Integral Tentu atau Integral Tak Tentu?

Perbedaannya secara sekilas

• Penulisan: tak tentu $\int f(x)\,dx$; tentu $\int_a^b f(x)\,dx$, dengan batas bawah $a$ dan batas atas $b$.
• Hasil: integral tak tentu menghasilkan fungsi ditambah konstanta; integral tentu menghasilkan bilangan.
• Makna: integral tak tentu menjawab pertanyaan «fungsi mana yang turunannya ini?»; integral tentu menjawab «berapa banyak yang terakumulasi antara $a$ dan $b$?».
• Konstanta: integral tak tentu memerlukan $+ C$; pada integral tentu konstanta itu saling menghapus.
• Pemeriksaan: turunkan hasil integral tak tentu untuk memperoleh kembali integrannya; taksir integral tentu dengan grafik atau dengan persegi panjang.

Jika integral masih baru bagi Anda, mulailah dengan artikel apa itu integral, yang membangun kedua gagasan ini dari nol.

Integral tak tentu: keluarga antiturunan

Integral tak tentu dari fungsi $f$ adalah himpunan semua fungsi yang turunannya sama dengan $f$. Karena menambahkan konstanta tidak mengubah turunan, hasilnya selalu berupa keluarga kurva yang saling bergeser secara vertikal:

Untuk memilih satu kurva dari keluarga itu diperlukan informasi tambahan, biasanya sebuah nilai yang diketahui. Soal semacam ini disebut masalah nilai awal.

Fisika memakai hal ini terus-menerus. Jika percepatannya tetap dan sama dengan $-9.8$ m/s², integral pertama menghasilkan kecepatan, $v(t) = -9.8t + v_0$, dan integral kedua menghasilkan ketinggian, $h(t) = -4.9t^2 + v_0 t + h_0$. Kedua konstanta itu adalah kecepatan awal dan ketinggian awal.

Integral tentu: bilangan sebagai limit jumlah

Integral tentu didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann dan menyatakan luas bertanda antara grafik dan sumbu mendatar dari $a$ sampai $b$. Teorema dasar kalkulus memberikan jalan pintas untuk menghitungnya:

Jika yang dipakai $F + C$ alih-alih $F$, tidak ada yang berubah, karena $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. Karena itu konstantanya tidak ditulis.

Sifat-sifat integral tentu

Seperti pada turunan, jumlah dan faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral. Kesimetrian dapat menghemat banyak pekerjaan: jika $f$ fungsi ganjil, yaitu $f(-x) = -f(x)$, maka $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$. Misalnya $\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$, karena bagian negatif dan positifnya saling menghapus. Jika $f$ fungsi genap, maka $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$; karena itu $\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Nilai rata-rata $f$ pada $[a, b]$ adalah $\frac{1}{b - a}\int_a^b f\,dx$. Untuk $x^2$ pada $[0, 3]$, nilainya $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$: persegi panjang dengan tinggi 3 dan lebar 3 memiliki luas yang sama dengan daerah di bawah parabola.

Substitusi bekerja secara berbeda

Pada integral tak tentu, Anda mengganti variabel, mengintegralkan, lalu kembali ke variabel semula. Pada integral tentu, Anda dapat menghitung ulang batas-batasnya untuk variabel baru dan tidak perlu kembali sama sekali.

Kesalahan yang sering terjadi adalah beralih ke $u$ sambil tetap memakai batas lama untuk $x$. Hitung ulang batasnya, atau kembali ke $x$ sebelum menyubstitusikan, tetapi jangan pernah mencampur kedua cara.

Di mana keduanya bertemu: integral dengan batas atas variabel

Integral tentu dengan batas atas variabel adalah sebuah fungsi: $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$. Fungsi ini adalah antiturunan tertentu dari $f$, yaitu antiturunan yang bernilai 0 di $x = a$. Misalnya $\int_0^x t^2\,dt = \frac{x^3}{3}$.

Bagian pertama teorema dasar menyatakan bahwa $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. Jadi $\frac{d}{dx}\int_1^x \cos(t^2)\,dt = \cos(x^2)$, meskipun integral ini tidak memiliki rumus dalam fungsi-fungsi elementer. Jika batas atasnya sendiri berupa fungsi, muncul faktor tambahan akibat aturan rantai: $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt = 2x\sin(x^2)$. Aturan-aturan turunan dirangkum dalam artikel aturan turunan dengan penjelasan.

Integral tak wajar

Integral tentu pada selang tak hingga, atau dari fungsi yang menuju tak hingga di dalam selangnya, disebut integral tak wajar dan didefinisikan sebagai limit. Misalnya:

Jadi daerah yang panjangnya tak hingga dapat memiliki luas yang berhingga. Sebaliknya, $\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty}\ln b$ membesar tanpa batas: integralnya divergen. Perbandingan ini menjadi dasar uji integral yang dibahas dalam artikel uji kekonvergenan deret.

Mana yang diperlukan dalam sebuah soal?

Perhatikan apakah tanda integralnya memiliki batas, atau carilah ungkapan seperti «dari … sampai …», «antara», «total», «luas», atau «berapa banyak». Ungkapan-ungkapan ini menunjuk pada integral tentu dan jawaban berupa bilangan. Ungkapan seperti «tentukan fungsinya», «solusi umum», atau «antiturunan» menunjuk pada integral tak tentu dengan $+ C$. Soal yang memberikan nilai awal seperti $f(0) = 2$ memerlukan integral tak tentu, lalu penentuan $C$.

Gunakan kalkulator integral untuk menghitung integral tak tentu langkah demi langkah, dan kalkulator integral tentu untuk menghitungnya pada suatu selang, termasuk integral tak wajar.

Perbandingan rinci pada satu fungsi

Perbedaannya menjadi nyata jika kedua jenis integral diamati pada fungsi yang sama. Ambil fungsi yang menyatakan berapa liter air per menit yang masuk ke sebuah tangki, dan misalkan setelah $t$ menit nilainya $4t + 2$.

Integral tak tentu, $2t^2 + 2t + C$, menggambarkan banyaknya air di tangki pada setiap saat, tetapi hanya sampai pada jumlah awal yang belum diketahui. Jika pada awalnya tangki berisi 10 liter, maka $C = 10$, dan volume setelah $t$ menit adalah $2t^2 + 2t + 10$ liter. Ini adalah fungsi yang dapat dihitung untuk setiap saat.

Integral tentu dari $t = 0$ sampai $t = 5$ menjawab pertanyaan yang lain: berapa banyak air yang masuk selama lima menit itu? Jawabannya $(50 + 10) - 0 = 60$ liter, tidak bergantung pada banyaknya air di tangki pada awalnya. Jawaban pertama adalah rumus keadaan; yang kedua adalah satu bilangan untuk suatu perubahan. Kebanyakan soal nyata jelas termasuk salah satu jenis; cukup tanyakan pada diri sendiri apakah soal itu memerlukan besaran pada suatu saat atau total pada suatu selang.

Kesalahan yang sering terjadi pada kedua jenis

Pada integral tak tentu, kesalahan yang paling sering adalah melupakan konstanta. Ini mungkin tampak sebagai detail kecil, tetapi akibatnya pada masalah nilai awal justru hal yang harus dicari menjadi hilang, dan pada persamaan diferensial seluruh keluarga solusi lenyap. Kesalahan lain adalah tidak menuliskan kembali hasilnya dalam variabel semula setelah substitusi.

Pada integral tentu, kesalahan khas adalah mengurangkan dengan urutan yang salah, mencampur batas lama dan batas baru setelah substitusi, serta mengira luas bertanda sebagai luas total. Jebakan lainnya adalah mengintegralkan sekaligus melewati titik tempat fungsi tidak terdefinisi; misalnya $\frac{1}{x^2}$ dari $-1$ sampai 1. Menerapkan rumus secara membabi buta menghasilkan $-2$, sesuatu yang mustahil untuk fungsi positif; sebenarnya integral itu divergen, karena fungsinya menuju tak hingga di 0. Sebelum menerapkan teorema dasar, selalu periksa bahwa integrannya kontinu pada seluruh selang.

Bagaimana kedua gagasan ini saling melengkapi?

Ada gunanya memandang integral tak tentu sebagai alat dan integral tentu sebagai pekerjaan. Menemukan antiturunan adalah langkah yang sulit dan kreatif; begitu ditemukan, setiap integral tentu dari fungsi itu pada selang mana pun diperoleh dengan satu pengurangan saja. Itulah sebabnya buku teks menyediakan begitu banyak waktu untuk metode integrasi; dan itu pula sebabnya satu antiturunan yang ditemukan dengan tepat dapat menjawab sekaligus serangkaian pertanyaan tentang luas, jarak, dan akumulasi.

Pertanyaan yang sering diajukan