Deret Taylor: Menghampiri Fungsi dengan Polinomial

Gagasannya: turunan yang sama

Polinomial adalah fungsi yang paling nyaman digunakan. Nilainya dapat dihitung hanya dengan penjumlahan dan perkalian, sedangkan menurunkan atau mengintegralkannya adalah pekerjaan rutin. Fungsi seperti $e^x$, $\sin x$, dan $\ln x$ jauh lebih sulit dihitung dengan tangan. Gagasan deret Taylor adalah menemukan polinomial yang berperilaku seperti fungsi itu di sekitar titik $a$ yang dipilih.

Garis yang paling cocok dengan suatu kurva di sebuah titik adalah garis singgung: di titik itu nilainya dan turunan pertamanya sama dengan fungsi. Parabola dapat juga memiliki turunan kedua yang sama sehingga meniru kelengkungan grafik. Fungsi kubik dapat sama pula pada turunan ketiga, dan seterusnya. Setiap turunan baru yang sama membuat polinomial tetap dekat dengan fungsi pada daerah yang makin luas di sekitar titik itu. Jika proses ini dilanjutkan tanpa akhir, diperoleh deret Taylor.

Rumus deret Taylor

Jika kita menginginkan turunan ke-$n$ polinomial di titik $a$ sama dengan $f^{(n)}(a)$, maka koefisien $(x - a)^n$ haruslah $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$. Faktorial muncul karena $(x - a)^n$ yang diturunkan $n$ kali menghasilkan $n!$. Deret lengkapnya adalah:

Jika $a = 0$, deret ini disebut deret Maclaurin dan pangkat-pangkatnya hanya $x^n$. Polinomial yang terdiri atas suku-suku sampai $(x - a)^n$ adalah polinomial Taylor berderajat $n$, yang dilambangkan $P_n(x)$. Dua suku pertama saja sudah memberikan hampiran garis singgung, yang disebut juga linearisasi.

Menyusun deret fungsi eksponensial

Dengan menyubstitusikan $x = 1$, kita memperoleh rumus terkenal untuk konstanta itu sendiri: $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots$; karena faktorial tumbuh sangat cepat, rumus ini sudah menghasilkan 2,71828 dalam kurang dari selusin suku.

Ekspansi yang perlu diketahui

Deret-deret Maclaurin berikut terus-menerus muncul, dan hampir semua deret lain dapat diperoleh darinya melalui substitusi, perkalian, penurunan, atau pengintegralan:

Deret sinus hanya memuat pangkat ganjil; ini sesuai dengan sinus sebagai fungsi ganjil. Deret kosinus hanya memuat pangkat genap; ini mencerminkan kesimetriannya. Jika deret sinus diturunkan suku demi suku, diperoleh deret kosinus: persis seperti turunan $\sin x$ yang memang harus sama dengan $\cos x$.

Sebagai pemeriksaan: $\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} = 0.0998333$, sedangkan nilai eksaknya $0.0998334$. Dua suku saja sudah memberikan enam angka benar di belakang koma: itulah sebabnya kalkulator dapat menghitung fungsi trigonometri begitu cepat dengan polinomial yang pendek.

Ekspansi di titik selain nol

Jika $a$ dipilih dekat dengan nilai yang diinginkan, hampirannya konvergen jauh lebih cepat. Untuk menaksir $\sqrt{4.1}$, ekspansikan $\sqrt{x}$ di titik $a = 4$, yang akar kuadratnya langsung diketahui.

Seberapa besar galatnya?

Teorema Taylor memberikan galat polinomial Taylor. Jika $|f^{(n+1)}| \le M$ di antara $a$ dan $x$, suku sisa setelah suku berderajat $n$ memenuhi ketaksamaan berikut:

Untuk $e^{0.5}$ dengan $n = 3$, turunan keempat pada selang ini adalah $e^t \le e^{0.5} < 2$; jadi galatnya tidak lebih dari $\frac{2(0.5)^4}{24} \approx 0.0052$. Galat sebenarnya, $0.0029$, berada di dalam batas ini. Batas ini juga dapat dipakai sebaliknya: batas itu memberi tahu berapa suku yang diperlukan untuk menjamin ketelitian tertentu bahkan sebelum perhitungan dimulai.

Untuk deret berganti tanda seperti deret sinus dan kosinus ada taksiran yang lebih sederhana lagi: galatnya tidak melebihi suku pertama yang dibuang. Gagasan di balik aturan ini dibahas dalam artikel uji kekonvergenan deret.

Di mana deret itu konvergen?

Deret Taylor tidak selalu dan tidak di mana-mana sama dengan fungsinya. Deret geometri untuk $\frac{1}{1 - x}$ hanya berlaku ketika $|x| < 1$; di $x = 2$ ruas kirinya sama dengan $-1$, sedangkan suku-suku deretnya membesar tanpa batas. Himpunan nilai $x$ tempat deret itu konvergen adalah sebuah selang di sekitar $a$, dan setengah lebar selang ini adalah jari-jari kekonvergenan. Jari-jari ini biasanya dicari dengan uji rasio (d'Alembert).

Deret untuk $e^x$, $\sin x$, dan $\cos x$ konvergen untuk semua $x$ real. Deret $\ln(1 + x)$ konvergen untuk $-1 < x \le 1$; di $x = 1$ deret ini konvergen sangat lambat, tetapi memberikan hasil yang mengejutkan: $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$.

Mengapa deret Taylor diperlukan?

• Menghitung nilai fungsi: kalkulator dan perangkat lunak memakai hampiran polinomial yang sangat mirip dengan polinomial Taylor.
• Limit: dengan mengganti $\sin x$ menjadi $x - \frac{x^3}{6} + \cdots$, terlihat tanpa aturan L'Hôpital bahwa $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$.
• Integral tanpa antiturunan elementer: mengintegralkan deret $e^{-x^2}$ suku demi suku menghasilkan $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} \approx 0.7475$; ini sangat dekat dengan nilai eksak $0.7468$.
• Fisika: hampiran sudut kecil untuk bandul, $\sin\theta \approx \theta$, adalah suku pertama deret sinus.
• Rumus Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, yang diperoleh dengan membandingkan tiga deret.

Kalkulator deret Taylor mengekspansikan fungsi apa pun di titik mana pun sampai orde yang diinginkan dan menampilkan setiap turunannya. Di sini kemampuan menurunkan sangat penting; karena itu aturan turunan dengan penjelasan menjadi pelengkap yang baik.

Urutan kerja untuk setiap polinomial Taylor

1. Pilih titik ekspansi $a$: dekat dengan tempat nilainya diperlukan, dan tempat fungsi serta turunannya mudah dihitung.
2. Turunkan fungsi sebanyak yang diperlukan oleh derajat yang diinginkan, dan sederhanakan setiap turunan.
3. Hitung setiap turunan di titik $a$.
4. Bagi nilai orde ke-$n$ dengan $n!$ untuk memperoleh setiap koefisien.
5. Kecuali jika $a = 0$, tulis polinomialnya dalam pangkat $(x - a)$, bukan pangkat $x$.
6. Periksa koefisien pertama: $P_n(a)$ harus sama dengan $f(a)$, dan gradien $P_n$ di titik $a$ harus sama dengan $f'(a)$.

Sering kali menyusun deret baru dari deret yang sudah dikenal lebih cepat daripada menurunkan berulang-ulang. Misalnya, dengan mengganti variabel $x$ pada deret $e^x$ menjadi $-x^2$, kita langsung memperoleh $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots$; dan dengan mengalikan deret sinus dengan $x$, kita memperoleh deret $x\sin x$.

Hampiran pada grafik

Gambarlah $\cos x$ bersama polinomial Taylor berderajat 2, 4, dan 6; sebuah pola yang jelas akan tampak. Polinomial derajat 2, parabola yang terbuka ke bawah, meniru kurva kosinus dengan baik di sekitar nol, tetapi menjauh darinya setelah kira-kira satu satuan. Polinomial derajat 4 tetap dekat lebih lama, dan polinomial derajat 6 mengikuti kurva hampir sepanjang gelombang pertamanya. Karena tidak ada polinomial yang dapat berosilasi selamanya, setiap polinomial pada akhirnya lari ke tak hingga; tetapi makin banyak suku yang ditambahkan, makin jauh pula titik pemisahan itu: inilah tepatnya arti kekonvergenan deret dalam praktik.

Gambar seperti ini adalah cara terbaik untuk membangun intuisi: hampirannya sangat baik di dekat titik ekspansi dan memburuk seiring menjauh darinya. Penggambar grafik dapat menggambar suatu fungsi bersama beberapa polinomial Taylor agar Anda dapat melihat bagaimana semuanya konvergen.

Pertanyaan yang sering diajukan