Kalkulator Kekonvergenan Deret

Tentang kalkulator kekonvergenan deret

Memutuskan apakah suatu deret konvergen adalah keterampilan yang bertumpu pada pemilihan uji yang tepat. Kuliah kalkulus mengajarkan sedikitnya tujuh uji: uji divergensi suku ke-n, deret geometri, deret-p, uji perbandingan langsung dan uji perbandingan limit, uji rasio, uji akar, uji integral, serta uji Leibniz untuk deret berganti tanda. Masing-masing bekerja sempurna untuk deret tertentu dan sama sekali tidak memberi kesimpulan untuk deret lainnya; tantangan sebenarnya adalah memilih uji yang cocok.

Kalkulator menerapkan uji-uji itu dalam urutan yang tetap dan masuk akal, lalu menyebutkan uji pertama yang memberikan jawaban. Kalkulator mengenali deret geometri dan mencari jumlah eksaknya, memeriksa apakah suku umum menuju nol, menangani pergantian tanda, dan untuk suku positif mencoba uji rasio, uji akar, perbandingan dengan deret-p, uji kondensasi Cauchy, dan uji integral. Setiap limit yang diperlukan dihitung dengan modul limit yang memeriksa dirinya sendiri secara numerik.

Jika suatu uji bergantung pada sifat yang tidak dapat dibuktikan secara simbolik, misalnya suku-suku yang menurun setelah indeks tertentu, kalkulator memeriksanya pada banyak indeks dan menyatakannya secara terbuka. Jika tidak ada uji yang memberi jawaban, kalkulator mendaftar uji-uji yang telah dicoba alih-alih menebak. Untuk deret berganti tanda, kalkulator juga membedakan kekonvergenan mutlak dan bersyarat.

Apa artinya deret konvergen?

Deret $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ adalah jumlah dari tak hingga banyaknya suku. Agar bermakna, yang diselidiki adalah jumlah parsial $S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N$ . Jika jumlah-jumlah ini mendekati limit berhingga $S$ ketika $N$ membesar, deret itu konvergen dan jumlahnya $S$ . Jika jumlah-jumlah itu membesar tanpa batas atau terus berosilasi, deret itu divergen.

Kekonvergenan adalah konsep yang halus, karena tidak hanya bergantung pada mengecilnya suku-suku, tetapi juga pada seberapa cepat suku-suku itu mengecil. Suku-suku $\sum \frac1n$ menuju nol; meski begitu, jumlah parsialnya melampaui setiap bilangan: deret harmonik divergen. Suku-suku $\sum \frac{1}{n^2}$ hanya mengecil sedikit lebih cepat, dan deret ini konvergen ke $\frac{\pi^2}{6}$ .

Untuk sebagian besar deret, kekonvergenan dapat ditentukan tanpa menghitung jumlahnya, yang sering kali bahkan tidak memiliki bentuk sederhana. Pengecualian terpenting adalah deret geometri: begitu rasio $|r| < 1$ terpenuhi, jumlahnya $\frac{a}{1-r}$ , dengan $a$ adalah suku pertama.

Cara menggunakan kalkulator kekonvergenan deret

Tuliskan suku umumnya dengan indeks n, misalnya 1/n^2, (-1)^(n+1)/n, atau 2^n/n!.
Faktorial (n!), pangkat, akar, logaritma dengan penulisan log untuk ln, dan (−1)^n dapat digunakan.
Masukkan indeks awal, yaitu nilai n pertama dalam penjumlahan. Nilai bawaannya 1.
Tekan tombol «Uji kekonvergenan» untuk melihat uji yang diterapkan, limit yang dihitung, dan kesimpulannya.
Untuk deret geometri, jumlah eksaknya diberikan pada baris terakhir.

Rumus

Deret geometri

\sum_{n=0}^{\infty} a r^n = \frac{a}{1-r},\quad |r| < 1

Uji divergensi suku ke-n

\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Rightarrow\; \sum a_n \text{ divergen}

Deret-p

\sum \frac{1}{n^p} \text{ konvergen} \iff p > 1

Uji rasio (d'Alembert)

L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|;\ L < 1 \text{ konvergen},\ L > 1 \text{ divergen}

Uji akar (Cauchy)

L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|};\ L < 1 \text{ konvergen},\ L > 1 \text{ divergen}

Uji Leibniz untuk deret berganti tanda

b_n \downarrow 0 \;\Rightarrow\; \sum (-1)^n b_n \text{ konvergen}

Contoh soal dan pembahasan: Deret-p Σ 1/n²

Contoh dihitung secara langsung untuk deret-p $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ . Suku-sukunya menuju 0; karena itu divergensi tidak dapat ditunjukkan dengan uji suku ke-n, dan uji ini tidak memberi kesimpulan. Selanjutnya kalkulator memperkirakan seberapa cepat suku-suku itu mengecil dan membandingkannya dengan $\frac{1}{n^2}$ ; limit rasionya 1, yaitu bilangan positif berhingga.

Menurut uji perbandingan limit, deret ini berperilaku sama dengan deret-p berpangkat $p = 2$ , yang konvergen karena $p > 1$ . Kesimpulan: deret ini konvergen. Jumlahnya, $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.645$ , ditemukan oleh Euler pada tahun 1734; tetapi kekonvergenannya dapat diputuskan tanpa mengetahui jumlah itu.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}} \ \text{konvergen} \approx 1.644934067

Cara kami membaca soal Anda

Tentukan apakah Σ 1 / n² (n dari 1 sampai ∞) konvergen atau divergen.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}

Pembahasan langkah demi langkah

Tulis deretnya
Σ a(n) untuk n = 1, 2, 3, … dengan a(n) = 1 / n^2. Suku-suku pertama: 1, 0.25, 0.111111, 0.0625, …
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
Uji suku ke-n
lim a(n) = 0, sehingga uji divergensi tidak memberi kesimpulan; suku-sukunya memang mengecil, jadi diperlukan uji yang lebih halus.
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{2}} = 0$
Uji perbandingan limit dengan deret-p
Suku positif: suku-sukunya mengecil kira-kira seperti 1/n^2 (diperkirakan dari a(2N)/a(N)), jadi bandingkan dengan Σ 1/n^2: lim a(n)·n^2 = 1. Limitnya bilangan positif berhingga, sehingga deret ini berperilaku persis seperti deret-p Σ 1/n^2, yang konvergen karena p > 1.
$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1$
Perkirakan jumlahnya secara numerik
Jumlah parsial S_N dihitung untuk beberapa N dan diekstrapolasi ke N → ∞ (ekstrapolasi Richardson; untuk suku berganti tanda, dirata-ratakan dahulu). Dua ekstrapolasi independen sepakat lebih baik dari 10⁻¹⁰, menghasilkan S ≈ 1.644934067. Bentuk tertutup yang ditampilkan adalah identifikasi numerik, bukan bukti.

Rumus yang digunakan

Uji suku ke-n (uji divergensi)
$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ divergen}$
Deret-p
$\sum \frac{1}{n^p} \text{ konvergen} \iff p > 1$

Deret konvergen jika jumlah parsialnya mendekati suatu bilangan berhingga. Agar itu terjadi, suku-sukunya harus menuju 0, tetapi itu saja belum cukup (deret harmonik divergen), sehingga digunakan uji perbandingan, uji rasio, uji akar, uji deret berganti tanda, atau uji integral untuk memutuskannya.

Pemeriksaan

Jumlah parsial (bukti pendukung, bukan pembuktian): S₁₀ = 1.5497677, S₁₀₀ = 1.6349839, S₁₀₀₀ = 1.6439346, S₁₀₀₀₀ = 1.6448341

Penjelasan lengkap

Mulailah dengan uji-uji cepat

Dua pemeriksaan selalu layak dilakukan lebih dulu karena cepat. Jika deretnya geometri, segalanya ditentukan oleh rasio $r$ : deret konvergen ketika $|r| < 1$ , dan jumlahnya langsung diperoleh. Untuk $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(-\frac23\right)^n$ , suku pertamanya $a = -2$ dan $r = -\frac23$ ; karena itu jumlahnya $\frac{-2}{1 + 2/3} = -\frac65$ .

Berikutnya uji suku ke-n. Jika suku-suku tidak menuju nol, deret pasti divergen: kita menjumlahkan nilai-nilai yang tetap besar selamanya. $\sum \frac{n}{n+1}$ divergen tepat karena alasan ini, sebab suku-sukunya menuju 1. Perhatikan kebalikannya: suku-suku yang menuju nol tidak menjamin kekonvergenan, seperti yang ditunjukkan oleh deret harmonik.

Uji rasio dan uji akar

Uji rasio membandingkan setiap suku dengan suku sebelumnya. Jika rasio $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ menuju limit $L < 1$ , pada akhirnya suku-suku mengecil sedikitnya secepat suku-suku deret geometri yang konvergen, dan deret itu konvergen. Jika $L > 1$ , suku-suku membesar dan deret divergen. Jika $L = 1$ , uji ini tidak memberi kesimpulan.

Ini pilihan yang wajar jika ada faktorial dan bentuk eksponensial. Untuk $\sum \frac{2^n}{n!}$ , rasionya tersederhanakan menjadi $\frac{2}{n+1}$ , yang menuju 0; karena itu deret ini konvergen. Uji akar yang bertumpu pada $\sqrt[n]{|a_n|}$ serupa dengannya dan lebih praktis jika seluruh suku dipangkatkan n. Untuk deret-p dan fungsi rasional dalam $n$ , kedua uji selalu menghasilkan $L = 1$ ; dalam hal itu diperlukan alat lain.

Perbandingan dengan deret-p

Jika suku-suku berperilaku seperti suatu pangkat $n$ , deret dibandingkan dengan $\sum \frac{1}{n^p}$ , yang konvergen hanya jika $p > 1$ . Uji perbandingan limit menyatakan: jika $\frac{a_n}{b_n}$ menuju bilangan positif berhingga, kedua deret berperilaku sama. Kalkulator memperkirakan pangkat $p$ yang sesuai dengan memperhatikan perubahan suku ketika $n$ dilipatduakan, lalu menghitung limit itu secara eksak.

Misalnya, $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ divergen jika dibandingkan dengan $\sum \frac1n$ , sedangkan $\sum \frac{\sin n}{n^2}$ konvergen mutlak, karena dari $|\sin n| \le 1$ diperoleh bahwa suku-sukunya dibatasi oleh $\frac{1}{n^2}$ .

Logaritma: kondensasi dan uji integral

Deret yang memuat logaritma, seperti $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ , berada tepat di batas tempat uji rasio dan uji akar, juga perbandingan sederhana, tidak berhasil. Kasus seperti ini diputuskan oleh uji kondensasi Cauchy: untuk suku positif yang menurun, $\sum a_n$ konvergen jika dan hanya jika $\sum 2^n a_{2^n}$ konvergen. Di sini suku-suku deret yang dikondensasi kira-kira $\frac{1.4427}{n}$ — kelipatan deret harmonik; karena itu deret semula divergen.

Uji integral mencapai kesimpulan yang sejenis dengan membandingkan jumlah itu dengan $\int f(x)\,dx$ , dengan $f(n) = a_n$ positif dan menurun. Kedua metode memperlihatkan betapa lambatnya suatu deret dapat divergen: jumlah parsial $\sum \frac{1}{n \ln n}$ tumbuh seperti $\ln(\ln N)$ , yang bahkan setelah satu miliar suku masih kurang dari 4.

Deret berganti tanda dan kekonvergenan bersyarat

Ketika tanda berganti-ganti, saling meniadakan antarsuku ikut berperan. Uji Leibniz menyatakan: jika nilai mutlak $b_n$ menurun menuju nol, deret itu konvergen. Deret harmonik berganti tanda $1 - \frac12 + \frac13 - \cdots$ konvergen tepat dengan cara ini, bahkan ke $\ln 2$ ; padahal $\sum \frac1n$ divergen.

Keadaan ini disebut kekonvergenan bersyarat. Jika deret nilai mutlaknya juga konvergen, seperti pada $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ , kekonvergenannya mutlak, dan ini lebih kuat: suku-suku deret yang konvergen mutlak dapat disusun ulang tanpa mengubah jumlahnya, sedangkan suku-suku deret yang konvergen bersyarat tidak. Kalkulator memberi tahu keadaan mana yang Anda hadapi.

Kesalahan yang sering terjadi

Menyimpulkan bahwa deret konvergen karena suku umumnya menuju nol.
Menganggap $L = 1$ pada uji rasio atau uji akar sebagai kesimpulan; artinya uji itu tidak memberi kesimpulan.
Mengambil suku pertama yang salah pada jumlah geometri ketika indeks dimulai dari 1, bukan dari 0.
Menerapkan uji Leibniz tanpa memeriksa bahwa nilai mutlak suku-sukunya menurun.
Mencampuradukkan kekonvergenan barisan $a_n$ dengan kekonvergenan deret $\sum a_n$ .
Membandingkan ke arah yang salah, misalnya membatasi suatu deret dari atas dengan deret yang divergen.

Kiat

Periksa uji suku ke-n lebih dulu; uji ini langsung menyingkirkan banyak deret yang divergen.
Begitu melihat faktorial atau $c^n$ , ingatlah uji rasio.
Untuk fungsi rasional dalam $n$ , bandingkan derajatnya: deret berperilaku seperti $\sum \frac{1}{n^{q-p}}$ .
Jika ada logaritma, gunakan uji kondensasi atau uji integral.
Pada deret berganti tanda, selidiki juga kekonvergenan mutlak untuk mengetahui jenis kekonvergenannya.
Hitung beberapa jumlah parsial pertama secara numerik untuk melihat apakah nilainya menjadi stabil.

Pertanyaan yang sering diajukan

Uji kekonvergenan apa yang dipakai kalkulator?

Kalkulator mencoba uji-uji secara berurutan: deret geometri, uji suku ke-n, uji Leibniz; untuk suku positif, uji rasio, uji akar, uji perbandingan limit dengan deret-p, uji kondensasi Cauchy, dan uji integral. Uji pertama yang memberikan jawaban akan ditampilkan.

Apakah kalkulator mencari jumlah deret?

Kalkulator memberikan jumlah eksak deret geometri, misalnya −6/5 untuk Σ 3(−2/3)ⁿ yang dimulai dari n = 1. Untuk deret lain, kalkulator hanya memutuskan soal kekonvergenannya, karena sebagian besar deret konvergen tidak memiliki rumus sederhana untuk jumlahnya.

Mengapa deret harmonik divergen walaupun suku-sukunya menuju nol?

Suku-sukunya mengecil terlalu lambat. Jika Anda mengelompokkannya sebagai 1/2, lalu 1/3 + 1/4 > 1/2, lalu 1/5 + … + 1/8 > 1/2, dan seterusnya, terlihat bahwa jumlah parsialnya setiap kali bertambah sedikitnya 1/2; karena itu jumlah tersebut tidak terbatas.

Apa beda konvergen mutlak dan konvergen bersyarat?

Deret konvergen mutlak jika jumlah |aₙ| konvergen. Deret konvergen bersyarat jika kekonvergenannya hanya berkat saling meniadakan akibat pergantian tanda, seperti pada deret harmonik berganti tanda.

Bagaimana cara menulis faktorial dan pergantian tanda?

Tuliskan n! untuk faktorial dan (-1)^n atau (-1)^(n+1) untuk tanda yang berganti-ganti, misalnya (-1)^(n+1)/n atau 2^n/n!. Untuk logaritma natural, gunakan log(n).

Apakah indeks awal memengaruhi kekonvergenan?

Tidak. Memulai penjumlahan dari tempat lain menambahkan atau mengurangkan suku yang banyaknya berhingga; hal itu mengubah jumlahnya, tetapi tidak pernah mengubah apakah deret itu konvergen. Meski begitu, indeks awal penting untuk jumlah geometri dan untuk suku seperti 1/(n ln n) yang tidak terdefinisi pada nilai n yang kecil.

Bagaimana jika tidak ada uji yang berhasil?

Kalkulator mendaftar uji-uji yang telah dicoba dan memberi tahu bahwa tidak ada yang memberi kesimpulan. Kalkulator tidak pernah menebak. Suku yang berosilasi seperti sin(n), yang limitnya tidak dapat ditentukan, juga ditandai dengan jelas.

Apa itu deret-p?

Deret berbentuk Σ 1/nᵖ. Deret ini konvergen jika p > 1 dan divergen jika p ≤ 1. Deret ini menjadi pembanding yang lazim untuk uji perbandingan; untuk p = 1, Σ 1/n adalah deret harmonik.

Mengapa uji rasio tidak berhasil untuk 1/n²?

Rasio n²/(n + 1)² menuju 1 — keadaan ketika uji ini tidak memberi kesimpulan. Hal ini terjadi pada semua deret-p; karena itu, untuk suku semacam ini kalkulator beralih ke uji perbandingan.

Coba kalkulator kekonvergenan deret

Tuliskan suku umum deret dan ketahui apakah deret itu konvergen, beserta penjelasan langkah demi langkah dari uji yang memutuskannya.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI