Apa Itu Turunan? Pengantar yang Mudah Dipahami

Dari laju perubahan rata-rata ke laju perubahan sesaat

Jika sebuah mobil menempuh 120 km dalam 2 jam, kecepatan rata-ratanya 60 km per jam. Bilangan ini tidak memberi tahu apa pun tentang angka yang ditunjukkan spidometer pada saat tertentu: bisa 0 di lampu merah dan 100 di jalan tol. Turunan adalah padanan matematis angka pada spidometer: laju perubahan pada satu saat, bukan pada suatu selang.

Untuk fungsi $f$ apa pun, laju perubahan rata-rata antara $x$ dan $x + h$ adalah gradien garis yang melalui dua titik grafik tersebut, yaitu garis sekan. Pecahan ini juga disebut hasil bagi selisih:

Untuk memperoleh laju sesaat, selangnya dipersempit. Ketika $h$ menuju 0, garis sekan berputar dan berubah menjadi garis singgung, yaitu garis yang hanya menyentuh grafik di titik tersebut. Limit gradien garis-garis sekan itulah turunan.

Definisi yang tepat

Turunan fungsi $f$ di titik $x$ adalah limit berikut

— tentu saja dengan syarat limit itu ada. Dalam hal ini dikatakan bahwa $f$ terdiferensialkan di titik $x$. Anda tidak dapat langsung memasukkan $h = 0$ ke pecahannya: hasilnya $\frac{0}{0}$. Sebaliknya, ekspresinya diubah sampai $h$ hilang dari penyebut, dan baru setelah itu limitnya diambil. Jika limit masih baru bagi Anda, panduan limit kami lebih dulu menjelaskan gagasannya.

Notasi

Beberapa notasi dipakai berdampingan, dan semuanya bermakna sama. Dalam notasi aksen Lagrange ditulis $f'(x)$. Dalam notasi Leibniz ditulis $\frac{dy}{dx}$ atau $\frac{d}{dx}f(x)$: notasi ini mengingatkan bahwa turunan adalah perbandingan perubahan-perubahan kecil dan membuat aturan rantai terasa wajar. Dalam fisika, turunan terhadap waktu sering ditandai dengan titik: $\dot{x}$.

Menurunkan dua kali menghasilkan turunan kedua, yang ditulis $f''(x)$ atau $\frac{d^2y}{dx^2}$. Jika $s(t)$ adalah posisi, maka $s'(t)$ adalah kecepatan dan $s''(t)$ adalah percepatan.

Apa yang dikatakan turunan tentang grafik?

• Di tempat $f'(x) > 0$, fungsinya naik.
• Di tempat $f'(x) < 0$, fungsinya turun.
• Di tempat $f'(x) = 0$, garis singgungnya mendatar; maksimum dan minimum lokal terdapat di titik-titik seperti ini (atau di tempat $f'$ tidak ada).
• Di tempat $f''(x) > 0$, grafiknya terbuka ke atas seperti cangkir, yaitu cekung ke atas; di tempat $f''(x) < 0$, grafiknya terbuka ke bawah.

Aturan-aturan yang mempercepat pekerjaan ini, termasuk aturan pangkat yang dipakai di sini, dikumpulkan dalam artikel penjelasan aturan turunan.

Contoh dari fisika: batu yang jatuh

Batu yang dilepaskan dari keadaan diam, jika hambatan udara diabaikan, jatuh sejauh $s(t) = 4.9t^2$ meter dalam $t$ detik. Antara $t = 1$ dan $t = 3$, batu itu menempuh jarak dari 4,9 m sampai 44,1 m; karena itu kecepatan rata-ratanya $\frac{44.1 - 4.9}{2} = 19.6$ m/s.

Kecepatan sesaatnya adalah turunannya: $s'(t) = 9.8t$ m/s. Di $t = 2$, kecepatannya 19,6 m/s; ini persis sama dengan kecepatan rata-rata pada selang antara 1 dan 3 detik: pada fungsi kuadrat, kecepatan rata-rata pada suatu selang selalu sama dengan kecepatan sesaat di tengah selang itu. Turunan kedua $s''(t) = 9.8$ m/s² adalah percepatan tetap gerak jatuh bebas.

Satuan adalah pemeriksaan yang baik bagi setiap turunan. Turunan suatu besaran dalam meter terhadap waktu dalam detik diukur dalam meter per detik. Dalam ekonomi, turunan biaya total dalam rupiah terhadap jumlah produksi adalah biaya marginal dan diukur dalam rupiah per unit produk.

Kapan turunan tidak ada?

Jika limit hasil bagi selisih tidak ada di suatu titik, fungsinya tidak terdiferensialkan di sana. Pada grafik, hal ini muncul dalam empat bentuk:

• Titik sudut: seperti $|x|$ di titik 0; gradien di kiri $-1$ dan di kanan $+1$.
• Titik tajam (cusp): seperti $x^{2/3}$ di titik 0; gradiennya menjadi curam tak hingga ke arah yang berlawanan.
• Garis singgung tegak: seperti $\sqrt[3]{x}$ di titik 0; gradiennya tak hingga.
• Ketakkontinuan: misalnya lompatan atau lubang.

Keterdiferensialan mensyaratkan kekontinuan: jika $f'(a)$ ada, maka $f$ kontinu di titik $a$. Kebalikannya tidak benar; hal ini ditunjukkan oleh $|x|$: fungsinya kontinu di mana-mana, tetapi memiliki titik sudut di 0.

Menaksir turunan secara numerik

Jika tidak ada rumus, misalnya pada data pengukuran, turunan dapat ditaksir dengan langkah kecil. Selisih tengah biasanya lebih akurat daripada selisih sepihak:

Untuk $f(x) = \sin x$ di titik $x = 0$ dengan $h = 0.01$, diperoleh $\frac{\sin 0.01 - \sin(-0.01)}{0.02} \approx 0.99998$; nilai ini sangat dekat dengan nilai eksak $\cos 0 = 1$. Kalkulator grafik dan lembar kerja memakai taksiran seperti ini. Sebaliknya, kalkulator turunan menurunkan secara simbolik dan menampilkan setiap aturan yang diterapkan; kalkulator limit juga menghitung limitnya langsung dari definisi.

Mengapa turunan diperlukan?

Setiap pertanyaan berbentuk «seberapa cepat» atau «nilai mana yang terbaik» adalah pertanyaan turunan. Insinyur menemukan ukuran kemasan yang memakai bahan paling sedikit dengan menyamakan turunan luas permukaannya dengan nol. Ekonom menemukan jumlah produksi yang memaksimalkan laba di titik tempat pendapatan marginal sama dengan biaya marginal. Dalam kedokteran, perubahan kadar obat dalam darah terhadap waktu dimodelkan, dan turunan menunjukkan kapan kadar itu mencapai nilai tertingginya.

Pembelajaran mesin bertumpu pada turunan dalam skala raksasa. Melatih suatu model berarti menyetel jutaan parameter sedemikian rupa sehingga suatu ukuran kesalahan mengecil; turunan menentukan ke arah mana setiap parameter digeser, dan metode ini disebut penurunan gradien. Fisika hampir seluruhnya dinyatakan dalam bahasa turunan: hukum kedua Newton menyatakan bahwa gaya sama dengan massa dikalikan turunan kedua posisi.

Sedikit sejarah

Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan kalkulus diferensial secara terpisah satu sama lain pada paruh kedua abad ketujuh belas. Newton memikirkan besaran yang mengalir terhadap waktu; sedangkan Leibniz bekerja dengan selisih yang sangat kecil, dan notasinya, $\frac{dy}{dx}$, kini dipakai di sebagian besar buku pelajaran. Metode keduanya bekerja dengan sangat baik, tetapi bertumpu pada gagasan yang kabur tentang besaran yang sangat kecil. Definisi yang tepat dengan limit, yang dipakai artikel ini, muncul pada abad kesembilan belas, terutama berkat Augustin-Louis Cauchy dan Karl Weierstrass, dan akhirnya memberi bidang ini landasan yang kokoh.

Pertanyaan yang sering diajukan