Aturan dalam praktik: laju perubahan yang berkaitan

Aturan rantailah yang membuat soal laju yang berkaitan dapat diselesaikan. Misalkan gelombang berbentuk lingkaran menyebar di sebuah danau sehingga jari-jarinya bertambah 2 cm per detik. Luasnya $A = \pi r^2$ , dan menurunkan terhadap waktu menghasilkan $\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$ . Ketika jari-jarinya 10 cm, luasnya bertambah dengan laju $2\pi(10)(2) = 40\pi \approx 125.7$ sentimeter persegi per detik.

Gagasan yang sama menjawab pertanyaan tentang tangga yang tergelincir di sepanjang dinding, balon yang ditiup, atau bayangan orang yang berjalan menjauhi lampu jalan. Setiap kali, disusun persamaan yang menghubungkan besaran-besarannya, setiap suku diturunkan terhadap waktu dengan aturan rantai, dan baru setelah itu nilai-nilai pada saat yang ditinjau disubstitusikan. Menyubstitusikan sebelum menurunkan adalah kesalahan klasik: besaran yang berubah menjadi konstanta.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apakah aturan pangkat berlaku untuk eksponen negatif dan pecahan?

Ya. Aturan ini berlaku untuk setiap eksponen real: $\frac{d}{dx}x^{-1} = -x^{-2}$ dan $\frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$ . Tulis ulang akar dan kebalikan dalam bentuk pangkat terlebih dahulu.

Bisakah tanpa aturan pembagian?

Sering kali bisa. Tulis $\frac{f}{g}$ sebagai $f \cdot g^{-1}$ lalu terapkan aturan perkalian dan aturan rantai, atau sederhanakan pecahannya lebih dulu. Kedua cara menghasilkan hasil yang sama; tetapi terkadang diperlukan penyederhanaan tambahan agar hasilnya tampak sama.

Bagaimana mengetahui bahwa aturan rantai diperlukan?

Selalu, ketika fungsi memuat sesuatu selain $x$ saja: pangkat dari suatu kurung, fungsi trigonometri dari $2x$ , $e$ yang dipangkatkan dengan sesuatu selain $x$ , atau logaritma suatu ekspresi. Jika fungsi dalamnya hanya $x$ , turunannya 1 dan aturan rantai tidak mengubah apa pun.

Mengapa turunan e pangkat x sama dengan fungsinya sendiri?

Bilangan $e \approx 2.71828$ adalah tepat basis yang membuat gradien $a^x$ di titik $x = 0$ bernilai 1. Berkat sifat ini, definisi limit menunjukkan bahwa gradien di setiap titik sama dengan nilai fungsi di titik itu.

Dalam urutan apa aturan turunan diterapkan?

Mulailah dari operasi terakhir yang akan Anda lakukan jika menghitung ekspresi itu untuk bilangan tertentu. Jika operasi itu perkalian, pakai aturan perkalian; jika suatu fungsi diterapkan pada sebuah kurung, pakai aturan rantai. Kemudian ajukan pertanyaan yang sama untuk setiap bagian dan lanjutkan ke dalam.

MathSolver Pro Editorial Team

Penyuntingan dan pemeriksaan matematika

Tim editor kami menulis setiap panduan agar tidak hanya menjelaskan jawabannya, tetapi juga penalaran di balik setiap metode. Setiap contoh soal diperiksa dengan mesin penyelesai situs dan uji otomatis sebelum diterbitkan; jika suatu metode atau format ujian berubah, artikel segera diperbarui.