Kalkulator Deret Taylor

Dari mana koefisiennya berasal?

Misalkan polinomial $c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$ harus sama dengan $f$ di titik $a$. Menyubstitusikan $x = a$ melenyapkan semua suku kecuali $c_0$; karena itu $c_0 = f(a)$. Menurunkan sekali lalu menyubstitusikan $x = a$ menyisakan $c_1 = f'(a)$. Menurunkan dua kali menyisakan $2c_2 = f''(a)$, dan secara umum $k!\,c_k = f^{(k)}(a)$.

Itulah seluruh buktinya, dan hal ini menjelaskan faktorial: faktorial mengimbangi konstanta yang terkumpul ketika $(x - a)^k$ diturunkan $k$ kali. Kalkulator menampilkannya dalam tabel yang memuat nilai $f^{(k)}(a)$ dan $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ untuk setiap $k$ — sama dengan tabel yang akan Anda susun secara manual.

Pola pada deret yang paling sering dipakai

Untuk $\sin x$ di sekitar 0, turunannya mengikuti siklus $\sin, \cos, -\sin, -\cos$, dan siklus ini di 0 memberikan nilai $0, 1, 0, -1$. Semua koefisien pangkat genap bernilai nol, dan polinomial berorde 7 adalah $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040}$. Sebaliknya, kosinus menghasilkan pangkat genap: sampai orde 4 kosinus sama dengan $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$.

Untuk $\ln x$ di sekitar 1, turunan ke-$k$ adalah $(-1)^{k+1}(k-1)!/x^k$; karena itu koefisiennya $\pm\frac1k$, dan deretnya berbentuk $(x - 1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots$. Siapa pun yang mengenali pola-pola ini dapat menuliskan banyak deret tanpa satu kali pun menurunkan dan dapat melakukan substitusi padanya, misalnya mengganti $x$ dengan $-x^2$ dalam deret $e^x$.

Seberapa akurat hampirannya?

Rumus Taylor membatasi galat. Suku sisa $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ sama dengan $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ untuk suatu $c$ di antara $a$ dan $x$. Dua hal membuatnya kecil: kedekatan dengan pusat ekspansi, sehingga $(x - a)^{n+1}$ sangat kecil, dan faktorial pada penyebut, yang cepat atau lambat mengalahkan pangkat apa pun.

Contoh akar kuadrat memperlihatkan efek yang pertama. Untuk $\sqrt{x}$ di sekitar 4, polinomial berorde 3 adalah $2 + \frac{x-4}{4} - \frac{(x-4)^2}{64} + \frac{(x-4)^3}{512}$. Di $x = 4.1$ polinomial ini memberikan kira-kira 2,024845703, dibandingkan nilai eksak 2,024845673; jadi galatnya kira-kira $3\times10^{-8}$, karena $0.1^4$ sudah sangat kecil.

Jauh dari pusat, keadaannya berbeda. Untuk $\frac{1}{1-x}$, polinomialnya menghampiri dengan baik di $x = 0.1$, tetapi tidak berguna di $x = 2$, karena deretnya hanya konvergen untuk $|x| < 1$. Di $x = 2$ polinomial berorde 5 memberikan nilai 63, sedangkan fungsinya sama dengan $-1$: galatnya 64 dan membesar dengan setiap suku baru. Nilai galat pada kalkulator membuat hal ini terlihat: coba fungsi yang sama dengan orde yang sama di titik yang dekat dan yang jauh, lalu bandingkan.

Memilih pusat ekspansi

Pilih pusat tempat fungsi dan turunannya mudah dihitung dan yang dekat dengan tempat hampiran diperlukan. Mengekspansikan $\sqrt{x}$ di sekitar 4 adalah pilihan wajar, karena $\sqrt4 = 2$ eksak. Mengekspansikan $\ln x$ di sekitar 0 mustahil, karena fungsinya tidak terdefinisi di sana; ekspansi $|x|$ di sekitar 0 juga gagal, karena fungsi itu tidak terdiferensialkan di sana. Dalam kasus seperti ini kalkulator menjelaskan alasannya alih-alih memberikan polinomial yang tidak bermakna.

Polinomial Taylor dalam praktik

Hampiran sudut kecil $\sin\theta \approx \theta$ tidak lain adalah polinomial Maclaurin sinus berorde 1, dan galatnya tetap di bawah 1% untuk sudut sampai kira-kira 14 derajat. Rumus periode ayunan bandul, hampiran paraksial dalam optika, dan hukum Hooke untuk pegas diperoleh dengan hanya mempertahankan suku pertama atau dua suku pertama ekspansi Taylor.

Polinomial Taylor juga mempermudah soal-soal yang sulit. Limit seperti $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ menjadi jelas begitu $\cos x$ diganti dengan $1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$, sedangkan integral tanpa antiturunan elementer seperti $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ dapat dihampiri dengan mengintegralkan polinomialnya suku demi suku.