Kalkulator Integral Tentu

Mengapa F(b) − F(a) menghasilkan luas?

Bayangkan fungsi luas $A(t)$ yang sama dengan luas di bawah $f$ dari $a$ sampai titik bergerak $t$. Jika $t$ digeser sejauh $h$ yang kecil, bertambahlah satu pita sempit setinggi kira-kira $f(t)$ dan selebar $h$; karena itu $A(t+h) - A(t) \approx f(t)\,h$. Dengan membagi oleh $h$ dan membuatnya menuju nol, kita melihat bahwa $A'(t) = f(t)$: fungsi luas adalah salah satu antiturunan $f$.

Dua antiturunan hanya berbeda sebesar suatu konstanta; karena itu untuk antiturunan $F$ yang ditemukan berlaku $A(t) = F(t) + C$. Karena $A(a) = 0$, konstantanya sama dengan $-F(a)$, dan luas seluruhnya adalah $A(b) = F(b) - F(a)$. Inilah sebabnya konstanta integrasi sama sekali tidak muncul pada integral tentu: konstanta itu hilang saat pengurangan.

Luas bertanda dan luas geometri

Jika kurva melintas di bawah sumbu, integral mengurangkan bagian itu. Pada $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$, busur positif dan busur negatif tepat saling mengimbangi, dan hasilnya 0. Ini nilai integral yang benar; tetapi bukan luas yang akan Anda arsir pada gambar.

Untuk mencari luas total, tentukan pembuat nol fungsi di dalam interval, integralkan pada setiap bagian, lalu jumlahkan nilai mutlak hasilnya. Kalkulator mengenali abs(): jika Anda memasukkan abs(x-1) dari 0 sampai 2, hasilnya 1, yaitu jumlah luas dua segitiga, sedangkan x-1 pada interval yang sama menghasilkan 0.

Integral tak wajar: batas tak hingga dan asimtot tegak

Jika salah satu batas integral tak hingga atau fungsi tak terbatas di suatu tempat dalam interval, integral itu disebut integral tak wajar. Dalam keadaan ini nilainya didefinisikan sebagai limit. Untuk $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$, kalkulator mencari $F(x) = -\frac1x$, menghitung limitnya untuk $x \to \infty$ yang sama dengan 0, mengurangkan $F(1) = -1$, dan menyatakan bahwa integralnya konvergen ke 1.

Gagasannya sama pada asimtot. $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ konvergen ke 2, karena $2\sqrt{x}$ memiliki limit berhingga di titik 0; sedangkan $\int_0^1 \frac1x\,dx$ divergen, karena $\ln x$ menuju $-\infty$. Kedua fungsi membesar tanpa batas di dekat nol; seberapa cepat keduanya membesar itulah yang menentukan hasilnya. Jika titik singularnya berada di dalam interval, integral harus dipecah di titik itu dan setiap bagian harus konvergen sendiri-sendiri.

Pada seluruh garis bilangan, kedua batas integral memerlukan limit. Kalkulator menghitung $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$ sebagai $\arctan x$ dari $-\frac{\pi}{2}$ sampai $\frac{\pi}{2}$ dan memperoleh tepat $\pi$.

Jika tidak ada rumus: pengintegralan numerik

Antiturunan beberapa fungsi yang sangat biasa tidak dapat dinyatakan dengan fungsi elementer. Contoh klasiknya adalah kurva lonceng $e^{-x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$, dan $\sqrt{1 + x^3}$. Walaupun begitu, integral tentunya ada; hanya saja integral itu harus dihitung secara numerik.

Dalam keadaan ini kalkulator memakai metode Simpson adaptif: potongan-potongan kecil kurva dihampiri dengan parabola, dan potongan yang taksirannya belum cukup tepat terus dibagi sampai galatnya lebih kecil daripada $10^{-10}$. Untuk $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$, kalkulator memberikan kira-kira 0,7468241328 dan menandainya sebagai hampiran numerik agar tidak pernah tertukar dengan nilai eksak.

Sifat-sifat berguna yang menghemat waktu

Jika letak batas-batasnya ditukar, tandanya berubah: $\int_1^0 x^2\,dx = -\frac13$. Integral pada interval yang panjangnya nol adalah nol. Untuk fungsi ganjil seperti $x^3$ atau $\sin x$, integral pada interval simetris $[-a, a]$ adalah nol; untuk fungsi genap, integralnya dua kali integral dari 0 sampai $a$. Menyadari kesimetrian sebelum menghitung sering kali mengubah soal yang merepotkan menjadi jawaban satu baris.

Selain itu, integral bersifat linear: konstanta dapat dikeluarkan, dan jumlah dapat dipecah menjadi integral-integral terpisah. Bersama sifat penjumlahan interval, hal ini memungkinkan daerah yang rumit dipecah menjadi bagian-bagian yang mudah ditangani.