Limit dalam Kalkulus: Panduan Praktis

Gagasan limit

Perhatikan fungsi $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$. Di $x = 3$, rumusnya menghasilkan $\frac{0}{0}$: nilai $f(3)$ tidak terdefinisi. Namun, jika Anda menghitung $f$ di titik 2,9; 2,99; 3,01; dan 3,1, Anda memperoleh 5,9; 5,99; 6,01; dan 6,1. Hasilnya mendekati 6. Dikatakan bahwa limit $f(x)$ ketika $x$ mendekati 3 adalah 6, dan ditulis:

Nilai fungsi di titik itu sendiri tidak memengaruhi limit. Yang penting hanyalah apa yang terjadi di dekat titik tersebut. Pada grafik, grafik $f$ adalah garis $y = x + 3$ dengan titik $(3, 6)$ dihilangkan; limitnya adalah ketinggian titik «lubang» tersebut.

Secara informal, penulisan $\lim_{x \to a} f(x) = L$ berarti bahwa jika kita memilih $x$ cukup dekat dengan $a$ tetapi tidak sama dengannya, $f(x)$ akan sedekat yang kita inginkan dengan $L$. Bentuk tepat pernyataan ini, definisi «epsilon-delta», mengubahnya menjadi pernyataan yang dapat dibuktikan.

Metode 1: substitusi langsung

Polinomial, fungsi rasional dengan penyebut tidak nol, akar, fungsi eksponensial, logaritma, dan fungsi trigonometri kontinu pada domainnya. Untuk fungsi kontinu, limitnya sama dengan nilai fungsinya: cukup substitusikan bilangannya.

Misalnya $\lim_{x \to 2}(x^2 + 3x) = 4 + 6 = 10$ dan $\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{x + 1} = \frac{1}{1} = 1$. Selalu coba substitusi terlebih dahulu. Jika Anda memperoleh bilangan real, soalnya selesai. Jika Anda memperoleh bilangan bukan nol dibagi nol, limitnya tak hingga atau tidak ada. Yang memerlukan usaha tambahan hanyalah $\frac{0}{0}$ dan bentuk tak tentu sejenis lainnya.

Metode 2: memfaktorkan dan menyederhanakan

Jika substitusi pada fungsi rasional menghasilkan $\frac{0}{0}$, pembilang dan penyebutnya memiliki faktor persekutuan $(x - a)$. Faktorkan keduanya, sederhanakan, lalu substitusikan kembali.

Penyederhanaan ini boleh dilakukan karena limit tidak pernah memakai nilai di titik $x = a$ itu sendiri. Teknik yang diperlukan di sini dijelaskan dalam panduan pemfaktoran.

Metode 3: mengalikan dengan bentuk sekawan

Jika bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ berasal dari akar kuadrat, kalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawannya: berkat identitas selisih dua kuadrat, akarnya hilang.

Limit sepihak dan kasus limit tidak ada

Limit sepihak hanya memperhatikan nilai-nilai dari satu sisi: $x \to a^-$ untuk limit kiri dan $x \to a^+$ untuk limit kanan. Limit ada jika dan hanya jika kedua limit sepihak ada dan sama besar.

Untuk $f(x) = \frac{|x|}{x}$, setiap nilai positif variabel menghasilkan 1, sedangkan setiap nilai negatif menghasilkan $-1$. Jadi $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ dan $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$. Keduanya berbeda; karena itu $\lim_{x \to 0} f(x)$ tidak ada. Fungsi sepotong-sepotong paling sering berperilaku seperti ini: di titik tempat rumusnya berganti, selalu periksa kedua sisinya.

Limit juga bisa tidak ada karena fungsinya berosilasi. Ketika $x \to 0$, fungsi $\sin\frac{1}{x}$ menjelajahi nilai antara $-1$ dan 1 tak hingga kali dan tidak mendekati bilangan mana pun.

Limit tak hingga dan limit di tak hingga

Jika fungsi membesar tanpa batas di dekat $a$, limitnya ditulis $\infty$, seperti pada $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} = \infty$. Sebenarnya, limit sebagai bilangan tidak ada; tetapi penulisan ini menunjukkan dengan cara apa limit itu tidak ada dan menandai asimtot tegak $x = a$.

Limit ketika $x \to \infty$ menggambarkan perilaku fungsi di tak hingga dan asimtot datarnya. Pada fungsi rasional, bagilah setiap suku dengan pangkat $x$ tertinggi pada penyebut:

Jika derajat penyebut lebih tinggi, limitnya 0; misalnya $\lim_{x \to \infty}\frac{2x + 1}{x^2} = 0$. Jika derajat pembilang lebih tinggi, fungsinya membesar tanpa batas. Sebuah limit terkenal di tak hingga mendefinisikan suatu konstanta: $\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2.71828$.

Limit trigonometri penting dan teorema apit

Dua limit mendasari semua turunan fungsi trigonometri:

Dalam kedua kasus, substitusi menghasilkan $\frac{0}{0}$, dan bentuk tak tentu ini tidak dapat dihilangkan hanya dengan aljabar. Secara numerik, $\frac{\sin 0.1}{0.1} \approx 0.99833$ dan $\frac{\sin 0.01}{0.01} \approx 0.99998$; ini mengisyaratkan jawabannya, sedangkan penalaran geometris berdasarkan teorema apit membuktikannya. Sudutnya harus dalam radian.

Teorema apit, atau teorema sandwich, menyatakan: jika di dekat $a$ berlaku $g(x) \le f(x) \le h(x)$ dan fungsi $g$ serta $h$ keduanya menuju $L$, maka $f$ juga menuju $L$. Misalnya, $-x^2 \le x^2\sin\frac{1}{x} \le x^2$ dan kedua batasnya menuju 0; karena itu $\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0$, walaupun fungsi $\sin\frac{1}{x}$ sendiri tidak memiliki limit.

Aturan L'Hôpital

Jika limit berbentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$ dan fungsi-fungsinya terdiferensialkan di dekat titik tersebut, pembilang dan penyebut dapat diganti dengan turunannya: jika limit yang baru ada, maka $\lim\frac{f}{g} = \lim\frac{f'}{g'}$.

Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah. Aturan L'Hôpital bukan aturan turunan hasil bagi dan hanya dapat diterapkan pada bentuk tak tentu.

Limit, kekontinuan, dan turunan

Fungsi kontinu di titik $a$ jika $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$: limitnya ada, fungsinya terdefinisi di titik itu, dan kedua nilai tersebut sama. Turunan sendiri juga merupakan limit: $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$, yang selalu diawali bentuk $\frac{0}{0}$; lihat apa itu turunan. Integral dan kekonvergenan deret juga didefinisikan dengan limit.

Kalkulator limit menghitung limit sepihak dan dua sisi, termasuk limit di tak hingga, serta menyebutkan metode yang dipakai. Untuk memeriksa limit secara grafis, perbesar tampilan di sekitar titiknya pada penggambar grafik.

Sifat-sifat limit

Limit selaras dengan operasi aritmetika. Jika $\lim f(x)$ dan $\lim g(x)$ ada, limit jumlah sama dengan jumlah limit, limit hasil kali sama dengan hasil kali limit, dan limit hasil bagi sama dengan hasil bagi limit asalkan limit penyebutnya tidak nol. Faktor konstanta dan pangkat berperilaku dengan cara yang sama. Aturan-aturan ini menjelaskan mengapa substitusi langsung berhasil pada fungsi kontinu: polinomial dibangun dari jumlah dan hasil kali $x$ dan konstanta, dan limitnya terbentuk dengan cara yang persis sama.

Aturan-aturan ini mensyaratkan kedua limit ada secara terpisah. Limit $x\sin\frac{1}{x}$ di titik 0 adalah 0, tetapi Anda tidak dapat memperolehnya dengan mengalikan limit-limitnya, karena $\sin\frac{1}{x}$ tidak memiliki limit di sana. Dalam kasus seperti ini, Anda perlu memakai teorema apit.

Strategi untuk sebagian besar soal

1. Substitusikan bilangannya. Jika Anda memperoleh bilangan real, itulah jawabannya.
2. Bilangan bukan nol dibagi nol: periksa tanda di kedua sisi untuk memilih antara $\infty$, $-\infty$, dan limit yang tidak ada.
3. Nol dibagi nol pada polinomial: faktorkan dan sederhanakan.
4. Nol dibagi nol pada bentuk akar kuadrat: kalikan dengan bentuk sekawannya.
5. Nol dibagi nol pada fungsi trigonometri: ubah bentuknya dengan memakai $\frac{\sin x}{x} \to 1$.
6. Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi pada penyebut.
7. Jika aljabar tidak berhasil, terapkan aturan L'Hôpital atau periksa secara numerik dengan nilai-nilai dari kedua sisi.

Latihan dengan pembahasan: $\lim_{x \to 2}\frac{x^3 - 8}{x - 2} = 12$ — dengan memfaktorkan selisih dua pangkat tiga. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x} = 3$ — dengan menulis ekspresinya sebagai $3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}$. $\lim_{x \to \infty}\frac{4x - 7}{2x + 9} = 2$ — dengan membagi semuanya dengan $x$.

Pertanyaan yang sering diajukan